自作問題その2

問題 制限時間　$1$週間
$weightN$ の許容インデックスの列$Z_N$ があります。$Z_N$ の要素数を $L_N$ とします。全ての $1$ より大きい実数 $A$ に対して以下を満たす長さ $L_N$ の実数列 $F$ は存在するか。
ただしインデックス $K$ と実数 $J$ に対して $K\times J$ とは $K$ の全ての要素を $J$ 倍したインデックスとします。
${\displaystyle \sum _{i=1}^{L_N}{F}_i\times \zeta (Z_i\times A)=\zeta (A,A,...,A(N個))}$
${\displaystyle \sum _{i=1}^{L_N}{F}_i=0}$