初投稿　東工大　2013

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初投稿です！
私は数学が（相対的に）苦手なので大した記事は書けませんがよろしくお願いします！

$\boxed{\text{1}}$(1)の問題ですが、個人的に面白いと思った入試問題です。
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解答

全ての正整数$n$というところから、数学的帰納法を考えます。
[1] $n=1$,$n=2$のとき${\alpha }^n+{\beta }^n-3^n$は５の倍数になる。
[2] $n=k,k+1$のとき、${\alpha }^n+{\beta }^n-3^n$が５の倍数になると仮定すると、
${\alpha }^k+{\beta }^k$, ${\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}$は整数で、${\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}$$\equiv 3^{k+1}$ $mod5$なので、
${\alpha }^{k+2}+{\beta }^{k+2}-3^{k+2}$
$=$($\alpha +\beta$)(${\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1}$)$-$$\alpha \beta ({\alpha }^k+{\beta }^k)-3^{k+2}$$$
$=$$3({\alpha }^{k+1}+{\beta }^{k+1})$$-$$5({\alpha }^n+{\beta }^n)-3^{k+2}$$$
$\equiv$$3\times 3^{k+1}-3^{k+2}$$$
$\equiv 0$ $mod5$
(解と係数の関係より　$\alpha +\beta =3$ $\alpha \beta =5$)

感想

主張が綺麗だなと思いました。一見綺麗ではない式が整数になってしかも5で割り切れるなんて...！
なんか理由みたいなものってあるんでしょうかね(極形式でやってみたけど無理そうでした)フィボナッチ数列みたいなものでしょうか
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(書き方が分からなすぎました)