級数コンテスト1

級数コンテスト1の問題をMathlogの方にも載せておきます。

PDFは こちら にあります。

開催期間は11月24日21:30〜12月4日23:59です。
解答には 、
定数は円周率 、ネイピア数、オイラーの定数を、
関数はガンマ関数、ゼータ関数、初等関数を用いても良いです。
解答はできるだけ簡単にしてください。例えば、${\displaystyle {\text{Li}}_1\left(\frac{1}{2}\right)}$ は$\log 2$と表記してください。
解答は実数で書いてください。虚数が入ったままの解答は減点されます。
$\zeta (3)$等はそのままの形で残してください。
特殊値は こちら に載っている範囲では無断で使用して構いません。
例えば、${\displaystyle \mathrm{\Gamma }\left(\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\pi }}$は無断で使用しても構いません。
解答を提出する場合や質問がある場合は、 遭難者 か 神鳥奈紗 、 るめなる にDMを送ってください。
問題は難易度順には並んでいません。難しい問題の後に簡単な問題があるケースもあります。
$\text{Si}(x)$は三角積分で、${\displaystyle \text{Si}(x):={\int }_0^x\frac{\sin t}{t}dt}$と定義されます。
$p(b)$は$b$の分割数です。
$\{a{\}}^n$は$a$を$n$個並べた数列とします。
$H_n$は一般化された調和数です。

問01　次の級数を解いてください。(作問:神鳥奈紗)

${\displaystyle \sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{n^2-1}}$

問02　次の級数を解いてください。(作問:白茶)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{1^2+2^2+\dots +n^2}}$

問03　次の級数を解いてください。(作問:神鳥奈紗)

${\displaystyle \sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\log (1+\frac{1}{e^{2^k}})}$

問04　次の級数を解いてください。(作問:じゅんにー)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{n+k}(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})}$

問05　次の級数を解いてください。(作問:神鳥奈紗)

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\text{Si}(\pi n)}{{\pi }^3{n}^3}}$

問06　次の級数を解いてください。(作問:じゅんにー)
${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(3n+5)(n+1)!n!}{(2n+3)!}}$

問07　次の級数を解いてください。(作問:白茶)
${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(n\log \frac{2n+1}{2n-1}-1)}$

問08　次の級数を解いてください。(作問:白茶)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{1}{e}\sum _{k=0}^n\frac{1}{k!})}$

問09　次の級数を解いてください。(作問:るめなる)

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n(2n+1)(4n+3)}{2^{10n}(n+1{)}^4}{(\genfrac{}{}{0ex}{}{2n}{n})}^5}$

問10　次の極限を解いてください。(作問:白茶)

${\displaystyle \underset{\delta \to +0}{lim}{(-\frac{1}{\delta })}^n(\frac{1}{\delta }\sum _{k=2}^n(-\delta {)}^k\zeta (k)-H_{\delta })}$

問11　次の級数を解いてください。(作問:nkswtr)

${\displaystyle \sum _{0<n,m}\frac{H_{n+m}}{n^2{m}^2}}$

depthが1かつindexが$n$の倍数かつweightが$nm$となるような多重ゼータ値からなる数列を$S_{n,m}$とします。
この数列の順番は任意に決めて良いです。
ある関数$f(x)$に対し以下の条件を満たす有理数列$\mathbf{\text{k}}$が存在する場合、$f(x)$は多重ゼータ値の#表示が可能と言います。
また、$f(x)$に対し以下の条件を満たす有理数列kの集合を$f(x)$の#数列と言います。
条件 : ある正整数bが存在し、全ての$2$以上の正整数$a$に対して${\displaystyle \sum _{i=1}^{p(b)}(S_{a,b}{)}_i{k}_i=f(a)}$が成立
例として、$f(x)=\zeta (x,x)$とします。すると、$b=2,S_{a,2}=\{\zeta (a{)}^2,\zeta (2a)\}$とすることで
#表示が可能であることがわかります。
この時の$f(x)$の#数列は${\displaystyle \{\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\}}$があります。
以上を踏まえ、次の問題を解いてください。　(作問:PCT)
問12
　全ての正整数aに対して、
$f(a)=\zeta (\{1{\}}^a,2)$
と定義すると、$f(a)$は#表示が可能、かつ#数列が1通りに定まる、
かつ#数列の要素の和が0になることを証明してください。