物理を古典力学で考えてみたい話 vol.1-後日譚

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前回の記事： 「物理を古典力学で考えてみたい話 vol.1」

はじめに

こんにちは、ぱぺです。
火曜日に記事を上げたばかりなのに今更何をするのかと思ったでしょう。火曜日の話の後日譚です。

本題

前回の記事でこんな話をしました。

この「$\xi^2\omega=\text{一定}$」がとある意味をもつことがわかったので、改めて導出を説明するとともに、以下で話します。

参考にする文献の紹介

以下「参考書A」などとして参考文献を識別して表記します。

参考書A

今回もお世話になります、綿引芳之先生著『古典力学　力学の基礎　第２版』 です。
綿引芳之 著『古典力学　力学の基礎　第２版』 Amazonページはこちら

参考書Aの概念紹介

【注意】
この記事中の表記は参考書Aの著者・綿引先生の表記を用いているものが多いです。
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・「点粒子」は大きさや向きをもたない粒子（質点のようなもの）を表し、その位置を位置ベクトル$\bm{x}$を用いて表します。
・ベクトルは太字です。「$\bm{x}'$」は「$\tilde{\bm{x}}$」「$\bm{x}^{\star}$」などと同様に文字の区別に使われるもので、微分の意味を持ちません。時間微分は$\dot{\bm{x}},\ddot{\bm{x}}$あるいは$\disp\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}$などで表します。

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位置と速度・加速度と「運動方程式」：参考書A$§1.1$

最も単純な点粒子の運動を記述するにあたり、以下のような仮定をする。（今回の確認に必要な部分だけ取り上げる）
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$\Delta{t}$を微小時間とする。

基本的に位置や速度は連続的に動くため、微小時間$\Delta{t}$の間は直線的に動くとみなしている。
つまり、次のように書けると仮定している(p.3)。
$\bm{x}\left(t+\Delta{t}\right)=\bm{x}\left(t\right)+\bm{v}\left(t\right)\Delta{t} \quad (1.5)$
$\bm{v}\left(t+\Delta{t}\right)=\bm{v}\left(t\right)+\bm{a}\left(t\right)\Delta{t} \quad (1.12)$

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さらに、以下の仮定を設ける。

仮定$\left(1.24\right)$ (p.10)
「時刻$t+\Delta{t}$における位置と速度は，時刻$t$，および時刻$t$における位置と速度から一意的に決定される。」

式$\left(1.28\right)$(p.11)：
$\Delta{t}$を微小時間として
$\begin{cases} \bm{x}\left(t+\Delta{t}\right)=\bm{x}\left(t\right)+\bm{v}\left(t\right)\Delta{t} &\quad -(1.5)\\ \bm{v}\left(t+\Delta{t}\right)=\bm{v}\left(t\right)+\bm{a}\left(t\right)\Delta{t} &\quad -(1.12)\\ \bm{a}\left(t\right)=\bm{f}\left(\bm{x}(t),\bm{v}(t);t\right) &\quad -(1.27) \end{cases}$
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また、$\text{(1.5),\;(1.12)}$ から、
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式$(1.29)$(p.11)：
$\begin{cases} \dot{\bm{x}}(t)=\bm{v}(t) \\ \dot{\bm{v}}(t)=\bm{a}(t) \\ \bm{a}\left(t\right)=\bm{f}\left(\bm{x}(t),\bm{v}(t);t\right) \end{cases}$
$ $
・$(1.27)$は「運動方程式」と呼ばれ、「$\text{Newton}$の運動方程式」と区別される。

【$\text{Newton}$の運動方程式】
$m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}^{(2.75)}$(p.72)
あるいは、運動量$\bm{p}$を用いて $\dot{\bm{p}}=\bm{F}^{(2.125)}$(p.90)

$ $
・$\bm{f}$を参考書Aでは「起動因子」と名付ける。
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・仮定$(1.24)$のもとでは$\bm{a}$が$\bm{x},\bm{v},t$の関数として表されることから、$(1.27)$で関数$\bm{f}$として登場している。
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・$\bm{f}$が点粒子の運動を記述する一種の構造を表すものと捉えられるため、$§1.2$では運動の構造$\bm{f}$がもつさまざまな対称性を解析している。

前回出した式の導出

運動の自由度

まず、この点粒子$\bm{x}$の運動はある平面上で行われることが容易にわかる。

確認

$\text{Newton}$の運動方程式$(2.75):\: m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}$ および式$(1.29)$から、
スカラー$f$を用いて $\bm{a}=f\left(\bm{x},\bm{v},t\right)\cdot \bm{x}$ で表される。

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【$\bm{v}_{0}/\!/\bm{x}_{0}$ あるいは $\bm{v}_{0}=\bm{0}$ のとき】
$\bm{v}_{0}$は$\bm{x}_{0}$のスカラー倍で表せる。
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式$\bm{a}=f\left(\bm{x},\bm{v},t\right)\cdot \bm{x}$と式$(1.28)$を繰り返し用いると、
適当なスカラー$g,h$を用いて $\bm{v}=g(t)\;\bm{x}_{0},\;\bm{x}=h(t)\bm{x}_{0}$で表される。
$ $
したがって、点粒子$\bm{x}$は直線$\bm{0}\bm{x}_{0}$上を運動するから、ある平面上で運動すると言える。

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【$\bm{v}_{0}\nparallel \bm{x}_{0}$のとき】
式$\bm{a}=f\left(\bm{x},\bm{v},t\right)\cdot \bm{x}$と式$(1.28)$を繰り返し用いると、
速度$\bm{v}$と位置$\bm{x}$はそれぞれ$\bm{x}_{0},\bm{v}_{0}$の線型結合で表すことができる。
$ $
つまり、適当なスカラー$g,h$を用いて $\bm{v}=g_{x}(t)\;\bm{x}_{0}+g_{v}(t)\;\bm{v}_{0},\;\bm{x}=h_{x}(t)\bm{x}_{0}+h_{v}(t)\bm{v}_{0}$で表される。
$ $
したがって、点粒子$\bm{x}$は2つのベクトル$\bm{x}_{0},\;\bm{v}_{0}$に張った平面$\bm{x}_{0}\bm{v}_{0}$上を運動するから、ある平面上で運動すると言える。

このことから、点粒子$\bm{x}$の運動は、2つのベクトル$\bm{x}_{0},\;\bm{v}_{0}$を含み原点を通る一平面に限定して考えることができるので、以降はその平面上に新しく2次元座標を敷いて考えることにする。

回転座標系の導入

平面上に改めて直交座標系$XY$をとり、2次元回転座標系を導入する。

微分

基底ベクトルの時間微分は以下の通りである：
$\dot{\bm{e}}_{r}=\dot{\varphi}\bm{e}_{\varphi},\quad \dot{\bm{e}}_{\varphi}=-\dot{\varphi}\bm{e}_{r}$
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これを用いて$\bm{x}=r\bm{e}_{r}$の両辺を時間微分すると
\begin{aligned} \bm{x}&=r\bm{e}_{r} &\quad \text{(Z.1)}\\ \dot{\bm{x}}&=\dot{r}\bm{e}_{r}+r\dot{\varphi}\bm{e}_{\varphi} &\quad \text{(Z.2)}\\ \ddot{\bm{x}}&=\left(\ddot{r}+r\dot{\varphi}^2\right)\bm{e}_{r}+\left(2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}\right)\bm{e}_{\varphi} &\quad \text{(Z.3)} \end{aligned}
（$\text{(Z. $k$)}\quad (k=1,2,3,\cdots)$ は参考書Aに明確な記述がないためこの記事独自で式番号を用いている。）

式の導出

いま、点粒子にかかる力は$\bm{e}_{r}$に平行であるから、
$m\ddot{\bm{x}}=\bm{F}^{(2.75)},\quad \bm{F}=f(t)\;\bm{e}_{r}+0\;\bm{e}_{\varphi}$

したがって、$\disp \ddot{\bm{x}}=\frac{f(t)}{m}\;\bm{e}_{r}+0\;\bm{e}_{\varphi} \quad \text{(Z. 4)}$

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2つの基底ベクトル$\bm{e}_{r},\bm{e}_{\varphi}$ は線型独立だから、
$\text{(Z.3),\;(Z.4)}$ のスカラー部分を比較して、 $2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}=0 \quad \text{(Z.5)}$

$ $

$\text{(Z.5)}$ を変形する。

$\text{(Z.5)}\;:\quad2\dot{r}\dot{\varphi}+r\ddot{\varphi}=0$

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面積速度一定（$\disp r^2\dot{\varphi}=c$）

先ほど導いた $\disp r^2\dot{\varphi}=c$ という式から「面積速度一定」の法則を導ける。

面積速度とは、単位時間あたりに動径$\bm{0x}$が$\dot{\varphi}>0$方向にどれだけの面積だけ掃くかを表すものである。

微小時間$\mathrm{d}t$秒で動径$\bm{0x}$が$\dot{\varphi}>0$方向に掃く面積を$\mathrm{d}S$とすると、面積速度は$\disp \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$ で表される。

時刻$t$での動径の長さは$r$とする。

時刻$t+\mathrm{d}t$での動径の長さは$r+\dot{r}\mathrm{d}t$で一次近似可能。
しかし、$\disp r+\dot{r}\mathrm{d}t=r\left(1+\frac{\dot{r}}{r}\mathrm{d}t\right)$ であり、微小量の関係で$\disp\left|\frac{\dot{r}}{r}\mathrm{d}t\right|<\!\!<1$ であるから、
実質$r$とみなして計算してよい。

時刻$t$から$\mathrm{d}t$秒間で動径の偏角の変位は$\dot{\varphi}\;\mathrm{d}t$ とみなせる。

微小時間$\mathrm{d}t$で動径が掃く領域は三角形$\bm{0}\bm{x}(t)\bm{x}(t+\mathrm{d}t)$ とみなせるから、

\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} &=\frac{\frac{1}{2}r^2\sin\left(\dot{\varphi}\mathrm{d}t\right)}{\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{2}r^2\cdot\frac{\dot{\varphi}\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{2}r^2\dot{\varphi} \\ &=c/2=\text{const.} \end{aligned}

$r(t+\mathrm{d}t)=r+\dot{r}\mathrm{d}t$ とした場合
$ $
$\disp\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}$の値が微小量のとり方で変わってはいけないので最終的に$\mathrm{d}t\to0$として$\mathrm{d}t$の一次以上の項を削除すると、
\begin{aligned} \frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t} &=\frac{\frac{1}{2}r\left(r+\dot{r}\mathrm{d}t\right)\sin\left(\dot{\varphi}\mathrm{d}t\right)}{\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{2}r^2\dot{\varphi}\cdot\frac{\sin\left(\dot{\varphi}\mathrm{d}t\right)}{\dot{\varphi}\mathrm{d}t}\left(1+\frac{\dot{r}}{r}\mathrm{d}t\right)\\ &=\frac{1}{2}r^2\dot{\varphi}\cdot1\cdot\left(1+0\right) \quad \left(\mathrm{d}t\to0\right) \\ &=\frac{1}{2}r^2\dot{\varphi} \\ &=c/2=\text{const.} \end{aligned}

以上から、$r^2\dot{\varphi}=\text{const.}$は面積速度一定を導く式であるとわかる。

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また、面積速度について、以下の計算から$\disp \left|\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{1}{2}\left|\bm{x}\times\bm{v}\right|$ を導ける。

$\begin{aligned} \left|\frac{\mathrm{d}S}{\mathrm{d}t}\right| &=\frac{\frac{1}{2}\left|\left(-\bm{x}\right)\times\left(\bm{v}\;\mathrm{d}t\right)\right|}{\mathrm{d}t} \\ &=\frac{1}{2}\left|\bm{x}\times\bm{v}\right| \end{aligned}$

「面積速度一定」が通じる範囲

面積速度は先ほどもあったように、「点粒子に働く力が常にある定点に向かう方向であるとき」に面積速度一定が導かれます。

面積速度一定が導かれるものとして想像できるものを挙げると以下の通りでしょう。

・惑星の周回運動（万有引力）
・ばねで繋いだ小球を周回させる運動（弾性力）
・等速直線運動（力なし）
・原点を通る定直線上の運動（面積速度は常に$0$）
・水平面上の定点に穴を開け、小球のついた紐を上から通して（何かしらの方法で）その糸を張るようにしたときの水平面上の小球の運動（張力）
など

直線的な運動でなくとも常にある定点に向かってはたらく力というのは限られます。

・（相手となる物体の質点を定点とする）万有引力
・（相手となる点電荷の質点を定点とする）静電気力
・（ばねの固定する一端を定点とする）弾性力
・（糸の固定する一端を定点とする）張力
など

しかし高校物理で「面積速度一定」という単語を聞くのは$\text{Kepler}$の（第２）法則だけだと思います。なぜでしょうか。

... 予想ですが、おそらく高校物理の範囲で扱える運動の中で非自明かつ実用的で覚えやすい法則がそのくらいだけだからだと思います。

先ほど挙げた運動のなかで高校物理で扱うことのある運動は

・惑星の周回運動（万有引力）
・等速直線運動（力なし）
・原点を通る定直線上の運動（面積速度は常に$0$）
・水平面上の定点に穴を開け、小球のついた紐を上から通して（何かしらの方法で）その糸を張るようにしたときの水平面上の小球の運動（張力）

惑星の周回運動

これは納得ですね。なぜならば、定点となるのがちょうど相手の質点（周回軌道の焦点）であるため$\text{Kepler}$の法則を覚える際に要点が把握しやすいから。

等速直線運動

実は定点に対して回転方向に力が働かなければ、（加速度が$\bm{0}$である）等速直線運動でも成り立ちます。

自明ですね。速度が$\bm{v}_{0}$で一定だから面積速度がずっと「底辺と高さの等しい三角形の面積」になるので。これを利用することで得られるメリットは特にないでしょう。

原点を通る定直線上の運動

面積速度がずっと$0$なので、ここから速度の情報を得るのは不可能ですね。

張力を使った点粒子の運動

速度の方向を把握できないので難しいかもしれませんね。

いやでも$r^2\dot{\varphi}=\text{const.}$から回転方向の成分を取り出すなどできるので意外となんとかなるのかも？
ただ、高校物理で運動を統一的に記述できているのを見ないので、なかなか出ないかもしれないですね。

おわりに

同じ物理の授業を受けている友達に話そうとしたら「面積速度一定と角運動量保存則は実は等価だって（参考書Aの）演習問題でやったよ。」と言われて激しく横転しかけましたが耐えました。

参考文献（再度紹介）

・参考書A
綿引芳之先生著『古典力学　力学の基礎　第２版』　 Amazonページはこちら

更新欄