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高校数学で証明する(ちょっと弱い)テイラーの定理

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はじめに

僕が見つけたちょっと弱いテイラーの定理の証明を書こうと思う。

テイラーの定理

今回扱うテイラーの定理とは以下のような定理である。

関数$f$が区間$I=[a,x]$$n+1$回微分可能で、$n+1$階導関数が連続であるとき、
$$ f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} $$
となる$c\in I$が存在する

証明

\begin{eqnarray*} f(x)&=&f(a)+\int_a^xf'(t)dt \\ &=&f(a)+\int_a^x\{-(x-t)\}'f'(t)dt \\ &=&f(a)+f'(a)(x-a)+\int_a^x(x-t)f''(t)dt \\ &=&f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+\int_a^x\frac{f'''(t)}{2}(x-t)^2dt \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^k+\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \end{eqnarray*}

右辺第$2$項について$I$上での関数$f^{(n+1)}$の最大値を$M$、最小値を$m$とすると
$$ \int_a^x\frac{m}{n!}(x-t)^{n}dt\leq\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt\leq \int_a^x\frac{M}{n!}(x-t)^ndt $$
なので、関数$f^{(n+1)}$に中間値の定理を適用すると、
\begin{eqnarray*} f^{(n+1)}(c)\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}dt=\int_a^x\frac{f^{(n+1)}(t)}{n!}(x-t)^ndt \end{eqnarray*}
となる$c\in I$が存在する。よって、
\begin{eqnarray*} f(x)&=&\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^n+f^{(n+1)}(c)\int_a^x\frac{(x-t)^n}{n!}dt \\ &=&\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^n+\frac{f^{(n+1)}(c)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1} \end{eqnarray*}
となり、テイラーの定理が示された。

おわりに

どこか間違えてそうでちょっと怖い。なにかあれば教えてください。

投稿日:20201125

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