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大学数学基礎解説
文献あり

可換図式で圏を定義する

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$$\newcommand{A}[0]{\mathscr A} \newcommand{beku}[1]{\displaystyle\overrightarrow{\vphantom{b}\mbox{$#1$}}} \newcommand{bekutoru}[1]{\displaystyle\overrightarrow{\vphantom{b}\mbox{#1}}} \newcommand{bm}[1]{\boldsymbol{#1}} \newcommand{bunsuu}[2]{\dfrac{\,#1\,}{\,#2\,}} \newcommand{Deg}[0]{^{\circ}} \newcommand{dsqrt}[1]{\displaystyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{gauss}[1]{\left[\mkern1mu {#1}\mkern1mu\right]} \newcommand{kaku}[1]{\angle\mbox{#1}} \newcommand{kumiawase}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{C}_{#2}}} \newcommand{mdot}[0]{\!\cdot\!} \newcommand{sankaku}[1]{\triangle \mbox{#1}} \newcommand{suuretu}[1]{\left\{#1\right\}} \newcommand{tsqrt}[1]{\textstyle\sqrt{\,#1\,}} \newcommand{zyunretu}[2]{\mathord{{}_{#1}\kern-.12em{}\text{P}_{#2}}} $$

この記事でやること

この記事では,圏を可換図式で定義します。というのも,せっかくMathlogでXy-picが実装されたんだから,可換図式を書いてみたいと思ったのが主な理由です。

図式をいっぱい書いたため,表示が不安定かもしれません。
また,スマホで閲覧される場合は,横向きで見ることを強く推奨します。

Category theory takes a bird’s eye view of mathematics.
(圏論は鳥の目で数学を俯瞰する.)$\tag{Basic Category Theory}$

個人的に大好きな言葉です。格好良いなと思います。

ベーシック圏論による定義

まずはベーシック圏論(参考文献1)による定義を紹介します。

Basic Category Theory

$\A$とは,

  • 対象の集まり${\mathop{\rm ob}(\A)}$
  • $A,\,B\in\mathop{\rm ob}(\A)$について,$A$から$B$へのの集まり$\A(A,\,B)$
  • $A,\,B,\,C\in \mathop{\rm ob}(\A)$について,合成と呼ばれる関数$$ \begin{array}{ccc} \A (B,\,C)\times \A(A,\,B)& \longrightarrow & \A(A,\,C)\\ (g,\,f)& \longmapsto & g\circ f \end{array}$$
  • $A\in \mathop{\rm ob}(\A)$について,$A$上の恒等射と呼ばれる$\A(A,\,A)$の元$1_A$

からなり,以下の公理を満たすもののことである。

  • 結合法則:任意の$f\in\A(A,B)$$g\in\A(B,C)$$h\in\A(C,D)$について$(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$が成り立つ。
  • 単位法則:任意の$f\in\A(A,B)$について$f\circ 1_A=f=1_B\circ f$が成り立つ

圏を可換図式で定義したい

ちょっとだけ準備します。

ファイバー積

圏を可換図式で定義するために,ファイバー積を定義しておきます。

ファイバー積

写像$f\colon X\longrightarrow S$$g\colon Y\longrightarrow S$に対し,積集合$X\times Y$の部分集合$$ X\times_S Y=\suuretu{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=g(y)} $$
を,$X$$Y$$S$上のファイバー積と呼ぶ。$f$$g$を明示したいときは,$X\times_{f,S,g} Y$と書くことにする。

また,ファイバー積の第一成分への射影や第二成分の射影をそれぞれ,$\mathop{\rm pr_1}\colon X\times_S Y\longrightarrow X$$\mathop{\rm pr_2}\colon X\times_S Y\longrightarrow Y$で表すことにする。

可換図式

Xy-picを用いて記事を書く練習のついでに,可換図式を定義することにします。

可換図式

以下の写像の図式が可換であるとは,$f\circ p=g\circ q$であることをいう。$$ \xymatrix{ T \ar[r]^p \ar[d]_q & X \ar[d]^f\\ Y \ar[r]_g & S %\ar@{}[lu]|{\Huge \circlearrowright} } $$
しばしば図中に記号$\circlearrowright$を用いることで,可換であることを表す:$$ \xymatrix{ T \ar[r]^p \ar[d]_q & X \ar[d]^f\\ Y \ar[r]_g & S \ar@{}[lu]|{\Huge \circlearrowright} } $$

さて,上記の定義において,写像$$ (p,q)\colon T\longrightarrow X\times Y $$
は,ファイバー積への写像$(p,q)\colon T\longrightarrow X\times_S Y$を誘導する。すなわち,図式で表せば以下の図式が可換になることである。$$ \xymatrix{ T\ar@/^/[drr]^p\ar@/_/[ddr]_q\ar@{.>}[dr]|-{(p,q)} & & \\ & X\times_S Y \ar[r]_{\mathop{\rm pr}_1}\ar[d]^{\mathop{\rm pr}_2}& X\ar[d]^{f}\\ & Y \ar[r]_{g} & S\\ } $$
式で表せば,$\mathop{\rm pr_2}\circ(p,q)=q$$\mathop{\rm pr_1}\circ(p,q)=p$を満たすように$(p,q)$を定める。煩雑であることを恐れなければ$$ \xymatrix{ T\ar@/^/[drr]^p\ar@/_/[ddr]_q\ar@{.>}[dr]|-{(p,q)} & & \\ & X\times_S Y \ar[r]_{\mathop{\rm pr}_1}\ar[d]^{\mathop{\rm pr}_2}& X\ar[d]^{f}\ar@{}[lul]|{ \circlearrowright}\\ & Y \ar@{}[luu]|{ \circlearrowright} \ar[r]_{g} & S\ar@{}[lu]|{\huge \circlearrowright}\\ } $$と書く。もう二度とこんなに↻は使わない。

写像の可換図式$$ \xymatrix{ U \ar[r]^s\ar[d]_p & W\ar[d]_r & V \ar[l]_t\ar[d]^q\\ X\ar[r]^f & S & Y\ar[l]_g \\ } $$
に対し,積写像$p\times q\colon U\times V\longrightarrow X\times Y$の制限$U\times_W V\longrightarrow X\times_S Y$もまた$p\times q$で表すことにする。

さらに,写像$h\colon Y\to T$$k\colon Z\to T$に対し,積集合$X\times Y\times Z$の部分集合として,$$ X\times_S Y\times_T Z\colon\!=\suuretu{(x,y,z)\in X\times Y\times Z\mid f(x)=g(y),h(y)=k(z) } $$
と書く。$f,g,h,k$を明確に区別したければ,$ X\times_{f,S,g} Y\times_{h,T,k} Z $と書くことにする。

$X\times_{f,S,g} Y\times_{h,T,k} Z=(X\times_S Y)\times_{h\circ \mathop{\rm pr_2},T,k}Z=X\times_{f,S,g\circ\mathop{\rm pr_1}}(Y\times_T Z)$です。

圏の別定義

というわけでここまでの準備を元に,圏を可換図式で定義しましょう。

可換図式で定義する圏

集合$C$$M$と写像$$ s\colon M\to C,\quad t\colon M\to C,\quad c\colon M\times_{s,C,t}M\to M,\quad e\colon C\to M $$
で次の$4$つの図式が可換になるような$6$つ組$(C,M,s,t,c,e)$のことをという。このとき他の成分を省略して$C$を圏と呼ぶ。
$$ \xymatrix{ M\ar[d]_t & M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c \ar[l]_{\mathop{\rm pr_1\quad }}\ar[r]^{\mathop{\quad\rm pr_2 }}& M\ar[d]^s \\ C& M\ar[l]_t\ar[r]^s & C\\ } $$
$$ \xymatrix{ M\times_{s,C,t}M\times_{s,C,t}M \ar[d]_{ 1_M\times c}\ar[r]^{\qquad c\times1_M}& M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c\\ M\times_{s,C,t}M \ar[r]^{c}& M } $$
$$ \xymatrix{ C\ar[r]^{1_C}\ar[rd]^e\ar[d]_{1_C} & C\\ C & M\ar[l]_{t}\ar[u]_s\\ } $$
$$ \xymatrix{ M\ar[r]^{(e\circ t,1_M)}\ar[rd]^{1_M}\ar[d]_{(1_M,e\circ s)} & M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c\\ M\times_{s,C,t}M \ar[r]^c& M\\ } $$

2つの定義の対応

可換図式による定義において,$C$の元は圏の対象$M$の元は圏のに対応します。また,$A,B$$C$の対象であり,$f\in M$$s(f)=A,\ t(f)=B$を満たすとき,$f$$A$から$B$への射と言います。$s$もと$t$まと$c$合成と呼ばれます。$M$の元$g,f$に対してその対$(g,f)$が写像$c$の定義域$ M\times_{c,S,t}M $の元であるとき,$g$$f$は合成可能であるといい,その合成$c(g,f)$とは$g\circ f$のことです。

$4$つの図式のうち,一番初めに書いた図式は,合成が出来ることを表しています。

二番目の図式は,結合法則が成り立つことを表しています。

三番目の図式は,各$A\in C$に対して$1_A$が存在することを表しています。

四番目の図式は,単位法則が成り立つことを表しています。

まとめ

あまり可換図式による定義は見たことがありません。(同値だよね!って言っているものはあると思いますが……)可換図式によって定義することで全体像は把握できるのですが,いかんせん理解するのに時間がかかってしまいます。最初に挙げた圏の定義と見比べながら理解すると容易です。

こういう定義もあるよ!という観賞用と思っていただければ結構かもしれません。

(さすがに可換図式を入力するのは骨ですね。)ここまで閲覧いただきありがとうございます!

参考文献

  1. Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Series Number 143)
    (邦訳:ベーシック圏論 普遍性からの速習コース )
    (ちなみに英語版は こちらのURL にて見ることが出来ます。pdfですので,機種によってはダウンロードが始まります。留意ください。)

  2. 壱大整域(圏論)
    (日本語サイトで圏論と言えば!というサイト。Kan拡張に対するモチベーションが高いサイトです。)

参考文献

[1]
Tom Leinster, ベーシック圏論 普遍性からの速習コース, 丸善出版, 2017
投稿日:20201125

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投稿者

ぱるち
ぱるち
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数学屋さんをしています。代数,数論系に興味があり,今は楕円曲線と戯れています。Mathlogは現実逃避用という噂もあります。@f_d00123

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