可換図式で圏を定義する
この記事でやること
この記事では，圏を可換図式で定義します。というのも，せっかくMathlogでXy-picが実装されたんだから，可換図式を書いてみたいと思ったのが主な理由です。
図式をいっぱい書いたため，表示が不安定かもしれません。
また，スマホで閲覧される場合は，横向きで見ることを強く推奨します。
Category theory takes a bird’s eye view of mathematics.
（圏論は鳥の目で数学を俯瞰する．）$\tag{Basic Category Theory}$
個人的に大好きな言葉です。格好良いなと思います。
ベーシック圏論による定義
まずはベーシック圏論（参考文献１）による定義を紹介します。
圏$\A$とは，
- 対象の集まり${\mathop{\rm ob}(\A)}$
- 各$A,\,B\in\mathop{\rm ob}(\A)$について，$A$から$B$への射の集まり$\A(A,\,B)$
- 各$A,\,B,\,C\in \mathop{\rm ob}(\A)$について，合成と呼ばれる関数$$ \begin{array}{ccc} \A (B,\,C)\times \A(A,\,B)& \longrightarrow & \A(A,\,C)\\ (g,\,f)& \longmapsto & g\circ f \end{array}$$
- 各$A\in \mathop{\rm ob}(\A)$について，$A$上の恒等射と呼ばれる$\A(A,\,A)$の元$1_A$
からなり，以下の公理を満たすもののことである。
- 結合法則：任意の$f\in\A(A,B)$，$g\in\A(B,C)$，$h\in\A(C,D)$について$(h\circ g)\circ f=h\circ(g\circ f)$が成り立つ。
- 単位法則：任意の$f\in\A(A,B)$について$f\circ 1_A=f=1_B\circ f$が成り立つ
圏を可換図式で定義したい
ちょっとだけ準備します。
ファイバー積
圏を可換図式で定義するために，ファイバー積を定義しておきます。
写像$f\colon X\longrightarrow S$と$g\colon Y\longrightarrow S$に対し，積集合$X\times Y$の部分集合$$
X\times_S Y=\suuretu{(x,y)\in X\times Y\mid f(x)=g(y)}
$$
を，$X$と$Y$の$S$上のファイバー積と呼ぶ。$f$や$g$を明示したいときは，$X\times_{f,S,g} Y$と書くことにする。
また，ファイバー積の第一成分への射影や第二成分の射影をそれぞれ，$\mathop{\rm pr_1}\colon X\times_S Y\longrightarrow X$，$\mathop{\rm pr_2}\colon X\times_S Y\longrightarrow Y$で表すことにする。
可換図式
Xy-picを用いて記事を書く練習のついでに，可換図式を定義することにします。
以下の写像の図式が可換であるとは，$f\circ p=g\circ q$であることをいう。$$
\xymatrix{
T \ar[r]^p \ar[d]_q & X \ar[d]^f\\
Y \ar[r]_g & S %\ar@{}[lu]|{\Huge \circlearrowright}
}
$$
しばしば図中に記号$\circlearrowright$を用いることで，可換であることを表す：$$
\xymatrix{
T \ar[r]^p \ar[d]_q & X \ar[d]^f\\
Y \ar[r]_g & S \ar@{}[lu]|{\Huge \circlearrowright}
}
$$
さて，上記の定義において，写像$$
(p,q)\colon T\longrightarrow X\times Y
$$
は，ファイバー積への写像$(p,q)\colon T\longrightarrow X\times_S Y$を誘導する。すなわち，図式で表せば以下の図式が可換になることである。$$
\xymatrix{
T\ar@/^/[drr]^p\ar@/_/[ddr]_q\ar@{.>}[dr]|-{(p,q)} & & \\
& X\times_S Y \ar[r]_{\mathop{\rm pr}_1}\ar[d]^{\mathop{\rm pr}_2}& X\ar[d]^{f}\\
& Y \ar[r]_{g} & S\\
}
$$
式で表せば，$\mathop{\rm pr_2}\circ(p,q)=q$，$\mathop{\rm pr_1}\circ(p,q)=p$を満たすように$(p,q)$を定める。煩雑であることを恐れなければ$$
\xymatrix{
T\ar@/^/[drr]^p\ar@/_/[ddr]_q\ar@{.>}[dr]|-{(p,q)} & & \\
& X\times_S Y \ar[r]_{\mathop{\rm pr}_1}\ar[d]^{\mathop{\rm pr}_2}& X\ar[d]^{f}\ar@{}[lul]|{ \circlearrowright}\\
& Y \ar@{}[luu]|{ \circlearrowright} \ar[r]_{g} & S\ar@{}[lu]|{\huge \circlearrowright}\\
}
$$と書く。もう二度とこんなに↻は使わない。
写像の可換図式$$
\xymatrix{
U \ar[r]^s\ar[d]_p & W\ar[d]_r & V \ar[l]_t\ar[d]^q\\
X\ar[r]^f & S & Y\ar[l]_g \\
}
$$
に対し，積写像$p\times q\colon U\times V\longrightarrow X\times Y$の制限$U\times_W V\longrightarrow X\times_S Y$もまた$p\times q$で表すことにする。
さらに，写像$h\colon Y\to T$，$k\colon Z\to T$に対し，積集合$X\times Y\times Z$の部分集合として，$$
X\times_S Y\times_T Z\colon\!=\suuretu{(x,y,z)\in X\times Y\times Z\mid f(x)=g(y),h(y)=k(z) }
$$
と書く。$f,g,h,k$を明確に区別したければ，$
X\times_{f,S,g} Y\times_{h,T,k} Z
$と書くことにする。
$X\times_{f,S,g} Y\times_{h,T,k} Z=(X\times_S Y)\times_{h\circ \mathop{\rm pr_2},T,k}Z=X\times_{f,S,g\circ\mathop{\rm pr_1}}(Y\times_T Z)$です。
圏の別定義
というわけでここまでの準備を元に，圏を可換図式で定義しましょう。
集合$C$，$M$と写像$$
s\colon M\to C,\quad t\colon M\to C,\quad c\colon M\times_{s,C,t}M\to M,\quad e\colon C\to M
$$
で次の$4$つの図式が可換になるような$6$つ組$(C,M,s,t,c,e)$のことを圏という。このとき他の成分を省略して$C$を圏と呼ぶ。
$$
\xymatrix{
M\ar[d]_t & M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c \ar[l]_{\mathop{\rm pr_1\quad }}\ar[r]^{\mathop{\quad\rm pr_2 }}& M\ar[d]^s \\
C& M\ar[l]_t\ar[r]^s & C\\
}
$$
$$
\xymatrix{
M\times_{s,C,t}M\times_{s,C,t}M \ar[d]_{ 1_M\times c}\ar[r]^{\qquad c\times1_M}& M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c\\
M\times_{s,C,t}M \ar[r]^{c}& M
}
$$
$$
\xymatrix{
C\ar[r]^{1_C}\ar[rd]^e\ar[d]_{1_C} & C\\
C & M\ar[l]_{t}\ar[u]_s\\
}
$$
$$
\xymatrix{
M\ar[r]^{(e\circ t,1_M)}\ar[rd]^{1_M}\ar[d]_{(1_M,e\circ s)} & M\times_{s,C,t}M\ar[d]^c\\
M\times_{s,C,t}M \ar[r]^c& M\\
}
$$
２つの定義の対応
可換図式による定義において，$C$の元は圏の対象，$M$の元は圏の射に対応します。また，$A,B$が$C$の対象であり，$f\in M$が$s(f)=A,\ t(f)=B$を満たすとき，$f$を$A$から$B$への射と言います。$s$は源，$t$は的，$c$は合成と呼ばれます。$M$の元$g,f$に対してその対$(g,f)$が写像$c$の定義域$ M\times_{c,S,t}M $の元であるとき，$g$と$f$は合成可能であるといい，その合成$c(g,f)$とは$g\circ f$のことです。
$4$つの図式のうち，一番初めに書いた図式は，合成が出来ることを表しています。
二番目の図式は，結合法則が成り立つことを表しています。
三番目の図式は，各$A\in C$に対して$1_A$が存在することを表しています。
四番目の図式は，単位法則が成り立つことを表しています。
まとめ
あまり可換図式による定義は見たことがありません。（同値だよね！って言っているものはあると思いますが……）可換図式によって定義することで全体像は把握できるのですが，いかんせん理解するのに時間がかかってしまいます。最初に挙げた圏の定義と見比べながら理解すると容易です。
こういう定義もあるよ！という観賞用と思っていただければ結構かもしれません。
（さすがに可換図式を入力するのは骨ですね。）ここまで閲覧いただきありがとうございます！