可換図式で圏を定義する

圏論

1692

この記事でやること

この記事では，圏を可換図式で定義します。というのも，せっかくMathlogでXy-picが実装されたんだから，可換図式を書いてみたいと思ったのが主な理由です。

図式をいっぱい書いたため，表示が不安定かもしれません。
また，スマホで閲覧される場合は，横向きで見ることを強く推奨します。

Category theory takes a bird’s eye view of mathematics.
（圏論は鳥の目で数学を俯瞰する．）

個人的に大好きな言葉です。格好良いなと思います。

ベーシック圏論による定義

まずはベーシック圏論（参考文献１）による定義を紹介します。

Basic Category Theory

圏 $A$ とは，

対象の集まり $ob (A)$
各 $A, B \in ob (A)$ について， $A$ から $B$ への射の集まり $A (A, B)$
各 $A, B, C \in ob (A)$ について，合成と呼ばれる関数 $\begin{array}{ccc} A (B, C) \times A (A, B) & ⟶ & A (A, C) \\ (g, f) & ⟼ & g \circ f \end{array}$
各 $A \in ob (A)$ について， $A$ 上の恒等射と呼ばれる $A (A, A)$ の元 $1_{A}$

からなり，以下の公理を満たすもののことである。

結合法則：任意の $f \in A (A, B)$ ， $g \in A (B, C)$ ， $h \in A (C, D)$ について $(h \circ g) \circ f = h \circ (g \circ f)$ が成り立つ。
単位法則：任意の $f \in A (A, B)$ について $f \circ 1_{A} = f = 1_{B} \circ f$ が成り立つ

圏を可換図式で定義したい

ちょっとだけ準備します。

ファイバー積

圏を可換図式で定義するために，ファイバー積を定義しておきます。

ファイバー積

写像 $f : X ⟶ S$ と $g : Y ⟶ S$ に対し，積集合 $X \times Y$ の部分集合 $X \times_{S} Y = {(x, y) \in X \times Y ∣ f (x) = g (y)}$
を， $X$ と $Y$ の $S$ 上のファイバー積と呼ぶ。 $f$ や $g$ を明示したいときは， $X \times_{f, S, g} Y$ と書くことにする。

また，ファイバー積の第一成分への射影や第二成分の射影をそれぞれ， $p r_{1} : X \times_{S} Y ⟶ X$ ， $p r_{2} : X \times_{S} Y ⟶ Y$ で表すことにする。

可換図式

Xy-picを用いて記事を書く練習のついでに，可換図式を定義することにします。

可換図式

以下の写像の図式が可換であるとは， $f \circ p = g \circ q$ であることをいう。 $T p q X f Y g S$
しばしば図中に記号 $↻$ を用いることで，可換であることを表す： $T p q X f Y g S ↻$

さて，上記の定義において，写像 $(p, q) : T ⟶ X \times Y$
は，ファイバー積への写像 $(p, q) : T ⟶ X \times_{S} Y$ を誘導する。すなわち，図式で表せば以下の図式が可換になることである。 $T p q (p, q) X \times_{S} Y {pr}_{1} {pr}_{2} X f Y g S$
式で表せば， $p r_{2} \circ (p, q) = q$ ， $p r_{1} \circ (p, q) = p$ を満たすように $(p, q)$ を定める。~~煩雑であることを恐れなければ~~ $T p q (p, q) X \times_{S} Y {pr}_{1} {pr}_{2} X f ↻ Y ↻ g S ↻$ と書く。~~もう二度とこんなに↻は使わない。~~

写像の可換図式 $U s p W r V t q X f S Y g$
に対し，積写像 $p \times q : U \times V ⟶ X \times Y$ の制限 $U \times_{W} V ⟶ X \times_{S} Y$ もまた $p \times q$ で表すことにする。

さらに，写像 $h : Y \to T$ ， $k : Z \to T$ に対し，積集合 $X \times Y \times Z$ の部分集合として， $X \times_{S} Y \times_{T} Z : = {(x, y, z) \in X \times Y \times Z ∣ f (x) = g (y), h (y) = k (z)}$
と書く。 $f, g, h, k$ を明確に区別したければ， $X \times_{f, S, g} Y \times_{h, T, k} Z$ と書くことにする。

$X \times_{f, S, g} Y \times_{h, T, k} Z = (X \times_{S} Y) \times_{h \circ p r_{2}, T, k} Z = X \times_{f, S, g \circ p r_{1}} (Y \times_{T} Z)$ です。

圏の別定義

というわけでここまでの準備を元に，圏を可換図式で定義しましょう。

可換図式で定義する圏

集合 $C$ ， $M$ と写像 $s : M \to C, t : M \to C, c : M \times_{s, C, t} M \to M, e : C \to M$
で次の $4$ つの図式が可換になるような $6$ つ組 $(C, M, s, t, c, e)$ のことを圏という。このとき他の成分を省略して $C$ を圏と呼ぶ。
$M t M \times_{s, C, t} M c p r_{1} p r_{2} M s C M t s C$
$M \times_{s, C, t} M \times_{s, C, t} M 1_{M} \times c c \times 1_{M} M \times_{s, C, t} M c M \times_{s, C, t} M c M$
$C 1_{C} e 1_{C} C C M t s$
$M (e \circ t, 1_{M}) 1_{M} (1_{M}, e \circ s) M \times_{s, C, t} M c M \times_{s, C, t} M c M$

２つの定義の対応

可換図式による定義において， $C$ の元は圏の対象， $M$ の元は圏の射に対応します。また， $A, B$ が $C$ の対象であり， $f \in M$ が $s (f) = A, t (f) = B$ を満たすとき， $f$ を $A$ から $B$ への射と言います。 $s$ は源もと， $t$ は的まと， $c$ は合成と呼ばれます。 $M$ の元 $g, f$ に対してその対 $(g, f)$ が写像 $c$ の定義域 $M \times_{c, S, t} M$ の元であるとき， $g$ と $f$ は合成可能であるといい，その合成 $c (g, f)$ とは $g \circ f$ のことです。

$4$ つの図式のうち，一番初めに書いた図式は，合成が出来ることを表しています。

二番目の図式は，結合法則が成り立つことを表しています。

三番目の図式は，各 $A \in C$ に対して $1_{A}$ が存在することを表しています。

四番目の図式は，単位法則が成り立つことを表しています。

まとめ

あまり可換図式による定義は見たことがありません。（同値だよね！って言っているものはあると思いますが……）可換図式によって定義することで全体像は把握できるのですが，いかんせん理解するのに時間がかかってしまいます。最初に挙げた圏の定義と見比べながら理解すると容易です。

こういう定義もあるよ！という観賞用と思っていただければ結構かもしれません。

（さすがに可換図式を入力するのは骨ですね。）ここまで閲覧いただきありがとうございます！

参考文献

Basic Category Theory (Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Series Number 143)
（邦訳：ベーシック圏論普遍性からの速習コース）
（ちなみに英語版はこちらのURL にて見ることが出来ます。pdfですので，機種によってはダウンロードが始まります。留意ください。）
壱大整域（圏論）
（日本語サイトで圏論と言えば！というサイト。Kan拡張に対するモチベーションが高いサイトです。）