大学数学基礎解説

群作用2（重要な例）

代数学,群論,作用

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

重要な群作用の例を紹介します．重要な作用は無数にありますが，より一般論的なものを扱いたいと思います．

群の作用に関する定義や記号については群作用1 一般論の記事のものを使います．

$G$への作用

左移動作用

$G$を群とする．$L:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto L_g$を
$$L_g(h)=gh$$
で定めると，$L$によって$G\curvearrowright G$．この作用を$G$上の左移動作用という．

$h\in G$に対し，
$$\Orb_G(h)=\{gh\mid g\in G\}=G$$
より$L$は推移的である．また，
$$\Stab_G(h)=\{g\in G\mid gh=h\}=\{1\}$$
より$L$は自由でもあるから正則である．特に忠実であることから次が従う．

Cayleyの定理

任意の群はある対称群に埋込み可能，すなわちある対称群の部分群に同型である．

$L_g\in\mathfrak{S}(G)$は準同型でない．実際，$g\ne1$なら$1$が$1$に移らない．

共軛作用

$G$を群とする．$\Ad:G\to\mathfrak{S}(G),g\mapsto\Ad_g$を
$$\Ad_g(h)=g^{-1}hg(\eqqcolon h^g)$$
で定めると，反準同型$\Ad$によって$G\curvearrowleft G$．この右作用を$G$上の共軛作用(conjugation)という．$h\in G$に対し，
$$h^G:=\Orb_G(h)=\{g^{-1}hg\mid g\in G\}$$
を$h$の共軛類(conjugacy class)という．

この作用について考察する．$h,g\in G$に対し，
$$\Stab_G(h)=\{g\in G\mid g^{-1}hg=h\}=C_G(h)$$
$$\Fix_G(g)=\{h\in G\mid g^{-1}hg=h\}=C_G(g)$$
である．$C_G(h)$は$h$の中心化群(centralizer)である．
また固定点集合は
\begin{align} G^G &=\bigcap_{g\in G}C_G(g)\\ &=\{h\in G\mid \forall g\in G,g^{-1}hg=h\}\\ &=Z(G) \end{align}
である．$Z(G)$は$G$の中心(center)である．
Orbit-Stabilizer theoremから次が成り立つ．

共軛類の大きさは中心化群の指数

$$|h^G|=(G:C_G(h))$$

ここで$G$が有限群のとき，軌道分解
$$G=\bigsqcup_{i\in I}h_i^G$$
によって次を得る．

類等式

$$\abs{G}=\sum_{i\in I}|h_i^G|=\sum_{i\in I}(G:C_G(h_i))$$
この式を類等式(class formula)という．

\begin{align} |h^G|=1&\Leftrightarrow h^G=\{h\}\Leftrightarrow h\in Z(G) \end{align}

に注意すると，
$$\abs{G}=|Z(G)|+\sum_{h_i\notin Z(G)}(G:C_G(h_i))$$
とかける．

$$\Ker{\Ad}=\bigcap_{g\in G}C_G(g)=Z(G)$$
より，$\Ad$が忠実$\ \Leftrightarrow\ Z(G)=\{1\}$
$G\ne\{1\}$なら$\Orb_G(1)=\{1\}$より推移的でない．
$G\ne\{1\}$なら$\Stab_G(1)=G$より自由でない．

$\Ad_g:G\to G$は反同型であり，$\Ad:G\to\Aut(G)$とできる．

$G$に関する集合への作用

部分群集合への共軛作用

$G$を群，$\Subgrp(G):=\{P\mid P\le G\}$（部分群集合）とする．
$\Ad:G\to\mathfrak{S}(\Subgrp(G)),\ g\mapsto\Ad_g$を
$$\Ad_g(P)=g^{-1}Pg(\eqqcolon P^g)$$
で定めると，反準同型$\Ad$によって$\Subgrp(G)\curvearrowleft G$．この右作用を部分群集合への共軛作用という．

また，$H\le G$のとき，$\Ad|_{H}$によって$ \Subgrp(G)\curvearrowleft H$．
$$P^H:=\Orb_H(P)=\{g^{-1}Pg\mid g\in H\}$$
の元を$P$の$H$に関する共軛部分群という．

$$\Stab_G(P)=\{g\in G\mid g^{-1}Pg=P\}\eqqcolon N(P)$$

は$P$の正規化群(normalizer)である．

$$\Stab_H(P)=\{g\in H\mid g^{-1}Pg=P\}=H\cap N(P)$$
である．Orbit-Stabilizer theoremから次が従う．

共軛部分群の数は正規化群の指数

$$|P^G|=(G:N(P))$$
$$|P^H|=(H:H\cap N(P))$$

また，$\Subgrp(G)\curvearrowleft G$の固定点集合は
$$G^G=\bigcap_{g\in G}\{P\le G\mid g^{-1}Pg=P\}=\{P\mid P\trianglelefteq G\}$$
つまり，$G$の正規部分群とは$G$による部分群集合への共軛作用の固定点のことである．

剰余類集合への作用

$G$を群，$H\le G$とする．$\rho\colon G\to \mathfrak{S}(G/H)$を
$$\rho(g)\colon G/H\to G/H,\ kH\mapsto (gk)H$$
で定めると，$G\curvearrowright G/H$．

$$\Orb_G(H)=\{gH\mid g\in G\}=G/H$$
よりこの作用は推移的である．また$k\in G$に対し，
\begin{align} \Stab_G(kH) &=\{g\in G\mid (gk)H=kH\}\\ &=\{g\in G\mid k^{-1}gk\in H\}\\ &=\{g\in G\mid g\in kHk^{-1}\}\\ &=kHk^{-1}=\Ad_{k^{-1}}(H) \end{align}

$\mathfrak{S}(X)$の部分群

$\mathfrak{S}(X)$の部分群$S(X)$が与えられたとき，
$$\iota\colon S(X)\to \mathfrak{S}(X)$$
を包含写像とすると$\iota$によって$S(X)\curvearrowright X$．

特に全単射の中でも空間の構造を保つ写像（同型）の全体の群による作用は自然である．

群$G$上の自己同型群$\Aut(G)$は$\Aut(G)\curvearrowright G$

環$A$上の自己同型群$\Aut(A)$は$\Aut(A)\curvearrowright A$

体$K$上の自己同型群$\Aut(K)$は$\Aut(K)\curvearrowright K$

$K$線形空間$V$上の一般線型群$\GL(V)$は$\GL(V)\curvearrowright V$

位相空間$X$上の同相群$\Homeo(X)$は$\Homeo(X)\curvearrowright X$

多様体$M$上の$C^r$微分同相群$\operatorname{Diff}^r(M)$は$\operatorname{Diff}^r(M)\curvearrowright M$

線型表現

群準同型$\rho\colon G\to S(X)\le \mathfrak{S}(X)$が与えられたとき，$\iota\circ\rho$によって$G\curvearrowright X$である．($\iota\colon S(X)\to \mathfrak{S}(X)$は包含写像)

線型表現

$V$を$K$線形空間，$G$を群とするとき，準同型
$$\rho\colon G\to\GL(V)$$
が与えられたとき，$(V,\rho)$を$G$の表現(representation)という．$G$の表現があれば$G\curvearrowright V$．

正則表現

$G$を群，$k$を体，$\dps V=k[G]\coloneqq\bigoplus_{g\in G}k\cdot g$を群環とする．$g\in G$に対し$\rho(g)$を
$$\rho(g)(h)=gh\ (h\in G)$$
で定まる線型変換とする．このとき$\rho\colon G\to \GL(k[G])$によって，$G \curvearrowright k[G]$．これを正則表現という．正則表現は$G$上の左乗法作用を線型に拡張したものと考えられる．

$\R^n$の自然な表現として，次の自然表現がある．

自然表現

$V=\R^n,G=\GL_{n}(\R)$とすれば，表現行列と線型変換の対応
$$\rho\colon \GL_{n}(\R) \stackrel{\cong}{\to}\GL(\R^n)$$
によって$\GL_{n}(\R) \curvearrowright \R^n$．これを自然表現という．

また$\GL_n(\R)$の部分群
$$\SO_n(\R)\le \SL_n(\R)\le \GL_n(\R)$$
$$\SO_n(\R)\le \O_n(\R)\le \GL_n(\R)$$
を考えることで，
$$\SO_n(\R)\curvearrowright \R^n, \SL_n(\R)\curvearrowright \R^n, \O_n(\R)\curvearrowright \R^n $$
が得られる．