9

tan1 は有理数か?

2868
0
$$\newcommand{dx}[0]{\,\mathrm{d}x} $$

はじめに

次の問題を解く.これは言うまでもなく2006年京大入試の問題の改変である.
ここで必要な知識は高校数学レベルで十分である.

$\tan 1$ は有理数か?ただし,角度は弧度法で表されている.

以前 Twitter に投稿したもの を改めてここで書く.

証明

下準備

証明で使う仮定

以下,$\sin 1 , \tan 1$が共に正の実数であることは証明なしで用いる.

$I_n$の定義

$n$を正の整数として,$I_n$
\begin{equation} I_n := \frac{1}{\sin 1} \int_0^1 x^{2n-1} \sin x \dx \end{equation}
と定める.

任意の$n$について,
\begin{equation} I_n = \frac{a_n}{\tan 1} + b_n \end{equation}
を満たすような整数 $a_n, b_n$ が存在する.

部分積分により,
\begin{align} I_{n+1} &= \frac{1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n+1} \sin x \dx \\ &= \frac{1}{\sin 1}\left(-\cos 1+(2 n+1) \int_{0}^{1} x^{2 n} \cos x \dx \right)\\ &= -\frac{1}{\tan 1}+\frac{2 n+1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n} \cos x \dx \\ &= -\frac{1}{\tan 1}+\frac{2 n+1}{\sin 1}\left(\sin 1-2 n \int_{0}^{1} x^{2 n-1} \sin x \dx \right) \\ &= -\frac{1}{\tan 1}+2 n+1-2 n(2 n+1) I_{n} \tag*{$\cdots(\star)$} \end{align}
となる.これと
\begin{equation} I_1 = -\frac{1}{\tan 1} + 1 \end{equation}
から,数学的帰納法によって命題が示される.

任意の$n$について,
\begin{equation} 0< I_n < \frac{1}{2n} \end{equation}
が成立する.

被積分関数 $x^{2n-1} \sin x$$0< x<1$ で単調増加し,また $\sin 1 > 0$ であるから,
\begin{equation} \frac{1}{\sin 1} \int_0^1 0^{2n-1} \sin 0 \dx < \frac{1}{\sin 1} \int_0^1 x^{2n-1} \sin x \dx . \end{equation}
したがって,任意の$n$について
\begin{equation} I_n > 0. \tag*{$\cdots (\star\star)$} \end{equation}

一方,$(\star)$より,
\begin{equation} 2 n(2 n+1) I_{n}=2 n+1-\left(I_{n+1}+\frac{1}{\tan 1}\right) \end{equation}
を得るが,($\star\star$)と$\tan 1>0$により,
\begin{equation} I_{n+1} + \frac{1}{\tan 1} >0. \end{equation}
よって,任意の正の整数$n$について
\begin{equation} I_{n}=\frac{1}{2n}-\frac{1}{2 n(2 n+1) }\left(I_{n+1}+\frac{1}{\tan 1}\right) < \frac{1}{2n} \end{equation}
が成立する.

本題

$\tan 1$ の無理性

$\tan 1$ は無理数である.

背理法により示す.$\tan 1$ が有理数であると仮定すると,正の整数$p,q$を用いて$\tan 1 = \dfrac{p}{q}$とおける.すると補題1により
\begin{equation} I_n = \frac{a_n}{p/q} + b_n = \frac{q a_n + p b_n}{p} \end{equation}
が得られ,続いて補題2により
\begin{equation} 0 < q a_n + p b_n < \frac{p}{2n} \end{equation}
が得られる.ここで,$q a_n + p b_n$ は整数である.
$n$は任意であったから,$n \geq \dfrac{p}{2}$とできるが,このとき
\begin{equation} 0 < q a_n + p b_n < 1 \end{equation}
となり,$q a_n + p b_n$ が整数であることに反する.したがって,$\tan 1$ は無理数である.

おわりに

Mathlog の練習がてら書いてみた.たのしい!!!!!!

投稿日:20201126

この記事を高評価した人

高評価したユーザはいません

この記事に送られたバッジ

バッジはありません。

投稿者

コメント

他の人のコメント

コメントはありません。
読み込み中...
読み込み中