大学数学基礎解説

tan1 は有理数か？

三角関数,高校数学

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はじめに

次の問題を解く．これは言うまでもなく2006年京大入試の問題の改変である．
ここで必要な知識は高校数学レベルで十分である．

$\tan 1$ は有理数か？ただし，角度は弧度法で表されている．

以前 Twitter に投稿したものを改めてここで書く．

証明

下準備

証明で使う仮定

以下， $\sin 1, \tan 1$ が共に正の実数であることは証明なしで用いる．

I_{n}

の定義

$n$ を正の整数として， $I_{n}$ を
$I_{n} := \frac{1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n - 1} \sin x d x$
と定める．

任意の $n$ について，
$I_{n} = \frac{a_{n}}{\tan 1} + b_{n}$
を満たすような整数 $a_{n}, b_{n}$ が存在する．

部分積分により，
$\begin{aligned} I_{n + 1} & = \frac{1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n + 1} \sin x d x \\ = \frac{1}{\sin 1} (- \cos 1 + (2 n + 1) \int_{0}^{1} x^{2 n} \cos x d x) \\ = - \frac{1}{\tan 1} + \frac{2 n + 1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n} \cos x d x \\ = - \frac{1}{\tan 1} + \frac{2 n + 1}{\sin 1} (\sin 1 - 2 n \int_{0}^{1} x^{2 n - 1} \sin x d x) \\ \dots (⋆) & = - \frac{1}{\tan 1} + 2 n + 1 - 2 n (2 n + 1) I_{n} \end{aligned}$
となる．これと
$I_{1} = - \frac{1}{\tan 1} + 1$
から，数学的帰納法によって命題が示される．

任意の $n$ について，
$0 < I_{n} < \frac{1}{2 n}$
が成立する．

被積分関数 $x^{2 n - 1} \sin x$ は $0 < x < 1$ で単調増加し，また $\sin 1 > 0$ であるから，
$\frac{1}{\sin 1} \int_{0}^{1} 0^{2 n - 1} \sin 0 d x < \frac{1}{\sin 1} \int_{0}^{1} x^{2 n - 1} \sin x d x .$
したがって，任意の $n$ について
$\begin{matrix} \dots (⋆ ⋆) & I_{n} > 0. \end{matrix}$

一方， $(⋆)$ より，
$2 n (2 n + 1) I_{n} = 2 n + 1 - (I_{n + 1} + \frac{1}{\tan 1})$
を得るが，( $⋆ ⋆$ )と $\tan 1 > 0$ により，
$I_{n + 1} + \frac{1}{\tan 1} > 0.$
よって，任意の正の整数 $n$ について
$I_{n} = \frac{1}{2 n} - \frac{1}{2 n (2 n + 1)} (I_{n + 1} + \frac{1}{\tan 1}) < \frac{1}{2 n}$
が成立する．

本題

\tan 1

の無理性

$\tan 1$ は無理数である．

背理法により示す． $\tan 1$ が有理数であると仮定すると，正の整数 $p, q$ を用いて $\tan 1 = \frac{p}{q}$ とおける．すると補題1により
$I_{n} = \frac{a_{n}}{p / q} + b_{n} = \frac{q a_{n} + p b_{n}}{p}$
が得られ，続いて補題2により
$0 < q a_{n} + p b_{n} < \frac{p}{2 n}$
が得られる．ここで， $q a_{n} + p b_{n}$ は整数である．
$n$ は任意であったから， $n \geq \frac{p}{2}$ とできるが，このとき
$0 < q a_{n} + p b_{n} < 1$
となり， $q a_{n} + p b_{n}$ が整数であることに反する．したがって， $\tan 1$ は無理数である．