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僕なりの実数構成法

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はじめに

最近、今まで学んだ数学の復習をしている。解析の復習をしていたら、過去に躓いたまま放置していた「実数の構成」にぶち当たった。当時は無理だったが、あれから僕の数学力もある程度上昇した。今なら理解できるだろう。そう思って開いた解析学の講義PDF。さっぱり理解できん。やはりあれから数学力など微塵も上昇しては無いのだろうか。しかしここで諦めるわけにはいかない。だけど何度読んでも理解できない。そんな僕がたどり着いた結論はこうだ。
「理解できないなら自分で作ればよくね」
数学弱者の壮絶な冒険が今、はじまる。

僕なりの構成法

ペアノの公理から始まる自然数から有理数までの構成は認めるものとしよう。

無理数

任意の$n\in \mathbb{N}$に対し、$a_n\in \mathbb{Q}$となる数列をとる。収束する数列$\{a_n\}$の極限値の全体集合を$\mathbb{R}$とし、$\mathbb{I=R\backslash Q}$と定義する。

一見これでよさそうに見える。が、無理数の性質を利用するならもっと簡単な定義がある。

無理数

数列$\{a_n\}$は、十進法における1桁の非負整数しか値をとらないとする。このとき、$N\in \mathbb{N}$に対し
$$ \sum_{n=-N}^{\infty}\frac{a_n}{10^n} $$
で表される数全体の集合を$\mathbb{R}$とし、$\mathbb{I=R\backslash Q}$と定義する。

これらの定義や一般に用いられる定義との同値性について、僕はまだ証明できてない。証明出来たら続きを書こうと思う。

追記

指摘に基づき、一部記法を訂正しました。

投稿日:20201126

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空集合
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