M-推定量の可測性について

次の証明はGourieroux and Monfortbook1のProperty 24.1を参考にしています.

【第1段】

$\Uptheta$は$\mathbb{R}^p$のコンパクト部分集合であるから, 可算稠密部分集合を持つ (例えば, 齋藤book4の命題5.4.12). したがって, $\Uptheta$の有限部分集合の増大列$\{\Uptheta_n\}_{n\in\mathbb{N}}$で,
\begin{align*} \Uptheta_\infty = \bigcup_{n=1}^{\infty}\Uptheta_n, \quad\cl(\Uptheta_\infty)=\Uptheta \end{align*}
を満たすものが存在する.

【第2段】

$n\in\mathbb{N}$を固定し, 関数$Q(\omega,\,\cdot\,)$の$\Uptheta_n$上での最大化を考える. 今,
\begin{align*} \Uptheta_n = \{ \bm{\theta}_{n,1}, \ldots, \bm{\theta}_{n,K_n} \}, \quad K_n < \infty \end{align*}
とする. もし$Q$を最大化する点が複数存在する場合には添字が最小のものを選ぶことにして, $\widehat{\bm{\theta}}_n:\Omega\to\Uptheta_n$を
\begin{align*} \widehat{\bm{\theta}}_n(\omega) = \bm{\theta}_{n,j}, \quad j = \min\Big\{ k \in \{ 1, \ldots, K_n \}\,\Big|\,Q(\omega, \bm{\theta}_{n,k}) = \max_{\bm{\theta}\in\Uptheta_n} Q(\omega, \bm{\theta}) \Big\} \end{align*}
により定める. このとき, もちろん任意の$\omega\in\Omega$について
\begin{align*} Q\big( \omega,\widehat{\bm{\theta}}_n(\omega) \big) = \max_{\bm{\theta}\in\Uptheta_n} Q(\omega,\bm{\theta}) \end{align*}
である. また, 各$j\in\{1, \ldots, K_n\}$について
\begin{align*} \big\{ \omega\,|\,\widehat{\bm{\theta}}_n(\omega) = \bm{\theta}_{n,j} \big\} = \bigcap_{i=1}^{j-1} \big\{ \omega\,\big|\,Q(\omega, \bm{\theta}_{n,j}) > Q(\omega, \bm{\theta}_{n,i}) \big\} \cap \bigcap_{i=j}^{K_n} \big\{ \omega\,\big|\,Q(\omega, \bm{\theta}_{n,j}) \geq Q(\omega, \bm{\theta}_{n,i}) \big\} \end{align*}
であり, 右辺に現れる集合はいずれも$\mathscr{F}$に属するから, $\widehat{\bm{\theta}}_n$は$\mathscr{F}$-可測である.

【第3段】

可測写像列$\{\widehat{\bm{\theta}}_n\}_{n\in\mathbb{N}}$から収束部分列を構成する. まず, 各$q \in \mathbb{N}$について写像$n_q^{(0)}: \Omega \to \mathbb{N}$を
\begin{align*} n_q^{(0)}(\omega)=q \end{align*}
で定める. 次に, 任意に$r\in\{1,\ldots,p\}$を固定し, $\mathscr{F}$-可測な正整数値写像列
\begin{align*} n_1^{(r-1)}(\omega) < n_2^{(r-1)}(\omega) < \cdots, \quad \omega\in\Omega \end{align*}
が既に構成されていると仮定する. 各$\omega\in\Omega$について
\begin{align*} \widehat{\theta}^{(r)}(\omega) = \liminf_{q\to\infty} \widehat{\theta}_{n_q^{(r-1)}(\omega)}^{(r)}(\omega)\;(\in\mathbb{R}) \end{align*}
と定める. ここで, $\widehat{\theta}_n^{(r)}$は$\widehat{\bm{\theta}}_n$の第$r$成分を表す. このとき, 各$q\in\mathbb{N}$について写像$\omega\mapsto\widehat{\theta}_{n_q^{(r-1)}(\omega)}^{(r)}(\omega)$は可測である. 実際, 任意の$a\in\mathbb{R}$に対して
\begin{align*} \Big\{ \omega\,\Big|\,\widehat{\theta}_{n_q^{(r-1)}(\omega)}^{(r)}(\omega) < a \Big\} = \bigcup_{m=1}^{\infty} \Big[ \big\{ \omega\,\big|\,n_q^{(r-1)}(\omega) = m \big\} \cap \big\{ \omega\,\big|\,\widehat{\theta}_m^{(r)}(\omega) < a \big\} \Big] \end{align*}
であり, $n_q^{(r-1)}$は$\mathscr{F}$-可測であるから, 右辺に現れる集合はいずれも$\mathscr{F}$に属する. したがって, $\widehat{\theta}^{(r)}$も$\mathscr{F}$-可測である.

さて, $k_0^{(r)} = 0$とし, 各$q\in\mathbb{N}$について写像$k_q^{(r)}: \Omega \to \mathbb{N}$を帰納的に
\begin{align*} k_q^{(r)}(\omega) = \min\bigg\{ k\in\mathbb{N}\,\bigg|\, k>k_{q-1}^{(r)}(\omega), \Big| \widehat{\theta}_{n_k^{(r-1)}(\omega)}^{(r)}(\omega) - \widehat{\theta}^{(r)}(\omega) \Big| <\frac{1}{q} \bigg\} \end{align*}
で定める. ここで, $\widehat{\theta}^{(r)}$の定義より, 任意の$\omega\in\Omega$と$q\in\mathbb{N}$について右辺の集合は空でないことに注意する. 写像$k_q^{(r)}$は可測である. 実際,
\begin{align*} C_{q,k}^{(r)} = \bigg\{ \omega\,\bigg|\, \Big| \widehat{\theta}_{n_k^{(r-1)}(\omega)}^{(r)}(\omega) - \widehat{\theta}^{(r)}(\omega) \Big| <\frac{1}{q} \bigg\} \end{align*}
とおけば, 任意の$m\in\mathbb{N}$に対して
\begin{align*} \big\{ \omega\,\big|\,k_q^{(r)}(\omega) = m \big\} = \big\{ \omega\,\big|\, k_{q-1}^{(r)}(\omega) < m \big\} \cap C_{q,m}^{(r)} \cap \bigcap_{\ell=1}^{m-1} \Big[ \big\{ \omega\,\big|\,k_{q-1}^{(r)}(\omega) \geq \ell \big\} \cup \big( C_{q, \ell}^{(r)} \big)^c \Big] \end{align*}
であり, $k_0^{(r)}$は$\mathscr{F}$-可測であるから, 右辺に現れる集合はいずれも$\mathscr{F}$に属することが帰納法で示せる. そこで, 各$q\in\mathbb{N}$について$n_q^{(r)}: \Omega \to \mathbb{N}$を
\begin{align*} n_q^{(r)}(\omega) = n_{k_q^{(r)}(\omega)}^{(r-1)}(\omega) \end{align*}
と定めると, この写像は$\mathscr{F}$-可測である. 実際, 任意の$m\in\mathbb{N}$に対して
\begin{align*} \big\{ \omega\,\big|\,n_q^{(r)}(\omega) = m \big\} = \bigcup_{\ell=1}^{\infty} \Big[ \big\{ \omega\,\big|\, k_q^{(r)}(\omega) = \ell \big\} \cap \big\{ \omega\,\big|\,n_\ell^{(r-1)}(\omega) = m \big\} \Big] \end{align*}
であり, $k_q^{(r)}$, $n_\ell^{(r-1)}$の$\mathscr{F}$-可測性より右辺に現れる集合はいずれも$\mathscr{F}$に属する. 定義より各$\omega\in\Omega$について$\{ n_q^{(r)}(\omega) \}$は$\{ n_q^{(r-1)}(\omega) \}$の部分列であり,
\begin{align*} \Big| \widehat{\theta}_{n_q^{(r)}(\omega)}^{(r)}(\omega) - \widehat{\theta}^{(r)}(\omega) \Big| < \frac{1}{q}, \quad \omega\in\Omega \end{align*}
であるから,
\begin{align*} \lim_{q\to\infty} \widehat{\theta}_{n_q^{(r)}(\omega)}^{(r)}(\omega) = \widehat{\theta}^{(r)}(\omega), \quad \omega\in\Omega. \end{align*}
である.

以上の操作を$r=1,\ldots,p$について繰り返すと, $\{ n_q^{(1)} \}, \ldots, \{ n_q^{(p)} \}$および$\widehat{\theta}^{(1)}, \ldots, \widehat{\theta}^{(p)}$が得られる. 各$\omega\in\Omega$および各$r\in\{1,\ldots,p\}$について, $\{n_q^{(p)}(\omega)\}$は$\{n_q^{(r)}(\omega)\}$の部分列であるから,
\begin{align*} \lim_{q\to\infty} \widehat{\bm{\theta}}_{n_q^{(p)}(\omega)}(\omega) = \widehat{\bm{\theta}}(\omega) = \big[ \widehat{\theta}^{(1)}(\omega), \ldots, \widehat{\theta}^{(p)}(\omega) \big]^\prime, \quad \omega\in\Omega \end{align*}
が成り立つ. このとき, 各$q\in\mathbb{N}$について$\widehat{\bm{\theta}}_{n_q^{(p)}(\omega)}(\omega) \in \Uptheta$であり, $\Uptheta$はコンパクトであるから, $\widehat{\bm{\theta}}(\omega)\in\Uptheta$となることに注意する. また, $\widehat{\theta}^{(1)}, \ldots, \widehat{\theta}^{(p)}$は$\mathscr{F}$-可測であるから, $\widehat{\bm{\theta}}$も$\mathscr{F}$-可測である.

【第4段】

任意に$\omega\in\Omega$を固定するとき,
\begin{align*} Q\big( \omega, \widehat{\bm{\theta}}(\omega) \big) &= \lim_{q\to\infty} Q\big( \omega, \widehat{\bm{\theta}}_{n_q^{(p)}(\omega)}(\omega) \big) \\ &= \lim_{q\to\infty} \max_{\bm{\theta} \in \Uptheta_{n_q^{(p)}(\omega)}} Q(\omega, \bm{\theta}) \\ &= \sup_{\bm{\theta}\in\Uptheta_\infty} Q(\omega,\bm{\theta}) \\ &= \max_{\bm{\theta}\in\Uptheta} Q(\omega,\bm{\theta}). \end{align*}
が成り立つ. ここで, 第1行は$\widehat{\bm{\theta}}_{n_q^{(p)}} \to \widehat{\bm{\theta}}$および$\bm{\theta} \mapsto Q(\omega, \bm{\theta})$の連続性, 第2行は$\{ \widehat{\bm{\theta}}_n \}$の定義, 第3行は$\Uptheta_n \uparrow \Uptheta_\infty$による. 第4行は$\Uptheta_\infty$の$\Uptheta$における稠密性, $\bm{\theta} \mapsto Q(\omega, \bm{\theta})$の連続性および$\Uptheta$のコンパクト性による. (証明終)