M-推定量の可測性について

次の証明はGourieroux and Monfort[1]のProperty 24.1を参考にしています.

【第1段】

${\mathbb{R}}^p$の任意のコンパクト部分集合は可算な稠密部分集合を持つ (例えば, 齋藤[4]の命題5.4.12). したがって, $\mathrm{\Theta }$の有限部分集合の増大列$\{{\mathrm{\Theta }}_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$で, 可算集合${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{\infty }}=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}{\mathrm{\Theta }}_n$に対して$\text{cl}({\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{\infty }})=\mathrm{\Theta }$を成り立つようなものが存在する.

【第2段】

以下$n$を固定し, $Q(\omega ,\cdot )$の${\mathrm{\Theta }}_n$上での最大化を考える. 今, ${\mathrm{\Theta }}_n=\{{\mathit{\theta }}_1,\dots ,{\mathit{\theta }}_{K_n}\}$, $K_n<\mathrm{\infty }$とし, ${\hat{\mathit{\theta }}}_n$を次のように定義する : 各$\omega \in \mathrm{\Omega }$について
$$\begin{array}{rl}{\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega )& ={\mathit{\theta }}_1,\text{if}Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_1)\ge Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_i),i=2,\dots ,K_n,\\ {\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega )& ={\mathit{\theta }}_2,\text{if}Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_2)>Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_1),Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_2)\ge Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_i),i=3,\dots ,K_n,\\ & ⋮\\ {\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega )& ={\mathit{\theta }}_{K_n},\text{if}Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_{K_n})>Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_i),i=1,\dots ,K_n-1.\end{array}$$
このとき, ${\hat{\mathit{\theta }}}_n$は明らかに任意の$\omega \in \mathrm{\Omega }$に対して
$$\begin{array}{r}Q(\omega ,{\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega ))=\underset{\mathit{\theta }\in {\mathrm{\Theta }}_n}{max}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
を満たす. また,
$$\begin{array}{r}\{{\hat{\mathit{\theta }}}_n={\mathit{\theta }}_j\}=[\bigcap _{i=1}^{j-1}\{\omega |Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_j)>Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_i)\}]\cap [\bigcap _{i=j}^{K_n}\{\omega |Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_j)\ge Q(\omega ,{\mathit{\theta }}_i)\}],j=1,\dots ,K_n\end{array}$$
であり, $Q(\cdot ,\mathit{\theta })$の可測性より右辺は$\mathcal{F}$に属するから, ${\hat{\mathit{\theta }}}_n$は$\mathcal{F}$-可測である.

【第3段】

${\hat{\theta }}^{(1)}(\omega )=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim inf}{\hat{\theta }}_n^{(1)}(\omega )$とおく. ここで, ${\hat{\theta }}_n^{(1)}(\omega )$は${\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega )$の第1成分である. このとき, 第2段の結果より${\hat{\theta }}^{(1)}$は$\mathcal{F}$-可測である (例えば, 伊藤[3]の定理10.6).
任意に$\omega \in \mathrm{\Omega }$を固定する. このとき, $\{{\hat{\mathit{\theta }}}_n(\omega ){\}}_{n\in \mathbb{N}}$の部分列$\{{\hat{\mathit{\theta }}}_{n_q}(\omega ){\}}_{q\in \mathbb{N}}$が存在して, $\mathrm{\Theta }$のコンパクト性より適当な${\bar{\theta }}^{(2)}(\omega ),\dots ,{\bar{\theta }}^{(p)}(\omega )$に対して
$$\begin{array}{r}\underset{q\to \mathrm{\infty }}{lim}{\hat{\mathit{\theta }}}_{n_q}(\omega )=[{\hat{\theta }}^{(1)}(\omega ),{\bar{\theta }}^{(2)}(\omega ),\dots ,{\bar{\theta }}^{(p)}(\omega ){]}^{\prime }\end{array}$$
が成り立つ. これより
$$\begin{array}{rl}\underset{{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)}}{sup}Q(\omega ,{\hat{\theta }}^{(1)}(\omega ),{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)})& \ge Q(\omega ,{\hat{\theta }}^{(1)}(\omega ),{\bar{\theta }}^{(2)}(\omega ),\dots ,{\bar{\theta }}^{(p)}(\omega ))\\ & =\underset{q\to \mathrm{\infty }}{lim}Q(\omega ,{\hat{\mathit{\theta }}}_{n_q}(\omega ))\\ & =\underset{q\to \mathrm{\infty }}{lim}\underset{\mathit{\theta }\in {\mathrm{\Theta }}_{n_q}}{max}Q(\omega ,\mathit{\theta })\\ & =\underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
となる. ここで, 第2行は$Q(\omega ,\cdot )$の連続性, 最終行は${\mathrm{\Theta }}_{\mathrm{\infty }}$の稠密性および$Q(\omega ,\cdot )$の連続性による. したがって,
$$\begin{array}{r}{Q}^{(1)}(\omega ,{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)})=Q(\omega ,{\hat{\theta }}^{(1)}(\omega ),{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)})\end{array}$$
とおくと, $Q^{(1)}(\cdot ,{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)})$は$\mathcal{F}$-可測であり,
$$\begin{array}{r}\underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}{Q}^{(1)}(\omega ,{\theta }^{(2)},\dots ,{\theta }^{(p)})\ge \underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
が成り立つ.

【第4段】

関数$Q$を$Q^{(1)}$に置き換えて第3段における議論を繰り返す. このとき, $\mathcal{F}$-可測となるように写像${\hat{\theta }}^{(2)}$が構成できて,
$$\begin{array}{r}{Q}^{(2)}(\omega ,{\theta }^{(3)},\dots ,{\theta }^{(p)})=Q^{(1)}(\omega ,{\hat{\theta }}^{(2)}(\omega ),{\theta }^{(3)},\dots ,{\theta }^{(p)})\end{array}$$
で定義される$Q^{(2)}(\cdot ,{\theta }^{(3)},\dots ,{\theta }^{(p)})$も$\mathcal{F}$-可測となり, 任意の$\omega \in \mathrm{\Omega }$に対して
$$\begin{array}{r}\underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}{Q}^{(2)}(\omega ,{\theta }^{(3)},\dots ,{\theta }^{(p)})\ge \underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
が成り立つ. 同様の議論を残り$p-2$回繰り返すと, 最終的に$\mathcal{F}$-可測写像$\hat{\mathit{\theta }}=[{\hat{\theta }}^{(1)},\dots ,{\hat{\theta }}^{(p)}{]}^{\prime }$が構成でき, 任意の$\omega \in \mathrm{\Omega }$に対して
$$\begin{array}{r}Q(\omega ,\hat{\mathit{\theta }}(\omega ))=Q^{(p-1)}(\omega ,{\hat{\theta }}^{(p)}(\omega ))\ge \underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{sup}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
が成り立つ. 逆向きの不等式は明らかであるから, コンパクト集合上の連続関数は最大値を持つことに注意すると, 任意の$\omega \in \mathrm{\Omega }$に対して
$$\begin{array}{r}Q(\omega ,\hat{\mathit{\theta }}(\omega ))=\underset{\mathit{\theta }\in \mathrm{\Theta }}{max}Q(\omega ,\mathit{\theta })\end{array}$$
が成り立つ. (証明終)