今度は, お気に入りの積分の解説を書きます.
この積分自体は MathStackExchangeさんで見つけたものなのですが, 証明は自分で考えたので, お気に入りです!
$$ \int_0^{\infty}\sin(x^2)\sin(x^{-2})\, dx=\frac14\sqrt{\fracπ2}\Big(e^{-2}+\sin2-\cos2\Big) $$
(証明)
まず, 次の補題を示します.
〈補題〉
$\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$ が収束するとき, $\displaystyle \int_{-\infty}^\infty f\Big(x-\frac1x\Big)\,dx=\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx$ が成り立つ.
(補題の証明)
$$\displaystyle\int_{-\infty}^0f\Big(x-\frac1x\Big)\,dx=\int_0^\infty f\Big(x-\frac1x\Big)\,\frac{dx}{x^2}$$
なので, $\displaystyle \Big(x\mapsto-\frac1x$と置換しました$\displaystyle \Big)$
$$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^\infty f\Big(x-\frac1x\Big)\,dx&=&\int_0^\infty f\Big(x-\frac1x\Big)\,\Big(1+\frac1{x^2}\Big)\,dx\\[5pt] &=&\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx \end{eqnarray*}$$
となります. $\displaystyle \Big(x-\frac1x\mapsto x$と置換しました$\displaystyle \Big)$ □
${}$
この補題に注意して変形していきます.
$$\begin{eqnarray*} &&\int_0^{\infty}\sin(x^2)\sin(x^{-2})\, dx\\[5pt] &=&\frac12\int_0^\infty\bigg\{\cos\Big(x^2-\frac1{x^2}\Big)-\cos\Big(x^2+\frac1{x^2}\Big)\bigg\}\,dx \end{eqnarray*}$$
右辺の第$i$項の積分を$I_i$とおきます. ($i=1,2$)
${}$
まず$I_2$は,
$$\begin{eqnarray*}
I_2&=&\frac12\int_{-\infty}^\infty\cos\bigg\{\Big(x-\frac1x\Big)^2+2\bigg\}\,dx\\[5pt]
&=&\int_0^\infty\cos(x^2+2)\,dx\\[5pt]
&=&\frac12\sqrt{\fracπ2}\big(\cos2-\sin2\big)
\end{eqnarray*}$$
${}$
次に$I_1$は,
$$\displaystyle I_1=\Re\int_0^\infty \exp\bigg\{i\Big(x^2-\frac1{x^2}\Big)\bigg\}\,dx$$
ここで $\displaystyle x=e^{\frac{iπ}4}z$ と置換すると,
$$\displaystyle I_1=\Re\,e^{\frac{iπ}4}\int_0^{e^{-\frac{iπ}4}\infty}\exp\bigg\{-\Big(z^2+\frac1{z^2}\Big)\bigg\}dz$$
ただし区間 $\displaystyle (0, e^{-\frac{iπ}4}\infty)$ とは, $\displaystyle z=e^{-\frac{iπ}4}t\ (t:0\to\infty)$ と積分することを表します.
${}$
$R$を実数とし, 複素数平面上で 点$\displaystyle0, R, Re^{-\frac{iπ}4}$ を頂点とする, 中心角 $\displaystyle\frac\pi4$ の扇型の積分路を考えます.
すると, その弧に沿った積分は$\displaystyle R\to\infty$で$0$に収束するので, 留数定理より
$$\begin{eqnarray*}
&&\int_0^{e^{-\frac{iπ}4}\infty}\exp\bigg\{-\Big(z^2+\frac1{z^2}\Big)\bigg\}dz\\[5pt]
&=&\int_0^\infty\exp\bigg\{-\Big(x-\frac1x\Big)^2-2\bigg\}\,dx\\[5pt]
&=&e^{-2}\int_0^\infty\exp\big(-x^2\big)\,dx\\[5pt]
&=&\frac{\sqrtπ}{2e^2}
\end{eqnarray*}$$
従って $\displaystyle I_1=\frac1{2e^2}\sqrt{\fracπ2}$ がわかります.
以上より,
$$\begin{eqnarray*} \int_0^{\infty}\sin(x^2)\sin(x^{-2})\, dx&=&\frac12\big(I_1-I_2\big)\\[5pt] &=&\frac14\sqrt\fracπ2\big(e^{-2}+\sin2-\cos2\big) \end{eqnarray*}$$
です.
${}$
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