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お気に入りの積分

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お気に入りの積分

今度は, お気に入りの積分の解説を書きます.
この積分自体は MathStackExchangeさんで見つけたものなのですが, 証明は自分で考えたので, お気に入りです!

0sin(x2)sin(x2)dx=14π2(e2+sin2cos2)

(証明)
まず, 次の補題を示します.

〈補題〉
f(x)dx が収束するとき, f(x1x)dx=f(x)dx が成り立つ.

(補題の証明)

0f(x1x)dx=0f(x1x)dxx2

なので, (x1xと置換しました)

f(x1x)dx=0f(x1x)(1+1x2)dx=f(x)dx

となります. (x1xxと置換しました)

この補題に注意して変形していきます.

0sin(x2)sin(x2)dx=120{cos(x21x2)cos(x2+1x2)}dx

右辺の第i項の積分をIiとおきます. (i=1,2)

まずI2は,
I2=12cos{(x1x)2+2}dx=0cos(x2+2)dx=12π2(cos2sin2)

次にI1は,
I1=Re0exp{i(x21x2)}dx

ここで x=eiπ4z と置換すると,

I1=Reeiπ40eiπ4exp{(z2+1z2)}dz

ただし区間 (0,eiπ4) とは, z=eiπ4t (t:0) と積分することを表します.

Rを実数とし, 複素数平面上で 点0,R,Reiπ4 を頂点とする, 中心角 π4 の扇型の積分路を考えます.

すると, その弧に沿った積分はR0に収束するので, 留数定理より
0eiπ4exp{(z2+1z2)}dz=0exp{(x1x)22}dx=e20exp(x2)dx=π2e2

従って I1=12e2π2 がわかります.

以上より,

0sin(x2)sin(x2)dx=12(I1I2)=14π2(e2+sin2cos2)

です.

投稿日:2020116
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投稿者

東大数理M1

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