文献あり

『代数函数論』の定理1.2と定理1.3について

この著者は初心者として投稿しています。間違いや考慮が足りていない点が含まれている可能性が高いです。見つけたらコメント欄で優しく指摘してあげましょう。

はじめに

ごめんなさい．定理1.2の証明はしません．一つ目の理由は，証明にあまり難しいところがないと判断したからです．『代数函数論』を読めば分かると判断したので．気になる方は各自やっていただきたいです．２つ目の理由として，例１と例２を血肉にした方が後できっと役に立つだろうと思うからです．代数的整数論とのかかわり・後で出てくる代数函数体の初等的な例の方が大事だと思いました．それではやっていきましょう．

定理1.2

$ν_{1}, \dots, ν_{n}$ を相異なる $K$ の正規付値とする．このとき，
$A = {x \in K | ν_{i} (x) \geq 0 (\forall i)}$
$p_{i} = {a \in A | ν_{i} (a) > 0}$
と置いたとき，
(1) $A$ は $K$ の部分環で， $K$ の任意の元は $A$ の２つの元の商として書ける．
(2) $p_{i}$ は $A$ の素イデアルで， $K$ における $A$ の任意の分数イデアル $I$ は $I = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{n}^{e_{n}}$
という形に一意的に分解できる．
(3)とくに， $K$ の元 $c$ に対して， $(c) = p_{1}^{e_{1}} p_{2}^{e_{2}} \dots p_{n}^{e_{n}}$ とすれば， $ν_{i} (c) = e_{i}$ が成り立つ．

デデキント環の素イデアル分解に似ていますね．形としては参考書[1]の補題1.2を拡張したものといった雰囲気がします．でも，代数的整数環なんかは無限個の素イデアルがあったので（あるよね？），この命題だとなんだか満足できない気がします．そして定理1.3があるのです．

定理1.3

とりあえず，以下の事実を証明なしに使います（証明が難しそうなのでいつかちゃんとやりたいです（泣））

整域 $R$ について，以下は同値．
(1) $R$ は一次元ネーター整閉整域である．
(2) $R$ の $0$ でないすべての分数イデアルは可逆である．

これらの同値な条件をみたす整域をデデキント環といいます．
これによって，次の命題において $A / p$ が体になってくれます．

$K$ を体 $A$ をその部分環とする．これについて以下の二条件が成り立つとする．

$K$ の任意の元は $A$ の元の商で表される．
$K$ における $A$ の任意の分数イデアルは $A$ の素イデアルの積に一意的に分解され，かつ，（ $K$ における $A$ の任意の分数イデアルは）可逆である．

（→つまり， $A$ をデデキント環とする．ということ．ですよね？）
このとき， $p$ を任意の $A$ の素イデアルとし， $K$ の元 $a$ について， $(a)$ がきっかり $p^{n}$ で割り切れるとき $ν_{p} (a) = n$ とすれば，これは $K$ の一つの正規付値を与え（これを $p$ 進付値という），その剰余体は $A / p$ と同型である．

分かりにくかったところだけ．
体 $A / p$ に考察を移せば，かならず可逆元があることから, $a_{2} b = 1 (\in A / p)$ となる元 $b$ が存在します．よって $a_{2} b \equiv 1 (m o d p)$ となる $b \in A$ が存在します． $c - a_{1} b = a_{!} / a_{2} - a_{1} b = a_{1} / a_{2} \times (1 - a_{2} b) \in p_{1}$ ．よって， $c = ((c - a_{1} b) + a_{1} b) \in A + p_{1}$ ．
ここ以外は分かるはずです．

例2で使うので書くだけ書いておきます．証明は文献[1]を参照してください．

$A$ を $K$ を商体に持つデデキント環とする．このとき，任意の $A$ の元に対し付値が0以上であるような $K$ の付値は，必ず適当な $A$ の素イデアル $p$ に関する $p$ 進付値と同値である．

例1

代数的整数環はデデキント環だったので，任意の素イデアルからその代数体の付値を定めることができます．簡単で大切な例を見てみましょう．
$K = Q, A = Z$ の場合，素イデアルは $(0)$ もしくは $(p)$ （ $p$ は素数）という形をしていました． $(0)$ 進付値はちょっと考えにくいのでこれは除外して考えます． $(p)$ 進付値．簡単に $p$ 進付値としておきましょうか．これは任意の $a / b \in Q$ ( $b \neq 0, a, b$ は互いに素)に対して $p$ でどれだけわれるかを返すものとしてみることができます．例えば， $3$ 進付値 $ν_{3}$ を考えると， $ν_{3} (6 / 5) = 1, ν_{3} (5 / 6) = - 1$ のようになります． $ν_{p}$ の付値環は $Z$ の $(p)$ による局所化，剰余体は $Z / p Z$ となります．

例2

$K = k (x)$ の正規付値を考えます． $k$ の $0$ 以外のすべての元に対して $ν (a) = 0$ となるものを考えます． $ν (x)$ さえ決まればいいので，これについて条件を見ていきます． $ν (x) \geq 0$ とすれば，任意の多項式は $0$ 以上． $k [x]$ は単項イデアル整域だからデデキント環なので（証明はいつかします．文献[2]149ページ），定理４より $ν$ は $k [x]$ の一つの素イデアルから得られます．
$ν (x) < 0$ なら， $ν (1 / x) > 0$ より， $ν$ は $k [1 / x]$ の素イデアルから得ることができる（ここでも $k [1 / x]$ が単項イデアル整域．よってデデキント環であることを使った）．この素イデアルは $1 / x$ を含むので， $(1 / x)$ のみであることが分かります．
$k$ が代数閉体の時は $k [x]$ の素イデアルは $(x - α)$ の形をしています．さっき求めた $k [1 / x]$ の素イデアルはこのような形にかけないです．教科書では前者の付値を $ν_{α}$ ,後者の付値を $ν_{\infty}$ と書いています．
なんだかリーマン球面（複素平面に一点（無限遠点）を付け加えてコンパクト化した空間）と似た雰囲気がしていますね．

おわりに

やーーっと§1が終わりました．もし間違いがあれば教えて頂ければ幸いです．ここまで見ていただきありがとうございました．感想ですが，代数幾何（スキーム論）で素イデアルがなぜ大事なのかが分かった気がしました（今回は単項イデアル整域しか例では扱いませんでしたが）．ハーツホーンの「はじめに」でもあるのですが，「１次元正則スキーム」の例として大事なものに，代数的整数環，コンパクトリーマン面があると言っていたので，こういう例を通して，代数幾何に親しんでいけたらと思います．それでは．