ごめんなさい．定理1.2の証明はしません．一つ目の理由は，証明にあまり難しいところがないと判断したからです．『代数函数論』を読めば分かると判断したので．気になる方は各自やっていただきたいです．２つ目の理由として，例１と例２を血肉にした方が後できっと役に立つだろうと思うからです．代数的整数論とのかかわり・後で出てくる代数函数体の初等的な例の方が大事だと思いました．それではやっていきましょう．
$\nu_1,\cdots,\nu_n$を相異なる$K$の正規付値とする．このとき，
$$A=\{x\in K|\nu_i(x)\ge0\,(\forall i)\}$$
$$\mathfrak{p}_i=\{a\in A|\nu_i(a)>0\}$$
と置いたとき，
(1)$A$は$K$の部分環で，$K$の任意の元は$A$の２つの元の商として書ける．
(2)$\mathfrak{p}_i$は$A$の素イデアルで，$K$における$A$の任意の分数イデアル$I$は$$I=\mathfrak{p}_1^{e_1}\mathfrak{p}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{p}_n^{e_n}$$
という形に一意的に分解できる．
(3)とくに，$K$の元$c$に対して，$(c)=\mathfrak{p}_1^{e_1}\mathfrak{p}_2^{e_2}\cdots\mathfrak{p}_n^{e_n}$とすれば，$\nu_i(c)=e_i $が成り立つ．
デデキント環の素イデアル分解に似ていますね．形としては参考書[1]の補題1.2を拡張したものといった雰囲気がします．でも，代数的整数環なんかは無限個の素イデアルがあったので（あるよね？），この命題だとなんだか満足できない気がします．そして定理1.3があるのです．
とりあえず，以下の事実を証明なしに使います（証明が難しそうなのでいつかちゃんとやりたいです（泣））
整域$R$について，以下は同値．
(1)$R$は一次元ネーター整閉整域である．
(2)$R$の$0$でないすべての分数イデアルは可逆である．
これらの同値な条件をみたす整域をデデキント環といいます．
これによって，次の命題において$A/\mathfrak{p}$が体になってくれます．
$K$を体$A$をその部分環とする．これについて以下の二条件が成り立つとする．
（→つまり，$A$をデデキント環とする．ということ．ですよね？）
このとき，$\mathfrak{p}$を任意の$A$の素イデアルとし，$K$の元$a$について，$(a)$がきっかり$\mathfrak{p}^n$で割り切れるとき$\nu_\mathfrak{p}(a)=n$とすれば，これは$K$の一つの正規付値を与え（これを$ \mathfrak{p}$進付値という），その剰余体は$A/\mathfrak{p}$と同型である．
分かりにくかったところだけ．
体$A/\mathfrak{p}$に考察を移せば，かならず可逆元があることから,$a_2b=1(\in A/\mathfrak{p})$となる元$b$が存在します．よって$a_2b \equiv1(mod\, \mathfrak{p})$となる$b\in A$が存在します．$c-a_1b=a_!/a_2 -a_1b = a_1/a_2\times(1 - a_2b)\in\mathfrak{p}_1$．よって，$c=((c-a_1b) + a_1b)\in A+\mathfrak{p}_1$．
ここ以外は分かるはずです．
例2で使うので書くだけ書いておきます．証明は文献[1]を参照してください．
$A$を$K$を商体に持つデデキント環とする．このとき，任意の$A$の元に対し付値が0以上であるような$K$の付値は，必ず適当な$A$の素イデアル$\mathfrak{p}$に関する$\mathfrak{p}$進付値と同値である．
代数的整数環はデデキント環だったので，任意の素イデアルからその代数体の付値を定めることができます．簡単で大切な例を見てみましょう．
$K=\mathbb{Q}, A=\mathbb{Z}$の場合，素イデアルは$(0)$もしくは$(p)$（$p$は素数）という形をしていました．$(0)$進付値はちょっと考えにくいのでこれは除外して考えます．$(p)$進付値．簡単に$p$進付値としておきましょうか．これは任意の$a/b\in\mathbb{Q}$($b\neq 0,a,b$は互いに素)に対して$p$でどれだけわれるかを返すものとしてみることができます．例えば，$3$進付値$\nu_3$を考えると，$\nu_3(6/5)=1, \nu_3(5/6)=-1$のようになります．$\nu_p$の付値環は$\mathbb{Z}$の$(p)$による局所化，剰余体は$\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$となります．
$K=k(x)$の正規付値を考えます．$k$の$0$以外のすべての元に対して$\nu(a)=0$となるものを考えます．$\nu(x)$さえ決まればいいので，これについて条件を見ていきます．$\nu(x)\ge0$とすれば，任意の多項式は$0$以上．$k[x]$は単項イデアル整域だからデデキント環なので（証明はいつかします．文献[2]149ページ），定理４より$\nu$は$k[x]$の一つの素イデアルから得られます．
$\nu(x)<0$なら，$\nu(1/x)>0$より，$\nu$は$k[1/x]$の素イデアルから得ることができる（ここでも$k[1/x]$が単項イデアル整域．よってデデキント環であることを使った）．この素イデアルは$1/x$を含むので，$(1/x)$のみであることが分かります．
$k$が代数閉体の時は$k[x]$の素イデアルは$(x-\alpha)$の形をしています．さっき求めた$k[1/x]$の素イデアルはこのような形にかけないです．教科書では前者の付値を$\nu_\alpha$,後者の付値を$\nu_\infty$と書いています．
なんだかリーマン球面（複素平面に一点（無限遠点）を付け加えてコンパクト化した空間）と似た雰囲気がしていますね．
やーーっと§1が終わりました．もし間違いがあれば教えて頂ければ幸いです．ここまで見ていただきありがとうございました．感想ですが，代数幾何（スキーム論）で素イデアルがなぜ大事なのかが分かった気がしました（今回は単項イデアル整域しか例では扱いませんでしたが）．ハーツホーンの「はじめに」でもあるのですが，「１次元正則スキーム」の例として大事なものに，代数的整数環，コンパクトリーマン面があると言っていたので，こういう例を通して，代数幾何に親しんでいけたらと思います．それでは．