なんだこの定数...

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様々な定数

定数と聞けばいろいろ出てくるでしょう。
$0$ (加法単位元)、 $1$ (乗法単位元)、
$π$ (円周率,ルドルフ数)、 $e$ (ネイピア数,オイラー数)、 $γ$ (オイラー・マスケローニ定数)、 $Ω$ (オメガ定数)、 $φ$ (黄金数)、 $ψ$ (フィボナッチ数列の逆数和)、 $e^{π}$ (ゲルフォントの定数)、etc.
逆数和はマニアックすぎたかも。それぞれについての近似値や級数展開または定義(有名な公式、定義式)を見てみましょう。種類が多いものがあるので簡潔なものを選びます。

$π = 4 \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(- 1)^{n}}{2 n + 1} \approx 3.14159265 \dots$
$e = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n!} \approx 2.7182818 \dots$
$γ = \int_{1}^{\infty} (\frac{1}{⌊ x ⌋} - \frac{1}{x}) d x \approx 0.57721566490 \dots$
$Ω = W (1) \approx 0.56714329 \dots$
$φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2} \approx 1.618 \dots$
$ψ = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{F_{n}} \approx 3.359885666 \dots$
$e^{π} = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{π^{n}}{n!} \approx 23.14 \dots$

黄金数とゲルフォントの定数の近似値捨てが不憫でなりませんね()
ほかにもいろいろ定数はありますが、関数づくり3 をまとめている最中に見つけた数を提示します。

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}$

指数関数の総積変換をしてて思いつきました。
具体値は $\approx 1.2913$ です。wolframalphaの精度でもこの無限和の値は小数第5位までしか出ないという...
一応これが収束することを示します。

$1 + \frac{1}{4} < 1 + \frac{1}{2}$ である。
$1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{27} < 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{4}$ である。
ここで、任意の $2$ 以上の整数 $n$ について、 $\frac{1}{n^{n}} < \frac{1}{2^{n - 1}}$ が成り立つので、
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}} < \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{2^{n}}$
ここで右辺の極限値は $2$ なので、表題の無限和は $2$ 未満に収束する。

ということで、研究の記録として書き残します。

$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} d x$

この積分値は $\approx 1.99545595750014 \dots$ です。
wolframalphaありがたい。

conclusion

これ見る皆さんのほうが数学できると思っているので、ぜひ研究材料にしてください。とりあえず今回は以上です

投稿日：4月1日

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関数をつくろう(掛詞)

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様々な定数
$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{n}}$
$\int_{0}^{\infty} \frac{1}{x^{x}} d x$
conclusion

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∑n=1∞1nn

∫0∞1xxdx

conclusion

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