なんだこの定数...
様々な定数
定数と聞けばいろいろ出てくるでしょう。
$0$(加法単位元)、$1$(乗法単位元)、
$π$(円周率,ルドルフ数)、$e$(ネイピア数,オイラー数)、$γ$(オイラー・マスケローニ定数)、$\Omega$(オメガ定数)、$φ$(黄金数)、$ψ$(フィボナッチ数列の逆数和)、$e^π$(ゲルフォントの定数)、etc.
逆数和はマニアックすぎたかも。それぞれについての近似値や級数展開または定義(有名な公式、定義式)を見てみましょう。種類が多いものがあるので簡潔なものを選びます。
$$π=4\sum_{n=0}^{∞}\frac{(-1)^n}{2n+1}\approx 3.14159265\cdots$$
$$e=\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{n!}\approx 2.7182818\cdots$$
$$γ=\int_{1}^{∞}(\frac{1}{\lfloor x\rfloor}-\frac{1}{x})dx\approx 0.57721566490\cdots$$
$$\Omega=W(1)\approx 0.56714329\cdots$$
$$φ=\frac{1+\sqrt5}{2}\approx 1.618\cdots$$
$$ψ=\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{F_n}\approx 3.359885666\cdots$$
$$e^π=\sum_{n=0}^{∞}\frac{π^n}{n!}\approx 23.14\cdots$$
黄金数とゲルフォントの定数の近似値捨てが不憫でなりませんね()
ほかにもいろいろ定数はありますが、
関数づくり3
をまとめている最中に見つけた数を提示します。
$\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{n^n}$
指数関数の総積変換をしてて思いつきました。
具体値は$\approx 1.2913$です。wolframalphaの精度でもこの無限和の値は小数第5位までしか出ないという...
一応これが収束することを示します。
$1+\frac{1}{4}<1+\frac{1}{2}$である。
$1+\frac{1}{4}+\frac{1}{27}<1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}$である。
ここで、任意の$2$以上の整数$n$について、$\frac{1}{n^n}<\frac{1}{2^{n-1}}$が成り立つので、
$$\sum_{n=1}^{∞}\frac{1}{n^n}<\sum_{n=0}^{∞}\frac{1}{2^n}$$
ここで右辺の極限値は$2$なので、表題の無限和は$2$未満に収束する。
ということで、研究の記録として書き残します。
$\int_{0}^{∞}\frac{1}{x^x}dx$
この積分値は$\approx 1.99545595750014\cdots$です。
wolframalphaありがたい。
conclusion
これ見る皆さんのほうが数学できると思っているので、ぜひ研究材料にしてください。とりあえず今回は以上です
