関数づくり3
定義の確認
私が編み出した前提知識が必要なので、 総積関数 , 不完全総積変換 の記事をご覧の上で読んでください。読まなくてもいいです。一応軽く説明します。
ある関数$f(x)$に対し、$$\prod_{k=1}^{n}f(g(t,k))$$を、関数$f$の$x→t,n$階不完全総積変換あるいは単に総積変換と定める。また、これを$$G_{λ,n}^{x→t}(f(x),g(t,λ))$$
で表し、$x$を初期変数,$t$を変換変数,$λ$を因子,$n$を階数,$f$を被作用関数,$g$を作用関数と呼ぶ。
不完全総積変換のうち、$f$の$x→x,n$階不完全総積変換を関数$f$に対する$n$階不完全総積関数と定める。さらに不完全総積関数のうち、因子$λ$の作用関数$g(x,λ)$が$λx$であるものを単に総積関数と定め、これを$$G_{n}^{x}(f(x))(:=G_{λ,n}^{x→x}(f(x),λx))$$で表す。
これらすべてに任意の複素数$α$を代入でき(不完全総積変換は変換変数に代入)、$G_{λ,n}^{x→t=α}\cdots$で意味を成す。
何がしたいのか、言いましょう。関数を作りたいです。それだけ。
総積関数の微分
1つだけ例を提示します。他の例は
こちら
をご覧ください。(意志が丸見えですね)
$n$で微分するのは勘弁してください。まだ$\mathbb N$なので。
$$\frac{d(G_{n}^{x}(\sin x))}{dx}$$
$$=(\cos x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx)+(\sin x\cdot 2\cos 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx)+(\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot n\cos nx)$$
$$=\frac{\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan x}+\frac{2\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan 2x}+\cdots +\frac{n\sin x\cdot\sin 2x\cdot\cdots\cdot\sin nx}{\tan nx}$$
$$=G_{n}^{x}(\sin x)\sum_{k=1}^{n}\frac{k}{\tan kx}$$
まあまあ面白い形ですよね。ね?
指数関数の不完全総積変換
以下、新しい部分です。
指数関数の、総乗を総和に接続するという重要な性質から、指数関数を変換するとどうなるか見てみましょう。できれば複素数にも拡張したいので、底は正に絞りません。
$$G_{λ,n}^{x→t}(a^x,g(t,λ))=a^{\sum_{i=1}^{n}g(t,k)}$$
(ただし、$a\neq 1$)
証明は割愛します。総乗公式から容易に導けますので。
作用関数が定まった時の指数関数の総積変換を見てみましょう。
(1)
$$G_{λ,n}^{x→t}(2^x,λt)=\prod_{k=1}^{n}2^{kt}=2^{\frac{1}{2}n(n+1)t}=\sqrt2^{n(n+1)t}$$
(2)
$$G_{λ,n}^{x→t}(e^x,λt^λ)=\prod_{k=1}^{n}e^{kt^k}$$
ここで、$$\sum_{k=1}^{n}kt^k=\frac{t}{(t-1)^2}(nt^n(t-1)-(t^n-1))$$であるので(by
某サイト
)、
$$G_{λ,n}^{x→t}(e^x,λt^λ)=e^{\frac{t}{(t-1)^2}(nt^n(t-1)-(t^n-1))}$$
conclusion
指数関数に焦点を当てましたが、なんか簡単でつまらない気もする。
微分も簡単そうなので、温存しつつ別の研究にあたります。
では。
