関数づくり3

定義の確認

私が編み出した前提知識が必要なので、総積関数 , 不完全総積変換の記事をご覧の上で読んでください。読まなくてもいいです。一応軽く説明します。

不完全総積変換, 総積関数, 用語

ある関数 $f (x)$ に対し、 $\prod_{k = 1}^{n} f (g (t, k))$ を、関数 $f$ の $x \to t, n$ 階不完全総積変換あるいは単に総積変換と定める。また、これを $G_{λ, n}^{x \to t} (f (x), g (t, λ))$
で表し、 $x$ を初期変数, $t$ を変換変数, $λ$ を因子, $n$ を階数, $f$ を被作用関数, $g$ を作用関数と呼ぶ。
不完全総積変換のうち、 $f$ の $x \to x, n$ 階不完全総積変換を関数 $f$ に対する $n$ 階不完全総積関数と定める。さらに不完全総積関数のうち、因子 $λ$ の作用関数 $g (x, λ)$ が $λ x$ であるものを単に総積関数と定め、これを $G_{n}^{x} (f (x)) (:= G_{λ, n}^{x \to x} (f (x), λ x))$ で表す。
これらすべてに任意の複素数 $α$ を代入でき(不完全総積変換は変換変数に代入)、 $G_{λ, n}^{x \to t = α} \dots$ で意味を成す。

何がしたいのか、言いましょう。関数を作りたいです。それだけ。

総積関数の微分

1つだけ例を提示します。他の例はこちらをご覧ください。(意志が丸見えですね)
$n$ で微分するのは勘弁してください。まだ $N$ なので。

G_{n}^{x} (\sin x)

の

x

微分

$\frac{d (G_{n}^{x} (\sin x))}{d x}$
$= (\cos x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x) + (\sin x \cdot 2 \cos 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x) + (\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot n \cos n x)$
$= \frac{\sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan x} + \frac{2 \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan 2 x} + \dots + \frac{n \sin x \cdot \sin 2 x \cdot \dots \cdot \sin n x}{\tan n x}$
$= G_{n}^{x} (\sin x) \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{\tan k x}$

まあまあ面白い形ですよね。ね?

指数関数の不完全総積変換

以下、新しい部分です。
指数関数の、総乗を総和に接続するという重要な性質から、指数関数を変換するとどうなるか見てみましょう。できれば複素数にも拡張したいので、底は正に絞りません。

指数関数の総積変換

$G_{λ, n}^{x \to t} (a^{x}, g (t, λ)) = a^{\sum_{i = 1}^{n} g (t, k)}$
(ただし、 $a \neq 1$ )

証明は割愛します。総乗公式から容易に導けますので。
作用関数が定まった時の指数関数の総積変換を見てみましょう。

(1)
$G_{λ, n}^{x \to t} (2^{x}, λ t) = \prod_{k = 1}^{n} 2^{k t} = 2^{\frac{1}{2} n (n + 1) t} = {\sqrt{2}}^{n (n + 1) t}$
(2)
$G_{λ, n}^{x \to t} (e^{x}, λ t^{λ}) = \prod_{k = 1}^{n} e^{k t^{k}}$
ここで、 $\sum_{k = 1}^{n} k t^{k} = \frac{t}{(t - 1)^{2}} (n t^{n} (t - 1) - (t^{n} - 1))$ であるので(by 某サイト )、
$G_{λ, n}^{x \to t} (e^{x}, λ t^{λ}) = e^{\frac{t}{(t - 1)^{2}} (n t^{n} (t - 1) - (t^{n} - 1))}$