エンタメ解説

関数づくり2

総乗,オリジナル関数

そうせきかんすうがしんかしそうだ！

前回あげた総積関数(関数づくり1) を進化させ、その「振る舞い」を大幅に刷新します。

不完全総積関数

不完全ガンマ関数っぽいのでそう名付けます。
さらなる新定義は後半で載せます。

不完全総積関数

$$G_{n}^{x,λ}(f(x),g(x,λ)):=\prod_{k=1}^{n}f(g(x,k))$$と定める。

ここまで思いつくのにかなり時間を要しました。
...わかりにくぅ...具体例出します。ここでは前回定義した総積関数を表すことを考えましょう。

$J(f)=G_{n}^{x,λ}(f(x),λx)$とおけば、
$$G_{n}^{x,λ}(f(x),λx)=\prod_{k=1}^{n}f(kx)$$
より、$J(f)=G_{n}^{x}(f(x))$

詳しく説明すると、$f$の引数に改めて代入し作用させる関数が$g(x,λ)$で、$λ$が$k$の役割を果たして消えます。うん、ごちゃごちゃしてる。

(1)
$$G_{6}^{t,λ}(t,t^λ)=t\cdot t^2\cdot t^3\cdot t^4\cdot t^5\cdot t^6=t^{21}$$
(2)
$$G_{n}^{x,k}(2,f(k))=2\cdot2\cdot2\cdot\cdots\cdot2=2^n$$
(3)
$$G_{n}^{u,λ}(f(u),2)=f(2)\cdot f(2)\cdot\cdots\cdot f(2)=f(2)^n$$
(4)
$$G_{n}^{s,t}(e^s,\sin s^t)=\prod_{k=1}^{n}e^{\sin s^k}$$

(1)は$λ$の作用する場所が指数となっています。(2)は$x$がないので定数関数に代入しようがする場所がないので$n$回繰り返します。(3)は$u$が残っているので$u=2$のち$n$回繰り返しです。(4)がなんだかんだ簡単かも。定数を特別扱いして考えましょう。
以下、$G_{n}^{x,λ}(f(x),g(x,λ))$の$n$を「階数」、$x$は引数または変数、$λ$を「因子」、$f$を「被作用関数」、$g$を「作用関数」と呼ぶことにします。

定数関数の場合

・被作用関数が定数関数
$$G_{n}^{x,λ}(c,g(x,λ))=\prod_{k=1}^{n}c=c^n$$
$\Longleftrightarrow$作用関数,変数や因子の影響を受けない

・作用関数が定数関数
$$G_{n}^{x,λ}(f(x),c)=\prod_{k=1}^{n}f(c)=f(c)^n$$
$\Longleftrightarrow$因子が意味をなさない

・作用関数の因子のみが定数
$$G_{n}^{x,λ}(f(x),g(x,c))=\prod_{k=1}^{n}f(g(x,c))=f(g(x,c))^n$$

皆さんきっと違和感あったでしょう。変数に。新定義を置きます。

不完全総積変換

変数を最初の式から変えてみましょう。つまり、ラプラス変換みたいな...?

不完全総積変換

$$G_{λ,n}^{x→t}(f(x),g(t,λ)):=\prod_{k=1}^{n}f(g(t,k))$$
を、$f$の$x→t,n$階不完全総積変換と定める。
(読み方は、fのx to t(少し間を空けて)n階不完全総積変換、としときます)

表記を大幅に変えて分かりやすくしました。むしろこっちのほうが有用な気がしてならない。これからの記事もこれにしようかな()
$x→t$は変数を変換する役割、$λ,n$と書くことで「$λ$が$n$まで動く」を示しています。圧倒的にこっちのほうが分かりやすいですね。多分。
ラプラス変換と違うのは、逆変換した際に連続的な被作用関数も含めた諸々が一意に定まらないことですね。多分(少し自信がない)。