関数づくり2

そうせきかんすう が しんか しそうだ！

前回あげた 総積関数(関数づくり1) を進化させ、その「振る舞い」を大幅に刷新します。

不完全総積関数

不完全ガンマ関数っぽいのでそう名付けます。
さらなる新定義は後半で載せます。

ここまで思いつくのにかなり時間を要しました。
...わかりにくぅ...具体例出します。ここでは前回定義した総積関数を表すことを考えましょう。

詳しく説明すると、$f$の引数に改めて代入し作用させる関数が$g(x,\lambda )$で、$\lambda$が$k$の役割を果たして消えます。うん、ごちゃごちゃしてる。

(1)は$\lambda$の作用する場所が指数となっています。(2)は$x$がないので定数関数に代入しようがする場所がないので$n$回繰り返します。(3)は$u$が残っているので$u=2$のち$n$回繰り返しです。(4)がなんだかんだ簡単かも。定数を特別扱いして考えましょう。
以下、$G_n^{x,\lambda }(f(x),g(x,\lambda ))$の$n$を「階数」、$x$は引数または変数、$\lambda$を「因子」、$f$を「被作用関数」、$g$を「作用関数」と呼ぶことにします。

皆さんきっと違和感あったでしょう。変数に。新定義を置きます。

不完全総積変換

変数を最初の式から変えてみましょう。つまり、ラプラス変換みたいな...?

表記を大幅に変えて分かりやすくしました。むしろこっちのほうが有用な気がしてならない。これからの記事もこれにしようかな()
$x\to t$は変数を変換する役割、$\lambda ,n$と書くことで「$\lambda$が$n$まで動く」を示しています。圧倒的にこっちのほうが分かりやすいですね。多分。
ラプラス変換と違うのは、逆変換した際に連続的な被作用関数も含めた諸々が一意に定まらないことですね。多分(少し自信がない)。

conclusion

どうでしたか? 私が勝手に始めたことですが、その摩訶不思議さに酔いしれていることでしょう。多分(3回目)。
以上です。微分などは次回やります。すごく時間を要しそうなので。また、感想ありましたら是非書き残していただきたいです。跳ねて喜びます。