a.e.に関する細かい注意

$(\Leftarrow)$
任意に$\lambda>0$をとる.
$f(\lambda x)=\lambda^p|x|^p\psi(\frac x{|x|})\quad (\ae x\in\R^n)$,
$\lambda^p|x|^p\psi(\frac x{|x|}) =\lambda^pf(x) \quad (\ae x\in\R^n)$より$f(\lambda x)=\l^pf(x)\quad(\ae x\in\R^n)$.
$(\Rightarrow)$
$A=\{(\l,x)\in(0,\infty)\times\R^n:f(\l x)\ne\l^pf(x)\}$とおく.
$\l>0$に対し$A^\l=\{x\in\R^n:(\l,x)\in A\}$,
$x\in\R^n$に対し$A_x=\{\l>0:(\l,x)\in A\}$とおく.
仮定から$\l>0,\L^n(A^\l)=0$. よってFubiniの定理から
\begin{align} 0&=\int_0^\infty\L^n(A^\l)d\l \textcolor{gray}{=\L^{n+1}(A)}\\ &\textcolor{gray}{=\int_{\R^n}\L^1(A_x)dx}\\ &=\int_0^\infty\int_{S^{n-1}}r^{n-1}\L^1(A_{rx})d\sigma^{n-1}(x)dr \quad\textcolor{gray}{(\sigma^n\text{は$n$次元球面$S^n$上の測度})} \end{align}
で, for a.e. $r>0$, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $\L^1(A_{rx})=0$.
$\textcolor{gray}{\text{これは$\forall,\exists$等と同様, [for a.e. $r$, [for a.e. $x$, XXX]] の意味である.}}$
よって特に$r_0>0$が存在して, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $\L^1(A_{r_0x})=0$.
そこで$x\in S^{n-1}$に対して$\psi(x)=r_0^{-p}f(r_0x)$と定めると
\begin{align} &\L^n(\{x\in\R^n:f(x)\ne|x|^p\psi(\frac x{|x|})\})\\ &=\int_{S^{n-1}}\int_{\{r>0:f(rx)\ne r^p\psi(x)\}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)\\ &\textcolor{gray}{=\int_{S^{n-1}}\int_{\{r>0:f(\frac r{r_0}r_0x)\ne (\frac r{r_0})^pf(r_0x)\}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)}\\ &=\int_{S^{n-1}}\int_{r_0A_{r_0x}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)\\ &=0\quad\textcolor{gray}{(\because\text{ for a.e. }x\in S^{n-1},\L^1(A_{r_0x})=0)}, \end{align}
つまり$f(x)=|x|^p\psi(\frac{x}{|x|})$ (a.e. $x\in\R^n$).

$(\Leftarrow)$
任意に$g\in O(n)$をとる.
\begin{align} f\circ g(x)&=\psi(|g(x)|)\quad(\ae x\in\R^n)\\ &=\psi(|x|)\\ &=f(x)\quad(\ae x\in\R^n) \end{align}
より$f\circ g (x)=f(x)$ ($\ae x\in\R^n$).
$(\Rightarrow)$
$A=\{(x,g)\in\R^n\times O(n):f\circ g(x)\ne f(x)\}$とおく.
$x\in\R^n$に対し$A^x=\{g\in O(n):(x,g)\in A\}$,
$g\in O(n)$に対し$A_g=\{x\in\R^n:(x,g)\in A\}$とおく.
また$\mu$を$O(n)$の左Haar測度で, $\mu(O(n))=\sigma^{n-1}(S^{n-1})$となるものとする.
先程の補題より
for a.e. $x\in S^{n-1}$, for a.e. $r>0$, $\mu(A^{rx})=0$.
特に$x_0\in S^{n-1}$が存在して, [$\mu(A^{rx_0})=0$ (a.e. $r>0$)].
ここで$S^{n-1}$上の測度$\nu$を
$\nu(E)=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})$
で定めると,
\begin{align} \textcolor{gray}{\forall h\in O(n)\text{に対し}}\\ \textcolor{gray}{\nu(hE)} &\textcolor{gray}{=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in hE\})}\\ &\textcolor{gray}{=\mu(\{hg\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\ &\textcolor{gray}{=\mu(h\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\ &\textcolor{gray}{=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\ &\textcolor{gray}{=\nu(E)}\\ \textcolor{gray}{\text{なので}} \end{align}
これは$O(n)$の作用で不変な$S^{n-1}$上の測度だが,
それは定数倍を除き一つしかないので, $\nu=\sigma^{n-1}$.
ここで$\psi:(0,\infty)\to\C$を, $\psi(r)=f(rx_0)$で定める.
すると, $\mu(A^{rx_0})=0$となる$r>0$に対して
\begin{align} &\sigma^{n-1}(\{x\in S^{n-1}:f(rx)\ne\psi(r)\})\\ &\textcolor{gray}{\,\,=\nu(\{x\in S^{n-1}:f(rx)\ne f(rx_0)\})}\\ &=\mu(\{g\in O(n):f\circ g(rx_0)\ne f(rx_0)\})\\ &=\mu(A^{rx_0})\\ &=0 \end{align}
であるから,
for a.e. $r>0$, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $f(rx)=\psi(r)$
であるので, 再び補題から$f(x)=\psi(|x|)$ (a.e. $x\in\R^n$).

まず$k_s\in L^1+L^2$より, $\widehat{k_s}\in L^\infty+L^2$. そこで(a.e.による同値関係で割る前の)代表元を一つ固定しておき, これも$\widehat{k_s}$とかく.
以下この各点での値が定義されている後者の$\widehat{k_s}$について議論する.
$L^1,L^2$でのフーリエ変換の一般論から, $\widehat{k_s}$は球対称で,
$\textcolor{gray}{ \text{ （但し$L^2$をフーリエ変換した関数は連続とは限らず, 各点での値は制御できなくなっているので, case2でみたような意味で球対称である） }}$
また任意の$r>0$に対して$\F[k_s(r\bullet)](x)=r^{-s}\F[k_s(\bullet)](x)=r^{-n}\widehat{k_s}(r^{-1}x)$であるから
$r^{s-n}\widehat{k_s}(r^{-1}x)=\widehat{k_s}(x)$ ($\ae x\in\R^n$)である.

まず球対称だから$\psi:(0,\infty)\to\C$が存在して, $\widehat{k_s}(x)=\psi(|x|)$ $(\ae x)$.
また任意の$r>0$に対し,
$r^{s-n}\psi(|r^{-1}x|)=\psi(|x|)$ $(\ae x)$.
よって for $\ae x$, for $\ae r>0$, $r^{s-n}\psi(|r^{-1}x|)=\psi(|x|)$.
よって特に$x_0\in\R^n\setminus\{0\}$が存在して, 殆ど至る$r>0$に対し, $r^{s-n}\psi(|r^{-1}x_0|)=\psi(|x_0|)$.
よって$r\mapsto r^{-1}|x_0|$として$\psi(r)=r^{s-n}|x_0|^{n-s}\psi(|x_0|)$ $(\ae r>0)$.
$C=|x_0|^{n-s}\psi(|x_0|)$とおいて$\psi(|x|)=Ck_{n-s}(x)$ $(\ae x\in\R^n)$.
よって$\widehat{k_s}(x)=Ck_{n-s}(x)$ $(\ae x\in\R^n)$.

$$ \{x:f_n(x)\not\to f(x)\}\cup\{x:f(x)\ne g(x)\}\cup\bigcup_{n\in\N}\{x:f_n(x)\ne g_n(x)\}$$
は測度0で, この外で$g_n\to g$であるから.

まず，$f_\e - f$ を考えることで $f=0$ としてよい．また，$(X, \mu)$ は有限としてよい．実際，命題6を有限測度空間に対して示せたなら， いま$X$の互いに素な可測集合の列$(E_n)_{n=1}^\infty$が存在して，$X = \bigcup_{n=1}^\infty E_n$ であるが，各$n\in\N$に対して, (2)より $ \e_k \to 0$となる任意の$ (\e_k)_{k=1}^\infty$ に対して $f_{\e_k} \to 0 \ (\text{a.e. in } E_n)$ なので，（$(X, \mu|_{E_n})$ を考えるなどして）$F_\e^{(n)} \in \mathcal{F}$が存在して
$$ \ F_\e^{(n)} = 0 \text{ in } E_n^c, \ F_\e^{(n)} \to 0 \ (\text{a.e. in } E_n), \ [F_\e^{(n)}] = \chi_{E_n} \cdot f_\e $$
である. $F_\e = \sum \chi_{E_n} \cdot F_\e^{(n)}$ とおけば，各$n\in\N$に対して$F_\e \to 0 \ (\text{a.e. in } E_n)$ ゆえ $F_\e \to 0 \ (\text{a.e. in } X)$ であり，また $[F_\e] = f_\e$ となり (1) が従う.

Claim 1が正しいとすると，各 $k \in \mathbb{N}$ に対してClaim 1で$\delta=1/k$としたときの$ (\e_m^{(k)})$，$ (G_\e^{(k)})$ がとれて，
$$ X^{(k)} = \bigcap_{m=1}^\infty \Big\{x \in X : \exists \e \in (0, \e_m^{(k)}), \ |G_\e^{(k)}(x)| \ge \frac{1}{k}\Big\} $$
とおくと，$\mu(X^{(k)}) = 0$ であるから，
$$ F_\e(x) = \begin{cases} G_\e^{(1)}(x) & (G_\e^{(1)}(x) = G_\e^{(2)}(x) = \cdots = G_\e^{(k)}(x) = \cdots \text{ のとき}) \\ 0 & (\text{その他のとき}) \end{cases} $$
とおくと，今 $G_\e^{(1)} = G_\e^{(2)} = \cdots \ (\text{a.e.})$ であるから，$[F_\e] = f_\e$ で，また任意の $ k \in \mathbb{N}$ と $x \in \bigcap_{k=1}^\infty (X^{(k)})^c$ に対して，$x \in (X^{(k)})^c$ なので，
$$ x \in \bigcup_{m=1}^\infty \Big\{x \in X : \forall \e \in (0, \e_m^{(k)}), \ |G_\e^{(k)}(x)| < \frac{1}{k}\Big\} $$
であるから，$ m \in \mathbb{N}$が存在して, 任意の$ \e \in (0, \e_m^{(k)})$に対して,
$$ |F_\e(x)| \le |G_\e^{(k)}(x)| < \frac{1}{k}, $$
つまり $F_\e(x) \to 0.$ 今 $\mu\big( \bigcup_{k=1}^\infty X^{(k)} \big) = 0$ より，$F_\e \to 0 \ (\text{a.e.})$で, (1)が従う.

$\alpha = \sup_{E \in \mathcal{A}_c} \mu(E)$ とおく．$\mu(X) < \infty$ より $\alpha < \infty$． 各 $j \in \mathbb{N}$ に対して可算集合$ I_j \subset (0, c)$が存在して, $\mu\big(\bigcup_{\e \in I_j} X_\e\big) > \alpha - \frac{1}{j}$. $I = \bigcup_{j=1}^\infty I_j$ とおくと $I \subset (0, c)$ は可算で，$\mu\big(\bigcup_{\e \in I} X_\e\big) = \alpha$. そこで$A = \bigcup_{\e \in I} X_\e$ とおけばよい．また，$B = A^c$ について，任意の$\e \in (0, c)$ に対して，
\begin{align*} \mu(A) + \mu(B \cap X_\e) &= \mu(A \cup (B \cap X_\e)) \quad (\because A \cap (B \cap X_\e) = \varnothing) \\ &\le \mu(A \cup X_\e) \\ &\le \mu(A) \quad (\because A \cup X_\e \in \mathcal{A}_c) \end{align*}
より，$\mu(B \cap X_\e) = 0$.

ここで各 $m \in \mathbb{N}$ に対し，Claim 2 により $ A_m \in \mathcal{A}_{\frac{1}{m}}$が存在して, $\mu(A_m) = \sup_{A \in \mathcal{A}_{\frac1m}} \mu(A)$. $B_m = A_m^c$ とおく．$A_0 = \bigcap_{m=1}^\infty A_m$ とおく．今，各 $m \in \mathbb{N}$ に対して$ (\e_n^m)_{n=1}^\infty \subset (0, \frac{1}{m})$が存在して, $A_m = \bigcup_{n=1}^\infty X_{\e_n^m}$ であるから，$N_m \in \mathbb{N}$が存在して, $\mu\big(\bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\big) \ge \mu(A_m) - \frac{1}{m}$.
\begin{align*} \mu\Big(\limsup_{m \to \infty} \big(A_0 \cap \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\big)\Big) &\ge \limsup_{m \to \infty} \mu\Big(A_0 \cap \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\Big) \quad (\because \mu(X) < \infty \text{ に注意．}) \\ &= \limsup_{m \to \infty} \Big(\mu(A_0) - \mu\Big(A_0 \setminus \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\Big)\Big) \\ &\ge \limsup_{m \to \infty} \Big(\mu(A_0) - \mu\Big(A_m \setminus \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\Big)\Big) \\ &= \limsup_{m \to \infty} \Big(\mu(A_0) - \mu(A_m) + \mu\Big(\bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\Big)\Big) \\ &\ge \limsup_{m \to \infty} \Big(\mu(A_0) - \frac{1}{m}\Big) \\ &= \mu(A_0) \end{align*}
であるが，ここで $\{(m, n) : m \in \N,\ 1 \le n \le N_m\}$ に辞書式順序（$m$ を先に見て，同じなら $n$ の方を見る）を入れると，各 $m \in \mathbb{N}$ に対して $n$ は $N_m$ 個しかないことと，$0 < \e_n^m < \frac{1}{m}$ であることから，これは $\mathbb{N}$ と順序同型で，かつ $\e_n^m \to 0 \quad ((m, n) \to \infty)$ (この場に限り，この順序で $(m, n)$ の極限をとることを$(m, n) \to \infty$ と書くことにする). ここで任意の$ x \in \limsup_{m \to \infty} \big(A_0 \cap \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\big)$ に対して，任意の$ m_0 \in \mathbb{N}$ に対して $ m \ge m_0$が存在して, $\exists n \le N_m$, $x \in A_0 \cap X_{\e_n^m}$. つまり，$|F_{\e_n^m}(x)| \ge \delta$である. よって $F_{\e_n^m} \not\to 0 \text{ in } \limsup_{m \to \infty} \big(A_0 \cap \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\big)$ であり，しかし仮定から $(m, n) \to \infty$ で $F_{\e_n^m} \to 0 \ (\text{a.e.})$ だから
$$ \mu(A_0)\leq\mu\Big(\limsup_{m \to \infty} \big(A_0 \cap \bigcup_{n=1}^{N_m} X_{\e_n^m}\big)\Big) = 0. $$

今，$G_\e \in \mathcal{F}$ を
$$ G_\e(x) = \begin{cases} 0 & (\exists m \in \mathbb{N}, \ [x \in B_m \cap X_\e \text{ かつ } \e < \frac{1}{m}] \text{ のとき}) \\ F_\e(x) & (\text{その他}) \end{cases} $$
と定めると，各 $\e > 0$ に対して
$$ \{x : G_\e(x) \neq F_\e(x)\} \subset \bigcup_{m \in \N<\frac1\e} B_m \cap X_\e $$
で，$m < \frac{1}{\e} \text{ なる } m \in \mathbb{N} \text{ に対して}$ $\mu(B_m \cap X_\e) = 0 $であるから，$[G_\e] = [F_\e] = f_\e$. また，各 $x \in \bigcup_{m=1}^\infty B_m$ に対して$x \in B_m$ なる $m \in \mathbb{N}$ があるから, 任意の$ \e \in (0, \frac{1}{m})$ に対して

• $x \in X_\e$ なら， $|G_\e(x)| = 0$
• $x \notin X_\e$ なら， $|G_\e(x)| < \delta$
  であり，いずれにせよ$|G_\e(x)| < \delta$．よって $x \in \bigcup_{m=1}^\infty \{x \in X : \forall \e \in (0, \frac{1}{m}), \ |G_\e(x)| < \delta\}$ で，
  $$ \bigcup_{m=1}^\infty B_m \subset \bigcup_{m=1}^\infty \Big\{x \in X : \forall \e \in \Big(0, \frac{1}{m}\Big), \ |G_\e(x)| < \delta\Big\} $$
  であるが，$\mu\big(X \setminus \bigcup_{m=1}^\infty B_m\big) = \mu(A_0) = 0$ より
  $$ \mu\bra{X\setminus \bigcup_{m=1}^\infty \Big\{x \in X : \forall \e \in \Big(0, \frac{1}{m}\Big), \ |G_\e(x)| < \delta\Big\} }=0 $$
  となり, Claim 1 を示せた．よって Prop6 (1) も従う．
  以上から (2)$\Rightarrow$(1) を示せたので, Prop6の証明を終わる.