a.e.に関する細かい注意
はじめに
こんにちは、KsK074と申します。変な名前ですね。1ヶ月ぶりの投稿なので初投稿です。この記事では、a.e.で一致する関数を同一視する上で、ほぼ自明とされているようなことでも、取り扱いに注意が必要だという事を見ていきたいと思います（ただ注意が必要と言っても、結論としては「色々考えて、結局大丈夫」ということになるので、意味のない記事かもしれませんが......）。
case 1: 斉次式
いくつかcase studyしていきましょう。
可測関数$f\colon\R^n\to\C$, $p\in\R$に対して,
\begin{align}
&\forall \lambda>0,\quad f(\lambda x)=\lambda^pf(x)\quad(\ae x\in\R^n)\\
&\iff
\exists \psi\colon S^{n-1}\to\C,\quad f(x)=|x|^p\psi\bra{\frac x{|x|}} \quad(\ae x\in \R^n)
\end{align}
である.
ここで最後の条件は$\forall \lambda>0,\quad[f(\lambda x)=\lambda^pf(x)\quad(\ae x\in\R^n)]$ の意味です。つまり、任意の$\lambda>0$に対して、$\L^n(\{x:f(\lambda x)\ne\lambda^pf(x)\})=0$.
$\textcolor{gray}{\text{以降 a.e.が出てくるときはこのような意味であるものとする.}}$
$\textcolor{gray}{\text{a.e.が複数出てくるときは後置修飾せずに書く.}}$
$\textcolor{gray}{\L^n\text{は$n$次元Lebesgue測度である.}}$
$(\Leftarrow)$
任意に$\lambda>0$をとる.
$f(\lambda x)=\lambda^p|x|^p\psi(\frac x{|x|})\quad (\ae x\in\R^n)$,
$\lambda^p|x|^p\psi(\frac x{|x|})
=\lambda^pf(x)
\quad (\ae x\in\R^n)$より$f(\lambda x)=\l^pf(x)\quad(\ae x\in\R^n)$.
$(\Rightarrow)$
$A=\{(\l,x)\in(0,\infty)\times\R^n:f(\l x)\ne\l^pf(x)\}$とおく.
$\l>0$に対し$A^\l=\{x\in\R^n:(\l,x)\in A\}$,
$x\in\R^n$に対し$A_x=\{\l>0:(\l,x)\in A\}$とおく.
仮定から$\l>0,\L^n(A^\l)=0$. よってFubiniの定理から
\begin{align}
0&=\int_0^\infty\L^n(A^\l)d\l
\textcolor{gray}{=\L^{n+1}(A)}\\
&\textcolor{gray}{=\int_{\R^n}\L^1(A_x)dx}\\
&=\int_0^\infty\int_{S^{n-1}}r^{n-1}\L^1(A_{rx})d\sigma^{n-1}(x)dr
\quad\textcolor{gray}{(\sigma^n\text{は$n$次元球面$S^n$上の測度})}
\end{align}
で, for a.e. $r>0$, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $\L^1(A_{rx})=0$.
$\textcolor{gray}{\text{これは$\forall,\exists$等と同様, [for a.e. $r$, [for a.e. $x$, XXX]] の意味である.}}$
よって特に$r_0>0$が存在して, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $\L^1(A_{r_0x})=0$.
そこで$x\in S^{n-1}$に対して$\psi(x)=r_0^{-p}f(r_0x)$と定めると
\begin{align}
&\L^n(\{x\in\R^n:f(x)\ne|x|^p\psi(\frac x{|x|})\})\\
&=\int_{S^{n-1}}\int_{\{r>0:f(rx)\ne r^p\psi(x)\}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)\\
&\textcolor{gray}{=\int_{S^{n-1}}\int_{\{r>0:f(\frac r{r_0}r_0x)\ne (\frac r{r_0})^pf(r_0x)\}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)}\\
&=\int_{S^{n-1}}\int_{r_0A_{r_0x}}r^{n-1}dr d\sigma^{n-1}(x)\\
&=0\quad\textcolor{gray}{(\because\text{ for a.e. }x\in S^{n-1},\L^1(A_{r_0x})=0)},
\end{align}
つまり$f(x)=|x|^p\psi(\frac{x}{|x|})$ (a.e. $x\in\R^n$).
ここで証明中に行ったことを少しまとめてみましょう。
$(X,\mu),(Y,\nu)$は$\sigma$有限な測度空間とする. このとき可測集合$A\subset X\times Y$について,
- $\text{for $\mu$-a.e. }x\in X, \text{ for $\nu$-a.e. }y\in Y, (x,y)\in A$
- $\text{for $\nu$-a.e. }y\in Y, \text{ for $\mu$-a.e. }x\in X, (x,y)\in A$
の２つは同値.
また, 可測集合$A\subset\R^n$について
- $\text{for a.e. }x\in \R^n, x\in A$
- $\text{for $\L^1$-a.e. }r>0, \text{ for $\sigma^{n-1}$-a.e. }x\in S^{n-1}, rx\in A$
- $\text{for $\sigma^{n-1}$-a.e. }x\in S^{n-1}, \text{for $\L^1$-a.e. }r>0, rx\in A$
の３つは同値.
case2: 球対称関数
可測関数$f\colon\R^n\to\C$に対して,
\begin{align}
&\forall g\in O(n),\quad f\circ g(x)=f(x)\quad(\ae x\in\R^n)\quad\textcolor{gray}{(O(n)\text{は$n$次の直交行列の全体})}\\
&\iff\exists \psi\colon (0,\infty)\to\C,\quad f(x)=\psi(|x|)\quad(\ae x\in\R^n)
\end{align}
である.
$(\Leftarrow)$
任意に$g\in O(n)$をとる.
\begin{align}
f\circ g(x)&=\psi(|g(x)|)\quad(\ae x\in\R^n)\\
&=\psi(|x|)\\
&=f(x)\quad(\ae x\in\R^n)
\end{align}
より$f\circ g (x)=f(x)$ ($\ae x\in\R^n$).
$(\Rightarrow)$
$A=\{(x,g)\in\R^n\times O(n):f\circ g(x)\ne f(x)\}$とおく.
$x\in\R^n$に対し$A^x=\{g\in O(n):(x,g)\in A\}$,
$g\in O(n)$に対し$A_g=\{x\in\R^n:(x,g)\in A\}$とおく.
また$\mu$を$O(n)$の左Haar測度で, $\mu(O(n))=\sigma^{n-1}(S^{n-1})$となるものとする.
先程の補題より
for a.e. $x\in S^{n-1}$, for a.e. $r>0$, $\mu(A^{rx})=0$.
特に$x_0\in S^{n-1}$が存在して, [$\mu(A^{rx_0})=0$ (a.e. $r>0$)].
ここで$S^{n-1}$上の測度$\nu$を
$\nu(E)=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})$
で定めると,
\begin{align}
\textcolor{gray}{\forall h\in O(n)\text{に対し}}\\
\textcolor{gray}{\nu(hE)}
&\textcolor{gray}{=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in hE\})}\\
&\textcolor{gray}{=\mu(\{hg\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\
&\textcolor{gray}{=\mu(h\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\
&\textcolor{gray}{=\mu(\{g\in O(n):g(x_0)\in E\})}\\
&\textcolor{gray}{=\nu(E)}\\
\textcolor{gray}{\text{なので}}
\end{align}
これは$O(n)$の作用で不変な$S^{n-1}$上の測度だが,
それは定数倍を除き一つしかないので, $\nu=\sigma^{n-1}$.
ここで$\psi:(0,\infty)\to\C$を, $\psi(r)=f(rx_0)$で定める.
すると, $\mu(A^{rx_0})=0$となる$r>0$に対して
\begin{align}
&\sigma^{n-1}(\{x\in S^{n-1}:f(rx)\ne\psi(r)\})\\
&\textcolor{gray}{\,\,=\nu(\{x\in S^{n-1}:f(rx)\ne f(rx_0)\})}\\
&=\mu(\{g\in O(n):f\circ g(rx_0)\ne f(rx_0)\})\\
&=\mu(A^{rx_0})\\
&=0
\end{align}
であるから,
for a.e. $r>0$, for a.e. $x\in S^{n-1}$, $f(rx)=\psi(r)$
であるので, 再び補題から$f(x)=\psi(|x|)$ (a.e. $x\in\R^n$).
実践
ここではRiesz kernel, $k_s(x)=|x|^{-s}$ $(x\in\R^n, \frac n2< s< n)$の（緩増加超関数としての）フーリエ変換を考えましょう.
$\widehat{k_s}=\gamma(n,s)k_{n-s}$ ($\gamma(n,s)\in \C$は定数).
まず$k_s\in L^1+L^2$より, $\widehat{k_s}\in L^\infty+L^2$. そこで(a.e.による同値関係で割る前の)代表元を一つ固定しておき, これも$\widehat{k_s}$とかく.
以下この各点での値が定義されている後者の$\widehat{k_s}$について議論する.
$L^1,L^2$でのフーリエ変換の一般論から, $\widehat{k_s}$は球対称で,
$\textcolor{gray}{
\text{
（但し$L^2$をフーリエ変換した関数は連続とは限らず, 各点での値は制御できなくなっているので, case2でみたような意味で球対称である）
}}$
また任意の$r>0$に対して$\F[k_s(r\bullet)](x)=r^{-s}\F[k_s(\bullet)](x)=r^{-n}\widehat{k_s}(r^{-1}x)$であるから
$r^{s-n}\widehat{k_s}(r^{-1}x)=\widehat{k_s}(x)$ ($\ae x\in\R^n$)である.
まず球対称だから$\psi:(0,\infty)\to\C$が存在して, $\widehat{k_s}(x)=\psi(|x|)$ $(\ae x)$.
また任意の$r>0$に対し,
$r^{s-n}\psi(|r^{-1}x|)=\psi(|x|)$ $(\ae x)$.
よって for $\ae x$, for $\ae r>0$, $r^{s-n}\psi(|r^{-1}x|)=\psi(|x|)$.
よって特に$x_0\in\R^n\setminus\{0\}$が存在して, 殆ど至る$r>0$に対し, $r^{s-n}\psi(|r^{-1}x_0|)=\psi(|x_0|)$.
よって$r\mapsto r^{-1}|x_0|$として$\psi(r)=r^{s-n}|x_0|^{n-s}\psi(|x_0|)$ $(\ae r>0)$.
$C=|x_0|^{n-s}\psi(|x_0|)$とおいて$\psi(|x|)=Ck_{n-s}(x)$ $(\ae x\in\R^n)$.
よって$\widehat{k_s}(x)=Ck_{n-s}(x)$ $(\ae x\in\R^n)$.
「任意の$r>0$に対して$r^{s-n}\widehat{k_s}(r^{-1}x)=\widehat{k_s}(x)$ ($\ae x\in\R^n$)」ということから,
「$r=|x|$として$|x|^{s-n}\widehat{k_s}(|x|^{-1}x)=\widehat{k_s}(x)$ ($\ae x\in\R^n$)」となると勘違いしてしまうかもしれませんが, これは誤りです. なぜなら1文目はあくまで「$r$を固定すると$\ae x$でなりたつ」ということで, 一方, 「$r=|x|$として......」というのは$x$を先にとって, その後$r=|x|$とするということなので, 論理がおかしいです.
おわりに
大抵の関数空間ではa.e.で一致する関数を同一視すると思いますが、そうすると球対称だとか同次性だとかが、本当は少し議論が必要になるということです. こういう細かい話は普段はあまり考えなくても良いと思いますが, 疑ってからしっかり考えて, ああ結局大丈夫なんだと納得する儀式を一度経ることは大事だと思います.
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