生命体のみなさんは, 日常生活において, 三角関数の中に逆三角関数が入った式, たとえばこういうのみたいなやつ:
を展開する事が多々あると思います.
ふつうこれらを展開する場合には, 三角関数の相互関係からぐちゃぐちゃしていくのが一般的だと思いますが, 今回紹介する図形的な方法では,
慣れれば5秒程度の暗算でもいけます.
早速手順を説明していきます.
まず, 三角関数の中に入っている逆三角関数部分に着目します.
関数とその逆関数の合成関数はxになるので,
になります.
ここで,
からは,
隣辺が
こんなかんじ
(慣れないうちは紙に書いてみましょう)
三平方の定理(ピタゴラスの定理(鉤股弦の定理))より, 直角三角形の対辺は
ここで, 求めたいのは
(範囲と符号に気をつけてね)
このくらいなら相互関係の方が早いかもですね.
他の例でもやってみましょう.
したがって,
これがなぜ成り立つのかというと, そもそも逆三角関数が特定の条件をみたす直角三角形の角度であると見做せるからですね. まあ明らかではありますね.
では, 少し演習も3問ほどぶちかましてみましょう.
よって,
とまあこんな感じ.
よって
したがって,
ここで
したがって,
となります.
(範囲と符号に気をつけてね)
とまあこんな感じ.
考え方は同じです.
したがって,
となります.
あ、おわりです。