ハーツホーン解答例

1. まず
   $$ A(Y)=k[x,y]/(y-x^2) $$
   である。環同型
   $$ \begin{array}{ccc} A(Y)&\to&k[t]\\ g(x,y)&\mapsto&g(t,t^2) \end{array} $$
   があるから、結果が従う。
2. 環$k[x,y]/(xy-1)\simeq k\left[x,\frac{1}{x}\right]$と$k[t]$の間に環同型が取れないことを示せば良い。もし環同型$k\qty[x,\frac{1}{x}]\simeq k[t]$が取れたとすると、$x$の像は$k[t]$の定数以外の可逆元になるが、そのようなものは存在しないので結果が従う。
3. 適切に座標変換を行うことで、$f$の$2$次の部分は$x^2$ないし$xy$であるとして良い。また$x$ないし$y$をいくつかずらすことで$f(x,y)=x^2-ay-b$ないし$f(x,y)=xy-a$の場合を考えればよい。いずれの場合も$f$の既約性から$a\neq0$である。前者の場合は対応$(x,y)\mapsto(t,\frac{t^2-b}{a})$によって同型$A(W)\simeq k[t]$が、後者の場合対応$(x,y)\mapsto(t,\frac{a}{t})$によって同型$A(W)\simeq k[t,\frac{1}{t}]$が成り立っている。

まず
$$ Y=\{(x,y,z)\in \mathbb{A}^3|x^2-y=x^3-z=0\} $$
であるから代数的集合である。ここでイデアル$I(Y)={\color{Red}(x^2-y,x^3-z)}$である。これはこのとき対応$(x,y,z)\mapsto(t,t^2,t^3)$により同型$A(Y)\simeq k[t]$が取れるから、$I(Y)$は$k[x,y,z]$の素イデアルであり、よって$Y=ZI(Y)$は既約である。よって$Y$はアファイン多様体である。
　最後に$Y$が$1$次元であることを示す。$k[t]\simeq k[x,y,z]/I(Y)$であったから、$k[x,y,z]$に於いて$(x^2-y,x^3-z)$を含む素イデアルが極大イデアルしかない。よって$Y$は$1$次元である。
　以上で示したいことが全て示せた。

まず
$$ Z_1=\{(0,0,z)\in\mathbb{A}^3\} $$
$$ Z_2=\{(0,y,0)\in\mathbb{A}^3\} $$
$$ Z_3=\{(t,t^2,1)\in\mathbb{A}^3\} $$
とおく。各成分に対応する素イデアルは
$$ I(Z_1)=(x,y) $$
$$ I(Z_2)=(x,z) $$
$$ I(Z_3)=(x^2-y,z-1) $$
である。

$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$の開集合は積位相の定義から
$$ \mathbb{A}^1\backslash\{a_1,\cdots,a_n\}\times \mathbb{A}^1\backslash\{b_1,\cdots,b_m\} $$
の形の集合から生成される。そしてこの補集合は
$$ \left(\{a_1,\cdots,a_n\}\times\mathbb{A}^1 \right)\cup \left(\mathbb{A}^1\times\{b_1,\cdots,b_m\}\right)) $$
である。これにより$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$の任意の点$p=(p_1,p_2)$に於いて、その点を通る既約閉集合は一点集合と全空間を除けば
$$ \{p_1\}\times\mathbb{A}^1 $$
$$ \mathbb{A}^1\times\{p_2\} $$
の$2$つである。一方$\mathbb{A}^2$の任意の点$p=(p_1,p_2)$においては
$$ a(x-p_1)+b(y-p_2) $$
の形で表される多項式の零点集合は全て$p$を通る既約閉集合である。以上から$\mathbb{A}^2$と$\mathbb{A}^1\times\mathbb{A}^1$の間に同相は存在しない。

※現在作成中