K準同型
$k$代数
$k$を可換環とする．
環$A$と$s_A\colon k\to A$を環準同型の組$(A,s_A)$を$k$代数($k$-algebra)という．このとき，$s_A$を$(A,s_A)$の構造射(structural morphism)という．
$(A,s_A),(B,s_B)$を$k$代数とする．環準同型$\varphi\colon A\to B$が$\varphi\circ s_A=s_B$を充たすとき，$\varphi$を$k$準同型($k$-homomorphism)という．$(A,s_A)$から$(B,s_B)$への$k$準同型の全体を${\rm{Hom}}^{\rm{alg}}_{k}A$で表す．
$k$準同型が同型であれば$k$同型($k$-isomorphism)という．$k$代数$A$の$k$自己同型の全体は合成に関して群となる．これを$A$の$k$自己同型群($k$-automorphism group)といい，${\rm{Aut}}^{\rm{alg}}_{k}A$で表す．
$k$準同型$\varphi\colon A\to B$が単射であれば$A$を$\varphi(A)$を同一視して，$A\subset B$と考えられる．このとき$A$を$B$の部分$k$代数(sub-$k$-algebra)という．
![!FORMULA[40][37949][0]準同型](https://firebasestorage.googleapis.com/v0/b/mathlog-361213.appspot.com/o/uploads%2Fmathdown%2FAv3nlm0bO1Qn9rttqwtU.png?alt=media)
$k$準同型
- 構造射$s_A$を省略して$k$代数$A$とかくことが多い．
- 構造射には単射性を課す場合もある．単射の時は$k\subset A$と見做せる．
$\varphi\colon \Z\to\Z/(n),m\to m+(n)$によって$\Z/(n)$は$\Z$代数と見做せる．
$(A,s_A)$を$k$代数とする．作用$k\times A\to A$を
$$a\cdot x:=s_A(a) x\ (a\in k,x\in A)$$
で定めると，$A$は$k$加群と見做せる．
簡単にcheckできる．
以降，$k$代数は命題1の作用によって$k$加群との構造が入ったものと考える．
$(A,s_A),(B,s_B)$を$k$代数とする．$\varphi\colon A\to B$を環準同型とする．このとき，
$\varphi$が$k$準同型$ \Leftrightarrow$ $\varphi$が$k$加群の準同型
($\Rightarrow$) 準同型なので和を保つことは明らか．
$a\in k,x\in A$に対し，
$$\varphi(a\cdot x)=\varphi(s_A(a) x)=\varphi(s_A(a))\varphi(x)\stackrel{\downarrow}{=}s_B(a) \varphi(x)=a\cdot \varphi(x)$$
($\Leftarrow$) $a\in k$に対し，
$$\varphi\circ s_A(a)=\varphi(s_A(a)1)=\varphi(a\cdot 1)\stackrel{\downarrow}{=}a\cdot\varphi(1)=a\cdot 1=s_B(a)$$
それぞれ$\downarrow$の位置で条件を使用した．
命題2は次のように言い換えられる．
$$\Hom^\alg_k(A,B)
=\Hom(A,B)\cap\Hom_k(A,B)$$
但し$\Hom(A,B)$は$A$から$B$への環準同型全体，$\Hom_k(A,B)$は$A$から$B$への$k$加群としての準同型（=$k$線形写像）全体とした．
つまり$k$準同型とは$k$線型な環準同型である．
（但しスカラー倍の定義は気にする必要がある．）
K準同型
$k$が体の場合を考えよう．$K$を体とする．
$L/K$が体拡大のとき$L$は包含写像$\iota\colon K\hookrightarrow L$を構造射として$K$代数と見做せる．よって命題2により，$L$は$K$線型空間と見做せる．
$L_1,L_2$を体$K$の拡大体とし，$K$線型空間と考える．体準同型$\varphi\colon L_1\to L_2$が$K$準同型であるとは
\begin{align}
\varphi\circ\iota_1=\iota_2 \tag{a} \\
\end{align}
（但し$\iota_1\colon K\hookrightarrow L_1,\iota_2\colon K\hookrightarrow L_2$は包含）
を充たすことであった．$\varphi\circ\iota_1=\varphi|_{K}$に注意すると，(a)は
$$\varphi|_K=\id_{K}$$
とかける．つまり，$K$準同型とは$K$の元を動かさない体準同型であるともいえる．また命題2から(a)は$K$線型であることと同値であった．
以上をまとめると，$K$準同型とは
(1) $K$線型な体準同型
(2) $K$の元を動かさない体準同型
などと特徴づけられる．
$K$同型に関しても$K$線型同型，体同型との関係は同様である．
複素共軛$\rho\colon\C\to\C,z\mapsto\overline{z}$は$\C$上の$\R$自己同型．実際複素共軛は体同型であり，$\R$の元は複素共軛で動かない．
$\varphi\colon\C\to\C, a+b\sqrt{-1}\mapsto a+2b\sqrt{-1}\ (a,b\in\R)$とすると，
$$\varphi\in\Hom_{\R}(\C,\C)\ \mathrm{and}\ \varphi\notin\Hom(\C,\C)$$
なので，$\varphi\notin\Hom^\alg_{\R}(\C,\C)$
