Gaussの超幾何定理の積分表示を用いない証明を紹介します. 超幾何定理の証明としては積分表示を使うものを紹介されることが多いですが, 積分表示を使うと, 級数と積分の入れ替えや積分と極限の入れ替えを行う必要があり, 議論を細かく詰めるのが難しくなってしまいます. そこで, 本記事では級数の変形において少し工夫を行うことで, 級数の範囲内で議論を完結させ, 超幾何定理を証明します.
なお, この証明方法はDuverneyを参考にしました.
複素数$\alpha$および自然数$n$に対して, $(\alpha)_n$を次のように定める.
$$(\alpha)_n=\begin{cases}1&(n=0),\\(\alpha+n-1)(\alpha)_{n-1}&(n>0)\end{cases}$$
複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$, $z$に対して, $\gamma\neq 0,-1,-2,\ldots$のとき,
$$
\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{z}
\coloneqq\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}z^n
.$$
複素数$\alpha$, $\beta$, $\gamma$が$\gamma\neq 0,-1,\ldots$および$\Re(\gamma-\alpha-\beta)>0$をみたすとき,
$$\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{1}=\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha)\Gamma(\gamma-\beta)}.$$
$-q\notin\mathbb{N}$のとき, $\ds\frac{(p)_n}{(q)_n}=\frac{\Gamma(q)}{\Gamma(p)}n^{p-q}\lr{1+O\lr{\frac{1}{n}}}.$
Stirlingの公式より, $\Gamma(p+n)=\lr{\frac{p+n}{e}}^{p+n}\sqrt{\frac{2\pi}{p+n}}\lr{1+O\lr{\frac{1}{n}}}$であるため,
\begin{align*}
\frac{(p)_n}{(q)_n}
&=\frac{\Gamma(q)}{\Gamma(p)}\frac{\Gamma(p+n)}{\Gamma(q+n)}\\
&=\frac{\Gamma(q)}{\Gamma(p)}e^{q-p}n^{p-q}\frac{\lr{1+\frac{p}{n}}^{p+n}}{\lr{1+\frac{q}{n}}^{q+n}}\sqrt{\frac{q+n}{p+n}}\lr{1+O\lr{\frac{1}{n}}}\\
&=\frac{\Gamma(q)}{\Gamma(p)}n^{p-q}\lr{1+O\lr{\frac{1}{n}}}.
\end{align*}
$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$かつ$-\gamma\notin\mathbb{N}$かつ$\Re(\gamma-\alpha-\beta)>0$のとき
$${(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+1}{1}={\gamma(\gamma-\alpha-\beta)}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{1}.$$
\begin{align*}
{(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+1}{1}
&=\sum_{n=0}^\infty(\gamma-\alpha)(\gamma-\beta)\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+1)_nn!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty(\gamma-\alpha)((\gamma+n)-(\beta+n))\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+1)_nn!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma(\gamma-\alpha)\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}
-(\gamma-\alpha)\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma+1)_nn!}},
\end{align*}
\begin{align*}
{\gamma(\gamma-\alpha-\beta)}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{1}
&=\sum_{n=0}^\infty\gamma(\gamma-\alpha-\beta)\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma(\gamma-\alpha)\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}-\gamma\beta\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}}
\end{align*}
である. ここで,
$$\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}=O(n^{-1-(\gamma-\alpha-\beta)}),$$
$$\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma+1)_nn!}=O(n^{-1-(\gamma-\alpha-\beta)})$$
より, 上の2式で和の順序を交換することができ,
$$\sum_{n=0}^\infty
(\gamma-\alpha)\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma+1)_nn!}=\sum_{n=0}^\infty\gamma\beta\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}$$
を示すことに帰着できる.
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\gamma\beta\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}
&=\sum_{n=0}^\infty\gamma(\beta+n-n)\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_nn!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_nn!}-\gamma\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_n(n-1)!}}
\end{align*}
であり,
$$\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_nn!}=O(n^{-(\gamma-\alpha-\beta)}),$$
$$\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_n(n-1)!}=O(n^{-(\gamma-\alpha-\beta)})$$
および, $\lim_{n\to\infty}a_n=\lim_{n\to\infty}b_n=0$かつ$\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)$が収束するとき, $\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_{n+1})$も収束して$\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_{n+1})=b_0+\sum_{n=0}^\infty(a_n-b_n)$であることを用いると,
\begin{align*}
\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_nn!}-\gamma\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma)_n(n-1)!}}
&=\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_nn!}-\gamma\frac{(\alpha)_{n+1}(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_{n+1}n!}}\\
&=\sum_{n=0}^\infty\lr{\gamma(\gamma+n)-\gamma(\alpha+n)}\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma)_{n+1}n!}\\
&=\sum_{n=0}^\infty(\gamma-\alpha)\frac{(\alpha)_n(\beta)_{n+1}}{(\gamma+1)_nn!}\\
\end{align*}
となる.
したがって, 補題3が示された.
$\alpha,\beta,\gamma\in\mathbb{C}$かつ$-\gamma\notin\mathbb{N}$のとき,
$$\lim_{m\to\infty}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+m}{1}=1.$$
$N>\max\{-\Re(\alpha),-\Re(\beta),-\Re(\gamma)\}$となるように$N\in\mathbb{Z}^{+}$をとる.
\begin{align*}
\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+m}{1}
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+m)_nn!}\\
&=\sum_{n=0}^{N-1}\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+m)_nn!}+\sum_{n=N}^\infty\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+m)_nn!}
\end{align*}
であり, 第1項は$m\to\infty$において$1$に収束する.
また, 第2項は
\begin{align*}
\sum_{n=N}^\infty\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+m)_nn!}
&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha)_{N+n}(\beta)_{N+n}}{(\gamma+m)_{N+n}(N+n)!}\\
&=\frac{(\alpha)_N(\beta)_N}{(\gamma+m)_NN!}\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha+N)_n(\beta+N)_n}{(\gamma+m+N)_n(1+N)_n}
\end{align*}
である.
ここで, $\alpha^\prime=\Re(\alpha)+\lvert\Im(\alpha)\rvert$, $\beta^\prime=\Re(\beta)+\lvert\Im(\beta)\rvert$, $\gamma^\prime=\Re(\gamma)$とおき, $\gamma^\prime+m_0-\alpha^\prime-\beta^\prime>0$となるように$m_0\in\mathbb{N}$をとる.
$m\geq m_0$のとき,
$$\left\lvert\frac{(\alpha+N)_n(\beta+N)_n}{(\gamma+m+N)_n(1+N)_n}\right\rvert
\leq\frac{(\alpha^\prime+N)_n(\beta^\prime+N)_n}{(\gamma^\prime+m+N)_n(1+N)_n}
\leq\frac{(\alpha^\prime+N)_n(\beta^\prime+N)_n}{(\gamma^\prime+m_0+N)_n(1+N)_n}$$
であることから
$$\left\lvert\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha+N)_n(\beta+N)_n}{(\gamma+m+N)_n(1+N)_n}\right\rvert\leq\sum_{n=0}^\infty\frac{(\alpha^\prime+N)_n(\beta^\prime+N)_n}{(\gamma^\prime+m_0+N)_n(1+N)_n}<\infty$$
であり, また, $m\to\infty$において$\dfrac{(\alpha)_N(\beta)_N}{(\gamma+m)_NN!}\to 0$であるため,
$$\sum_{n=N}^\infty\frac{(\alpha)_n(\beta)_n}{(\gamma+m)_nn!}\to 0\quad(m\to\infty)$$
がわかる.
したがって, 補題4が示された.
補題2, 補題3, 補題4を使うことで超幾何定理を示すことができます.
補題3を繰り返して用いると, $n\in\mathbb{N}$に対して
$$\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{1}=\frac{(\gamma-\alpha)_n(\gamma-\beta)_n}{(\gamma)_n(\gamma-\alpha-\beta)_n}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+n}{1}$$
がわかる.
右辺において$n\to\infty$とすると, 補題2および補題4より,
$$\lim_{n\to\infty}\frac{(\gamma-\alpha)_n(\gamma-\beta)_n}{(\gamma)_n(\gamma-\alpha-\beta)_n}\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma+n}{1}=\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha)\Gamma(\gamma-\beta)}$$
である.
したがって,
$$\GaussHyper{\alpha}{\beta}{\gamma}{1}=\frac{\Gamma(\gamma)\Gamma(\gamma-\alpha-\beta)}{\Gamma(\gamma-\alpha)\Gamma(\gamma-\beta)}$$
が示された.