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東大数理院試過去問解答例(2018B06)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2018B06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。  

2018B06

C2の変換I,J
I(z,w):=(iz,iw)
J(z,w):=(w,z)
で定義され、C2の間の全単射全体のなす群のうちI,Jで生成される部分群をΓとおく。また
S1:={zC||z|=1}
D2:={zC||z|1}
Int(D2):=D2S1
とおく。ここで
U=(Int(D2)×S1)(S1×Int(D2))
V=((D2{0})×S1)(S1×D2{0})
と定義する。
(1) 整係数ホモロジー群H((UV)/Γ;Z)を求めなさい。
(2) 整係数ホモロジー群H(V/Γ;Z)を求めなさい。
(3) 整係数ホモロジー群H((UV)/Γ;Z)を求めなさい。

  1. まず
    UV=(Int(D2){0}×S1)(S1×Int(D2){0})
    である。ここで変換JUVの左側の和成分を右側に移す一方Iは成分を保ち、またJIJ1=I1であるから、求めるホモロジー群は(Int(D2){0}×S1)/I(S1×S1)/Iのホモロジー群に等しい(ここではホモトープであることを指す)。ここで連続写像
    S1×S1S1×S1(z,w)(z4,wz)
    を取ったとき、ここから同相(S1×S1)/IS1×S1が誘導される。よって求めるホモロジー群はS1×S1のホモロジー群、つまり
    H((UV)/Γ;Z){Z(=0)Z2(=1)Z(=2)0(if else)
    である。
  2. まずVS1×S1のホモトープであり、これはΓの作用と整合的なので、X=(S2×S1)/Γのホモロジー群を求めればよい。ここでXの胞体分割を
    X=e21e22e11e12e13e14e01e02
    ととる。但しe1j{1}×{eiθ|2(j1)π4θ2jπ4}から誘導される1胞体、e2j{eiθ|04<θ<π2}×{eiθ|2(j1)π4<θ<2jπ4}から誘導される2胞体、e01及びe0,2はそれぞれ(1,1)及び(1,1)の誘導する0胞体である。このとき直接計算することで
    H(V/Γ;Z)={Z(=0)ZZ/2Z(=1)0(if else)
    がわかる。
  3. まず
    fr:U/ΓU/Γ(z,w){(rz,w)((z,w)D2×S1)(z,rw)((z,w)S1×D2)
    とおく。このとき(z,w)D2×S1についてJfr(z,w)=(w,rz)=fr(w,z)=frJ(z,w)であるからfrはwell-definedな連続写像を定めている。ここで写像
    U/Γ×[0,1]U/Γ((z,w),r)fr(z,w)
    を考えたとき、基本領域を適切に取ることでこの写像は連続である。よってU/ΓS1はホモトープになっているから
    H(U/Γ;Z)={Z(=0,1)0(if else)
    がわかる。このとき(1)(2)及びここまでの議論からマイヤー・ビートリス完全列
    000H3((UV)/Γ,Z)Z0H2((UV)/Γ,Z)Z2Z2Z/2ZH1((UV)/Γ,Z)0ZZ2Z0
    が得られる。ここで1次の射は基底を適切にとって
    (xy)(y2xy+2Z)
    で表現される。これをfとすると
    Kerf=0
    Imf=(0,2,0+2Z),(1,0,1+2Z)
    Cokerf=(Z/2Z)2
    である。以上をまとめると
    H(((UV)/Γ);Z)={Z(=0,3)Z/2Z×Z/2Z(=1)0(if else)
    がわかる。
投稿日:2023125
更新日:2024915
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藍色の日々。趣味の数学と院試の過去問の(間違ってるかもしれない雑な)解答例を上げていきます。リンクはX(旧Twitter)アカウント 

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