東大数理院試過去問解答例(2018B06)
ここでは東大数理の修士課程の院試の2018B06の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。
$\mathbb{C}^2$の変換$I,J$を
$$
I(z,w):=(iz,iw)
$$
$$
J(z,w):=(-\overline{w},\overline{z})
$$
で定義され、$\mathbb{C}^2$の間の全単射全体のなす群のうち$I,J$で生成される部分群を$\Gamma$とおく。また
$$
S^1:=\{z\in\mathbb{C}||z|=1\}
$$
$$
D^2:=\{z\in\mathbb{C}||z|\leq1\}
$$
$$
\mathrm{Int}(D^2):=D^2\backslash S^1
$$
とおく。ここで
$$
U=(\mathrm{Int}(D^2)\times S^1)\cup(S^1\times\mathrm{Int}(D^2))
$$
$$
V=((D^2\backslash\{0\})\times S^1)\cup(S^1\times D^2\backslash\{0\})
$$
と定義する。
(1) 整係数ホモロジー群$H_\ast((U\cap V)/\Gamma;\mathbb{Z})$を求めなさい。
(2) 整係数ホモロジー群$H_\ast(V/\Gamma;\mathbb{Z})$を求めなさい。
(3) 整係数ホモロジー群$H_\ast((U\cup V)/\Gamma;\mathbb{Z})$を求めなさい。
- まず
$$ U\cap V=(\mathrm{Int}(D^2)\backslash\{0\}\times S^1)\sqcup(S^1\times\mathrm{Int}(D^2)\backslash\{0\}) $$
である。ここで変換$J$は$U\cap V$の左側の和成分を右側に移す一方$I$は成分を保ち、また$JIJ^{-1}=I^{-1}$であるから、求めるホモロジー群は$(\mathrm{Int}(D^2)\backslash\{0\}\times S^1)/I\approx (S^1\times S^1)/I$のホモロジー群に等しい(ここで$\approx$はホモトープであることを指す)。ここで連続写像
$$ \begin{split} S^1\times S^1&\to S^1\times S^1\\ (z,w)&\mapsto (z^4,\frac{w}{z}) \end{split} $$
を取ったとき、ここから同相$(S^1\times S^1)/I\simeq S^1\times S^1$が誘導される。よって求めるホモロジー群は$S^1\times S^1$のホモロジー群、つまり
$$ {\color{red}H^\ast((U\cap V)/\Gamma;\mathbb{Z})\simeq\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0)\\ \mathbb{Z}^2&(\ast=1)\\ \mathbb{Z}&(\ast=2)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right.} $$
である。 - まず$V$は$S^1\times S^1$にホモトープであり、これは$G$の作用とも整合的であるから、$(S^1\times S^1)/\Gamma$のホモロジー群を求めれば良い。まず上記の同相$(S^1\times S^1)/I\simeq S^1\times S^1$によって左辺に於ける$J$で生成される群による作用は
$$ \begin{split} g:S^1\times S^1&\to S^1\times S^1\\\ (s,t)&\mapsto (\overline{st^4},-t) \end{split} $$
と表記される。以下$S:=(S^1\times S^1)/\langle g\rangle$のホモロジー群を求めれば良い。$S^1\times S^1$の部分集合$A':=S^1\times\{z\in S^1|\mathrm{Im}z\neq0\}$及び$B':=S^1\times\{z\in S^1|\mathrm{Re}z\neq0\}$をとり、その自然な全射$S^1\times S^1\to S$への像を$A$及び$B$とおく。このとき
$$ A\approx S^1 $$
$$ B\approx S^1 $$
$$ A\cap B\approx S^1\sqcup S^1 $$
であるから、Mayer-Vietoris完全列
$$ \begin{array}{ccccccc} &&\cdots&\to&0&\to\\ 0&\to&0&\to&H^2(S,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}^2&\to& H^1(S,\mathbb{Z})&\to\\ \mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}^2&\to&\mathbb{Z}&\to&0 \end{array} $$
が得られる。ここで$A\cap B$から$A$及び$B$への包含はホモトピー同値を定めているから、この完全列の$0$次と$1$次の行の$\mathbb{Z}^2\to\mathbb{Z}^2$は適切な基底の下、行列
$$ \begin{pmatrix} 1&1\\ 1&1 \end{pmatrix} $$
で表現される。よって
$$ {\color{red}H^\ast(V/\Gamma;\mathbb{Z})\simeq\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0)\\ \mathbb{Z}^2&(\ast=1)\\ \mathbb{Z}&(\ast=2)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right.} $$
である。 - まず
$$ \begin{split} f_r:(U\cup V)/\Gamma&\to (U\cup V)/\Gamma\\ (z,w)&\mapsto \left\{\begin{array}{cc} (rz,w)&((z,w)\in D^2\times S^1)\\ (z,rw)&((z,w)\in S^1\times D^2)\\ \end{array}\right. \end{split} $$
とおく。このとき$(z,w)\in D^2\times S^1$について$Jf_r(z,w)=(-\overline{w},r\overline{z})=f_r(-\overline{w},\overline{z})=f_rJ(z,w)$であるから$f_r$はwell-definedな連続写像を定めている。ここで写像
$$ \begin{split} (U\cup V)/\Gamma\times [0,1]&\to (U\cup V)/\Gamma\\ \left((z,w),r\right)&\mapsto f_r(z,w) \end{split} $$
を考えたとき、基本領域を適切に取ることでこの写像は連続である。よって$V/\Gamma$と$S^1$はホモトープになっているから
$$ {\color{red}H^\ast(V/\Gamma;\mathbb{Z})=\left\{\begin{array}{cc} \mathbb{Z}&(\ast=0,1)\\ 0&(\textsf{if else}) \end{array}\right.} $$
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