友人からいただいた積分からもう一個だけ

はじまり

友人からいただいた積分$\displaystyle \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^3{x}-\cos^4{x}}\ dx $について考える。
変形したら$\sqrt{1-\cos{x}}$出てきたからうまいこと行かないかなって。

計算1

\begin{align*} I = \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^3{x}-\cos^4{x}}\ dx &= \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} (\cos{x})^{\frac{3}{2}} \sqrt{1-\cos{x}}\ dx \\ &= \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(2\cos^2{\frac{x}{2}-1}\Bigr)^{\frac{3}{2}} \sqrt{2\sin^2{\frac{x}{2}}}\ dx \\ &= 2\sqrt{2}\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \Bigl(2\cos^2{\frac{x}{2}-1}\Bigr)^{\frac{3}{2}} \Bigl(\cos{\frac{x}{2}}\Bigr)'\ dx \\ &= 2\sqrt{2}\int _{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} (2t^2-1)^{\frac{3}{2}}\ dt \\ &= 8\int _{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{3}{2}}\ dt \\ \frac{I}{8}&=\Bigl[t\Bigl(t^2 -\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{3}{2}} \Bigr]_\frac{1}{\sqrt{2}}^{1} - 3\int _{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} t^2\Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{1}{2}}\ dt \\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}} - 3\int _{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)\Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{1}{2}}\ dt - \frac{3}{2}\int _{\frac{1}{\sqrt{2}}}^{1} \Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{1}{2}}\ dt\\ \frac{I}{2}&=\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4}\Bigl[t\Bigl(t^2-\frac{1}{2}\Bigr)^{\frac{1}{2}}- \frac{1}{2}\log{\Bigl(t+\sqrt{t^2-\frac{1}{2}}\Bigr)} \Bigr]_\frac{1}{\sqrt{2}}^{1}\\ &=\frac{1}{2\sqrt{2}} - \frac{3}{4}\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log{\Bigl(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)} +\frac{1}{2}\log{\Bigl(\frac{1}{\sqrt{2}}\Bigr)} \Bigr) \\ &=-\frac{1}{4\sqrt{2}} + \frac{3}{8}\log{(1+\sqrt{2})} \\ I&=\frac{3}{4}\log{(1+\sqrt{2})}-\frac{\sqrt{2}}{4}\\ \end{align*}
$\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}\cosh{x}$で置換積分してもうまいこと計算できました。

発展

計算1では$\sqrt{x^2+a^2}$の積分の際によく使う、部分積分で次数を下げるテクニックをつかいました。ということで次の積分も考えてみる。

計算2

\begin{align*} I_n&=\int (t^2 -a^2)^{n+ \frac{1}{2}} dt \\ &= \int (a^2\cosh^2{x}-a^2)^{n+ \frac{1}{2}} a\sinh{x}\ dx\\ &= a^{2n+2}\int (\sinh{x})^{2n+2} \ dx\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int (e^{x}-e^{-x})^{2n+2} \ dx\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int \sum _{k=0}^{2n+2} {}_{2n+2} \mathrm{C}_k(e^{kx})(e^{(k-2n-2)x}) \ dx\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int \sum _{k=0}^{2n+2} {}_{2n+2} \mathrm{C}_k\ e^{(2k-2n-2)x} \ dx\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\Bigl({}_{2n+2} \mathrm{C}_{n+1}x + \sum _{k=0\ (\ne n+1)}^{2n+2} \frac{{}_{2n+2} \mathrm{C}_k}{2k-2n-2}\ e^{(2k-2n-2)x} \Bigr)\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\Bigl({}_{2n+2} \mathrm{C}_{n+1}\cosh^{-1}{\frac{t}{a}} + \sum _{k=1}^{n+1} {}_{2n+2} \mathrm{C}_k \Bigl(\frac{e^{2kx}}{2k}+\frac{e^{-2kx}}{2k} \Bigr)(-1)^{k}\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}{}_{2n+2} \mathrm{C}_{n+1}\cosh^{-1}{\frac{t}{a}} + \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\sum _{k=1}^{n+1} \frac{(-1)^{k}{}_{2n+2} \mathrm{C}_k }{2k} \Bigl(\Bigl(\frac{2}{a^2}(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}) \Bigr)^k + \Bigl(\frac{2}{a^2}(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}) \Bigr)^k \Bigr)\\ &= \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}{}_{2n+2} \mathrm{C}_{n+1}\cosh^{-1}{\frac{t}{a}} + \frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\sum _{k=1}^{n+1} \Bigl(\frac{2}{a^2}\Bigr)^k \frac{(-1)^{k}{}_{2n+2} \mathrm{C}_k}{2k} \Bigl(\Bigl(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}\Bigr)^k + \Bigl(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}\Bigr)^k \Bigr)\\ \end{align*}
とりあえず私が計算したところまでここに記しました。もうすこし計算できる、計算ミスや入力ミスでおかしいところがある、この変形何してるかしっかり述べてくださいとかあれば、教えてくださると助かります。