友人からいただいた積分からもう一個だけ

はじまり

友人からいただいた積分${\displaystyle {\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\cos }^{3}x-{\cos }^{4}x}dx}$について考える。
変形したら$\sqrt{1-\cos x}$出てきたからうまいこと行かないかなって。

計算1

$$\begin{array}{rl}I={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}\sqrt{{\cos }^{3}x-{\cos }^{4}x}dx& ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(\cos x{)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{1-\cos x}dx\\ & ={\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1{)}^{\frac{3}{2}}\sqrt{2{\sin }^2\frac{x}{2}}dx\\ & =2\sqrt{2}{\int }_0^{\frac{\pi }{2}}(2{\cos }^2\frac{x}{2}-1{)}^{\frac{3}{2}}(\cos \frac{x}{2}{)}^{\prime }dx\\ & =2\sqrt{2}{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1(2t^2-1{)}^{\frac{3}{2}}dt\\ & =8{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{3}{2}}dt\\ \frac{I}{8}& =[t(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{3}{2}}{]}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1-3{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1{t}^2(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}dt\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2}}-3{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1(t^2-\frac{1}{2})(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}dt-\frac{3}{2}{\int }_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}dt\\ \frac{I}{2}& =\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{3}{4}[t(t^2-\frac{1}{2}{)}^{\frac{1}{2}}-\frac{1}{2}\log (t+\sqrt{t^2-\frac{1}{2}}){]}_{\frac{1}{\sqrt{2}}}^1\\ & =\frac{1}{2\sqrt{2}}-\frac{3}{4}(\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{2}\log (1+\frac{1}{\sqrt{2}})+\frac{1}{2}\log (\frac{1}{\sqrt{2}}))\\ & =-\frac{1}{4\sqrt{2}}+\frac{3}{8}\log (1+\sqrt{2})\\ I& =\frac{3}{4}\log (1+\sqrt{2})-\frac{\sqrt{2}}{4}\end{array}$$
${\displaystyle t=\frac{1}{\sqrt{2}}\cosh x}$で置換積分してもうまいこと計算できました。

発展

計算1では$\sqrt{x^2+a^2}$の積分の際によく使う、部分積分で次数を下げるテクニックをつかいました。ということで次の積分も考えてみる。

計算2

$$\begin{array}{rl}{I}_n& =\int (t^2-a^2{)}^{n+\frac{1}{2}}dt\\ & =\int (a^2{\cosh }^{2}x-a^2{)}^{n+\frac{1}{2}}a\sinh xdx\\ & =a^{2n+2}\int (\sinh x{)}^{2n+2}dx\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int (e^x-e^{-x}{)}^{2n+2}dx\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int \sum _{k=0}^{2n+2}{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k(e^{kx})(e^{(k-2n-2)x})dx\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\int \sum _{k=0}^{2n+2}{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k{e}^{(2k-2n-2)x}dx\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}({}_{2n+2}{\mathrm{C}}_{n+1}x+\sum _{k=0(\ne n+1)}^{2n+2}\frac{{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k}{2k-2n-2}{e}^{(2k-2n-2)x})\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}({}_{2n+2}{\mathrm{C}}_{n+1}{\cosh }^{-1}\frac{t}{a}+\sum _{k=1}^{n+1}{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k(\frac{e^{2kx}}{2k}+\frac{e^{-2kx}}{2k})(-1{)}^k\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_{n+1}{\cosh }^{-1}\frac{t}{a}+\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\sum _{k=1}^{n+1}\frac{(-1{)}^k{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k}{2k}((\frac{2}{a^2}(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}){)}^k+(\frac{2}{a^2}(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}){)}^k)\\ & =\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_{n+1}{\cosh }^{-1}\frac{t}{a}+\frac{a^{2n+2}}{2^{2n+2}}\sum _{k=1}^{n+1}(\frac{2}{a^2}{)}^k\frac{(-1{)}^k{}_{2n+2}{\mathrm{C}}_k}{2k}((t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}{)}^k+(t^2-\frac{a^2}{2}+t\sqrt{t^2-a^2}{)}^k)\end{array}$$
とりあえず私が計算したところまでここに記しました。もうすこし計算できる、計算ミスや入力ミスでおかしいところがある、この変形何してるかしっかり述べてくださいとかあれば、教えてくださると助かります。