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ゲルシュゴリンの定理，あるいは線形代数祭の講評

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はじめに

この記事は，友人が企画した「線形代数祭」というイベントに寄せた問題の解説である．

問題

$A = (a_{i j})$ を $n$ 次複素正方行列とする． $0 \leq t \leq 1$ とし， $F (t) = (f_{i j} (t))$ を
$f_{i j} (t) = {\begin{cases} a_{i j} & (i = j), \\ t a_{i j} & (i \neq j) \end{cases}$
と定める．

複素数 $λ$ が $F (t)$ の固有値であるとき，ある $i \in {1, 2, \dots, n}$ が存在して
$| λ - a_{i i} | \leq t \sum_{j \neq i} | a_{i j} |$
を満たすことを示せ．
複素数平面上の閉円板 $D_{i} (t)$ を
$D_{i} (t) = {z \in C | | z - a_{i i} | \leq t \sum_{j \neq i} | a_{i j} |}$
で定める． $D_{1} (1), D_{2} (1), \dots, D_{n} (1)$ がどの2つも共通部分を持たないとき， $A$ は対角化可能であることを示せ．

なお，次の事実は証明せずに使ってよい．多項式関数 $w = f (z)$ が，複素数平面の円周 $C$ 上に零点を持たないとき， $C$ の内側にある $f (z)$ の零点の個数 $N$ は重複度を込めて
$N = \frac{1}{2 π i} \oint_{C} \frac{1}{w} \frac{d w}{d z} d z$
である．ただし，積分路の向きは反時計回りにとる．

解答 (1)

$x = (\begin{matrix} x_{1} & x_{2} & \dots & x_{n} \end{matrix})^{T}$ を $F (t)$ の固有値 $λ$ に属する固有ベクトルとすると， $λ x = F (t) x$ より，すべての $i \in {1, 2, \dots, n}$ について
$λ x_{i} = \sum_{j = 1}^{n} f_{i j} (t) x_{j} = a_{i i} x_{i} + \sum_{j \neq i} t a_{i j} x_{j}$
である．よって， $i$ の値を $| x_{i} | = max {| x_{1} |, | x_{2} |, \dots, | x_{n} |}$ となるように選ぶと
$| (λ - a_{i i}) x_{i} | \leq t \sum_{j \neq i} | a_{i j} x_{j} | \leq t | x_{i} | \sum_{j \neq i} | a_{i j} |$
となる． $x \neq 0$ より $x_{i} \neq 0$ だから，不等式を $| x_{i} |$ で割れば示す式が得られる．

解答 (2)

各 $D_{i} (1)$ の半径を $r_{i}$ とおく．仮定から， $i \neq j$ のとき $r_{i} + r_{j} < | a_{i i} - a_{j j} |$ なので
$min_{1 \leq i < j \leq n} (\frac{| a_{i i} - a_{j j} | - r_{i} - r_{j}}{4})$
は正数である．この値を $δ$ とおくと， $i < j$ のとき
$\begin{aligned} (r_{i} + δ) + (r_{j} + δ) & \leq r_{i} + r_{j} + \frac{| a_{i i} - a_{j j} | - r_{i} - r_{j}}{2} \\ = \frac{| a_{i i} - a_{j j} | + r_{i} + r_{j}}{2} \\ < | a_{i i} - a_{j j} | \end{aligned}$
だから，円板 $E_{i} = {z \in C ∣ | z - a_{i i} | \leq r_{i} + δ}$ はどの2つも共通部分を持たない．

境界 $\partial E_{i}$ はどの円板 $D_{1} (1), D_{2} (1), \dots, D_{n} (1)$ とも交わらないので，小問1より $\partial E_{i}$ に $F (t)$ の固有値は属さない．すなわち， $F (t)$ の固有多項式
$p (t; z) = \det (z I - F (t))$
は $\partial E_{i}$ 上に零点を持たない．よって， $E_{i}$ に属する $p (t; z)$ の零点の個数 $N$ は
$N = \frac{1}{2 π i} \oint_{\partial E_{i}} (\frac{1}{p (t; z)} \frac{d}{d z} p (t; z)) d z$
である．右辺は $t$ の連続関数であり， $N$ は整数なので， $N$ の値は $t$ によらず一定である．よって
$N = \frac{1}{2 π i} \oint_{\partial E_{i}} (\frac{1}{p (0; z)} \frac{d}{d z} p (0; z)) d z$
だが， $p (0; z) = \det (z I - F (0))$ の零点で $E_{i}$ に属するものは $a_{i i}$ だけだから， $N = 1$ である．