Rogers-Selberg恒等式2
前の記事 でRogers-Selberg恒等式
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\frac{(q^3,q^4,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\
\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\frac{(q^2,q^5,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\
\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n+1}}&=\frac{(q,q^6,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}
\end{align}
を示した. 1つ目の等式の証明の過程において,
\begin{align}
\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\left(\frac{q^{3k^2-\frac k2}}{(q;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}-\frac{q^{3k^2+\frac 72k+1}}{(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k-1}}\right)&=\frac{1}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
を用いたが, これは$3k^2+\frac 72k+1=3\left(k+\frac 12\right)^2+\frac 12\left(k+\frac 12\right)$であることに着目すると,
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
と簡潔にまとめることができる. 2つ目の等式の証明の過程において用いた式
\begin{align}
\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\left(\frac{q^{3k^2+\frac 32k}}{(q;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}-\frac{q^{3k^2+\frac 32k}}{(q;q)_{n+2k+1}(q;q)_{n-2k-1}}\right)&=\frac{q^n}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
は$3k^2+\frac 32k=3\left(k+\frac 12\right)^2-\frac 32\left(k+\frac 12\right)$であることを用いると,
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 34k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{q^n}{(-q^{\frac 12};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
と表される. 3つ目の等式の証明の過程において用いた式,
\begin{align}
\sum_{k=-\lfloor \frac n2\rfloor}^{\lfloor \frac n2\rfloor}\frac{(1-q^{2k+\frac 12})q^{3k^2+\frac k2}}{(1-q^{\frac 12})(q^2;q)_{n+2k}(q;q)_{n-2k}}&=\frac{1}{(-q^{\frac 32};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
は$3k^2+\frac 52k+\frac 12=3\left(k+\frac 12\right)^2-\frac 12\left(k+\frac 12\right)$であることを用いると,
\begin{align}
\sum_{k=-n-1}^n\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q^2;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1-q^{\frac 12}}{(-q^{\frac 32};q)_n(q^2;q^2)_n}
\end{align}
を得る. 右辺を少し書き換えてこれらをまとめると,
\begin{align} \sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}\\ \sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 34k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{q^n}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}\\ \sum_{k=-n-1}^n\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q^2;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1-q}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n+1}} \end{align}
これらはどれも 両側Bailey対 になっている. 両側Bailey対に対しても通常のBailey対の場合と全く同様に以下が成り立つことが示せる.
$(\alpha_n,\beta_n)$が$a$に関する両側Bailey対のとき,
\begin{align}
\sum_{n\in\ZZ}a^nq^{n^2}\alpha_n&=(aq;q)_{\infty}\sum_{n\in\ZZ}a^nq^{n^2}\beta_n
\end{align}
これを用いれば, Rogers-Selberg恒等式を少しシンプルに示すことできる.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\frac{(q^3,q^4,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\frac{(q^2,q^5,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n+1}}&=\frac{(q,q^6,q^7;q^7)_{\infty}}{(q^2;q^2)_{\infty}} \end{align}
定理1の1つ目の等式
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}
\end{align}
の両側Bailey対に命題2を適用して, $q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
(q^2;q^2)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 72n^2+\frac n2}\\
&=(q^3,q^4,q^7;q^7)_{\infty}
\end{align}
定理1の2つ目の等式
\begin{align}
\sum_{k=-n}^{n}\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 34k}}{(q;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{q^n}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n}}
\end{align}
の両側Bailey対に命題2を適用して$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
(q^2;q^2)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\sum_{0\leq n}(-1)^nq^{\frac 72n^2+\frac 32n}\\
&=(q^2,q^5,q^7;q^7)_{\infty}
\end{align}
定理1の3つ目の等式
\begin{align}
\sum_{k=-n-1}^n\frac{(-1)^kq^{\frac 34k^2+\frac 14k}}{(q^2;q)_{n+k}(q;q)_{n-k}}&=\frac{1-q}{(q;q)_n(-q^{\frac 12};q^{\frac 12})_{2n+1}}
\end{align}
の両側Bailey対に命題3を適用して$q\mapsto q^2$とすると,
\begin{align}
(q^2;q^2)_{\infty}\sum_{0\leq n}\frac{q^{2n^2+2n}}{(q^2;q^2)_n(-q;q)_{2n}}&=\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{\frac 72n^2+\frac 52n}\\
&=(q,q^6,q^7;q^7)_{\infty}
\end{align}
となって定理が示される.
Baileyの${}_6\psi_6$和公式から出てくるBailey対に関しては, これらの例のように両側Bailey対としてより簡潔に表されることが結構あるのではないかと思う.
