Rogers-Selberg恒等式2

前の記事でRogers-Selberg恒等式

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n}} & = \frac{(q^{3}, q^{4}, q^{7}; q^{7})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2} + 2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n}} & = \frac{(q^{2}, q^{5}, q^{7}; q^{7})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2} + 2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{(q, q^{6}, q^{7}; q^{7})_{\infty}}{(q^{2}; q^{2})_{\infty}} \end{aligned}$
を示した. 1つ目の等式の証明の過程において,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} - \frac{k}{2}}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + \frac{7}{2} k + 1}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{1}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を用いたが, これは $3 k^{2} + \frac{7}{2} k + 1 = 3 {(k + \frac{1}{2})}^{2} + \frac{1}{2} (k + \frac{1}{2})$ であることに着目すると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と簡潔にまとめることができる. 2つ目の等式の証明の過程において用いた式
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} (\frac{q^{3 k^{2} + \frac{3}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} - \frac{q^{3 k^{2} + \frac{3}{2} k}}{(q; q)_{n + 2 k + 1} (q; q)_{n - 2 k - 1}}) & = \frac{q^{n}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
は $3 k^{2} + \frac{3}{2} k = 3 {(k + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{3}{2} (k + \frac{1}{2})$ であることを用いると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{3}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{q^{n}}{(- q^{\frac{1}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
と表される. 3つ目の等式の証明の過程において用いた式,
$\begin{aligned} \sum_{k = - ⌊ \frac{n}{2} ⌋}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \frac{(1 - q^{2 k + \frac{1}{2}}) q^{3 k^{2} + \frac{k}{2}}}{(1 - q^{\frac{1}{2}}) (q^{2}; q)_{n + 2 k} (q; q)_{n - 2 k}} & = \frac{1}{(- q^{\frac{3}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
は $3 k^{2} + \frac{5}{2} k + \frac{1}{2} = 3 {(k + \frac{1}{2})}^{2} - \frac{1}{2} (k + \frac{1}{2})$ であることを用いると,
$\begin{aligned} \sum_{k = - n - 1}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q^{2}; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1 - q^{\frac{1}{2}}}{(- q^{\frac{3}{2}}; q)_{n} (q^{2}; q^{2})_{n}} \end{aligned}$
を得る. 右辺を少し書き換えてこれらをまとめると,

$\begin{aligned} \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} \\ \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{3}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{q^{n}}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} \\ \sum_{k = - n - 1}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q^{2}; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1 - q}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n + 1}} \end{aligned}$

これらはどれも両側Bailey対になっている. 両側Bailey対に対しても通常のBailey対の場合と全く同様に以下が成り立つことが示せる.

$(α_{n}, β_{n})$ が $a$ に関する両側Bailey対のとき,
$\begin{aligned} \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} α_{n} & = (a q; q)_{\infty} \sum_{n \in Z} a^{n} q^{n^{2}} β_{n} \end{aligned}$

これを用いれば, Rogers-Selberg恒等式を少しシンプルに示すことできる.

Rogers-Selberg恒等式

定理1の1つ目の等式
$\begin{aligned} \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} \end{aligned}$
の両側Bailey対に命題2を適用して, $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2}}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{7}{2} n^{2} + \frac{n}{2}} \\ = (q^{3}, q^{4}, q^{7}; q^{7})_{\infty} \end{aligned}$
定理1の2つ目の等式
$\begin{aligned} \sum_{k = - n}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{3}{4} k}}{(q; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{q^{n}}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n}} \end{aligned}$
の両側Bailey対に命題2を適用して $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2} + 2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n}} & = \sum_{0 \leq n} (- 1)^{n} q^{\frac{7}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n} \\ = (q^{2}, q^{5}, q^{7}; q^{7})_{\infty} \end{aligned}$
定理1の3つ目の等式
$\begin{aligned} \sum_{k = - n - 1}^{n} \frac{(- 1)^{k} q^{\frac{3}{4} k^{2} + \frac{1}{4} k}}{(q^{2}; q)_{n + k} (q; q)_{n - k}} & = \frac{1 - q}{(q; q)_{n} (- q^{\frac{1}{2}}; q^{\frac{1}{2}})_{2 n + 1}} \end{aligned}$
の両側Bailey対に命題3を適用して $q \mapsto q^{2}$ とすると,
$\begin{aligned} (q^{2}; q^{2})_{\infty} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{2 n^{2} + 2 n}}{(q^{2}; q^{2})_{n} (- q; q)_{2 n}} & = \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{\frac{7}{2} n^{2} + \frac{5}{2} n} \\ = (q, q^{6}, q^{7}; q^{7})_{\infty} \end{aligned}$
となって定理が示される.