Milneによるq二項定理の多重化
前の記事 で, Rogersの${}_6\phi_5$和公式のterminatingな場合から${}_2\phi_1$の$q$-Wronskianを導いた. その議論から, 逆に${}_2\phi_1$の$q$-Wronskianの係数を比較することで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式のterminatingな場合を導くことができることが分かる. それでは, 一般$q$超幾何関数の$q$-Wronskian の係数を比較すると何が得られるかは当然気になるところである. 前の記事 で示した定理1の$b_{r+1}=q$という条件を外してより対称的な形で表すと以下のようになる.
\begin{align}
f_j(x)&:=x^{1-\beta_j}\Q{r+1}{r}{a_1q/b_j,\dots,a_{r+1}q/b_j}{b_1q/b_j,\dots,b_{j-1}q/b_j,b_{j+1}q/b_j,\dots,b_{r+1}q/b_j}{x}\\
&\qquad (j=1,\dots,r+1\quad q^{\beta_j}=b_j)
\end{align}
に対し,
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_{r+1};x)&=\left|\begin{matrix}f_1(x)&\cdots&f_{r+1}(x)\\f_1(xq)&\cdots&f_{r+1}(xq)\\\vdots& \ddots&\vdots\\f_1(xq^r)&\cdots &f_{r+1}(xq^r)\end{matrix}\right|\\
&=(-1)^{\binom{r+1}2}\frac{(a_1\cdots a_{r+1}xq^{r+1}/b_1\cdots b_{r+1};q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}x^{r+1-\beta_1-\cdots-\beta_{r+1}}\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}\right)
\end{align}
が成り立つ. ここで,
\begin{align}
\Delta(x_1,\dots,x_n):=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_i-x_j)
\end{align}
は差積である.
定理1における$f_j$は
\begin{align}
f_j(x)=x^{1-\beta_j}\sum_{0\leq k}x^k\prod_{i=1}^{r+1}\frac{(a_iq/b_j;q)_k}{(b_iq/b_j;q)_k}
\end{align}
と書くことができる. これを用いると, 行列式の線形性とVandermondeの行列式から,
\begin{align}
W_q(f_1,\dots,f_{r+1};x)&=x^{r+1-\beta_1-\cdots-\beta_{r+1}}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r+1}}x^{k_1+\cdots+k_{r+1}}\left|\begin{matrix}1&\cdots&1\\\frac q{b_1}q^{k_1}&\cdots&\frac{q}{b_{r+1}}q^{k_{r+1}}\\\vdots& \ddots&\vdots\\\left(\frac q{b_1}q^{k_1}\right)^r&\cdots &\left(\frac q{b_{r+1}}q^{k_{r+1}}\right)^r\end{matrix}\right|\prod_{j=1}^{r+1}\prod_{i=1}^{r+1}\frac{(a_iq/b_j;q)_{k_j}}{(b_iq/b_j;q)_{k_j}}\\
&=(-1)^{\binom{r+1}2}x^{r+1-\beta_1-\cdots-\beta_{r+1}}\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r+1}}x^{k_1+\cdots+k_{r+1}}\Delta\left(\frac q{b_1}q^{k_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}q^{k_{r+1}}\right)\prod_{j=1}^{r+1}\prod_{i=1}^{r+1}\frac{(a_iq/b_j;q)_{k_j}}{(b_iq/b_j;q)_{k_j}}
\end{align}
となる. 定理1の表示と比較すると,
\begin{align}
\sum_{0\leq k_1,\dots,k_{r+1}}x^{k_1+\cdots+k_{r+1}}\frac{\Delta\left(\frac q{b_1}q^{k_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}q^{k_{r+1}}\right)}{\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}\right)}\prod_{j=1}^{r+1}\prod_{i=1}^{r+1}\frac{(a_iq/b_j;q)_{k_j}}{(b_iq/b_j;q)_{k_j}}=\frac{(a_1\cdots a_{r+1}xq^{r+1}/b_1\cdots b_{r+1};q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る. ここで, $n=r+1$として,
\begin{align}
\frac{\Delta\left(\frac q{b_1}q^{k_1},\dots,\frac q{b_n}q^{k_n}\right)}{\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_n}\right)}&=\frac{\Delta\left(\frac 1{b_1}q^{k_1},\dots,\frac 1{b_n}q^{k_n}\right)}{\Delta\left(\frac 1{b_1},\dots,\frac 1{b_n}\right)}
\end{align}
となる. $b_i\mapsto 1/b_i$とした後, $a_i\mapsto a_i/b_iq$とすると
\begin{align}
\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}x^{k_1+\cdots+k_n}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},\dots,b_nq^{k_n}\right)}{\Delta\left(b_1,\dots,b_n\right)}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(a_ib_j/b_i;q)_{k_j}}{(b_jq/b_i;q)_{k_j}}=\frac{(a_1\cdots a_{r+1}x;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}
\end{align}
を得る.
\begin{align}
\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}x^{k_1+\cdots+k_n}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},\dots,b_nq^{k_n}\right)}{\Delta\left(b_1,\dots,b_n\right)}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(a_ib_j/b_i;q)_{k_j}}{(b_jq/b_i;q)_{k_j}}=\frac{(a_1\cdots a_nx;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}
\end{align}
が成り立つ. 両辺の$x^N$を比較すると,
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_n\\k_1+\cdots+k_n=N}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},\dots,b_nq^{k_n}\right)}{\Delta\left(b_1,\dots,b_n\right)}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(a_ib_j/b_i;q)_{k_j}}{(b_jq/b_i;q)_{k_j}}=\frac{(a_1\cdots a_n;q)_N}{(q;q)_N}
\end{align}
となる.
これはMilneによって1985年に示された等式である. $n=1$の場合は$q$二項定理になっており, $q$二項定理の多重化と見なされる. 定理2の係数比較した形において$n=2$としたものはRogersの和公式のterminatingな場合と同値である. $n=3$の場合は
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq k_1,k_2,k_3\\k_1+k_2+k_3=N}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},b_2q^{k_2},b_3q^{k_3}\right)}{\Delta\left(b_1,b_2,b_3\right)}\frac{(a_1,a_2b_1/b_2,a_3b_1/b_3;q)_{k_1}}{(q,b_1q/b_2,b_1q/b_3;q)_{k_1}}\frac{(a_1b_2/b_1,b_2,a_3b_2/b_3;q)_{k_2}}{(q,b_2q/b_1,b_2q/b_3;q)_{k_2}}\frac{(a_1b_3/b_1,a_2b_3/b_2,a_3;q)_{k_3}}{(q,b_3q/b_1,b_3q/b_2;q)_{k_3}}=\frac{(a_1a_2a_3;q)_N}{(q;q)_N}
\end{align}
となる. 左辺は
\begin{align}
&\sum_{\substack{0\leq k_1,k_2,k_3\\k_1+k_2+k_3=N}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},b_2q^{k_2},b_3q^{k_3}\right)}{\Delta\left(b_1,b_2,b_3\right)}\frac{(a_1,a_2b_1/b_2,a_3b_1/b_3;q)_{k_1}}{(q,b_1q/b_2,b_1q/b_3;q)_{k_1}}\frac{(a_1b_2/b_1,a_2,a_3b_2/b_3;q)_{k_2}}{(q,b_2q/b_1,b_2q/b_3;q)_{k_2}}\frac{(a_1b_3/b_1,a_2b_3/b_2,a_3;q)_{k_3}}{(q,b_3q/b_1,b_3q/b_2;q)_{k_3}}\\
&=\sum_{\substack{0\leq k_1,k_2}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},b_2q^{k_2},b_3q^{N-k_1-k_2}\right)}{\Delta\left(b_1,b_2,b_3\right)}\frac{(a_1,a_2b_1/b_2,a_3b_1/b_3;q)_{k_1}}{(q,b_1q/b_2,b_1q/b_3;q)_{k_1}}\frac{(a_1b_2/b_1,a_2,a_3b_2/b_3;q)_{k_2}}{(q,b_2q/b_1,b_2q/b_3;q)_{k_2}}\frac{(a_1b_3/b_1,a_2b_3/b_2,a_3;q)_{N-k_1-k_2}}{(q,b_3q/b_1,b_3q/b_2;q)_{N-k_1-k_2}}\\
&=\frac{(a_1b_3/b_1,a_2b_3/b_2,a_3;q)_{N}}{(q,b_3q/b_1,b_3q/b_2;q)_{N}}\\
&\qquad\cdot\sum_{\substack{0\leq k_1,k_2}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},b_2q^{k_2},b_3q^{N-k_1-k_2}\right)}{\Delta\left(b_1,b_2,b_3\right)}\frac{(a_1,a_2b_1/b_2,a_3b_1/b_3;q)_{k_1}}{(q,b_1q/b_2,b_1q/b_3;q)_{k_1}}\frac{(a_1b_2/b_1,a_2,a_3b_2/b_3;q)_{k_2}}{(q,b_2q/b_1,b_2q/b_3;q)_{k_2}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q^{-N},b_1q^{-N}/b_3,b_2q^{-N}/b_3;q)_{k_1+k_2}}{(b_1q^{1-N}/a_1b_3,b_2q^{1-N}/a_2b_3,q^{1-N}/a_3;q)_{k_1+k_2}}\left(\frac{q^3}{a_1a_2a_3}\right)^{k_1+k_2}
\end{align}
となる. つまり, 二重超幾何級数の和公式
\begin{align}
&\sum_{\substack{0\leq k_1,k_2}}\frac{\Delta\left(b_1q^{k_1},b_2q^{k_2},b_3q^{N-k_1-k_2}\right)}{\Delta\left(b_1,b_2,b_3\right)}\frac{(a_1,a_2b_1/b_2,a_3b_1/b_3;q)_{k_1}}{(q,b_1q/b_2,b_1q/b_3;q)_{k_1}}\frac{(a_1b_2/b_1,a_2,a_3b_2/b_3;q)_{k_2}}{(q,b_2q/b_1,b_2q/b_3;q)_{k_2}}\\
&\qquad\cdot\frac{(q^{-N},b_1q^{-N}/b_3,b_2q^{-N}/b_3;q)_{k_1+k_2}}{(b_1q^{1-N}/a_1b_3,b_2q^{1-N}/a_2b_3,q^{1-N}/a_3;q)_{k_1+k_2}}\left(\frac{q^3}{a_1a_2a_3}\right)^{k_1+k_2}\\
&=\frac{(a_1a_2a_3,b_3q/b_1,b_3q/b_2;q)_{N}}{(a_1b_3/b_1,a_2b_3/b_2,a_3;q)_{N}}
\end{align}
を得る.
古典極限
定理1の古典極限として以下を得る.
\begin{align}
\sum_{0\leq k_1,\dots,k_n}x^{k_1+\cdots+k_n}\frac{\Delta\left(b_1+k_1,\dots,b_n+k_n\right)}{\Delta\left(b_1,\dots,b_n\right)}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(a_i+b_j-b_i)_{k_j}}{(1+b_j-b_i)_{k_j}}=(1-x)^{-a_1-\cdots-a_n}
\end{align}
が成り立つ. 両辺の$x^N$を比較すると,
\begin{align}
\sum_{\substack{0\leq k_1,\dots,k_n\\k_1+\cdots+k_n=N}}\frac{\Delta\left(b_1+k_1,\dots,b_n+k_n\right)}{\Delta\left(b_1,\dots,b_n\right)}\prod_{1\leq i,j\leq n}\frac{(a_i+b_j-b_i)_{k_j}}{(1+b_j-b_i)_{k_j}}=\frac{(a_1+\cdots +a_n)_N}{N!}
\end{align}
となる.
