一般超幾何関数のWronskianのq類似

前の記事 で, 一般超幾何関数のWronskianを計算した. 今回はその$q$類似を与えたいと思う. まず, $q$超幾何関数
\begin{align} \Q{r+1}r{a_1,\dots,a_{r+1}}{b_1,\dots,b_r}x \end{align}
は$b_{r+1}:=q$として, $q$差分作用素を$\sigma f(x):=f(xq)$とするとき, $q$差分方程式
\begin{align} ((1-b_1\sigma/q)\cdots(1-b_{r+1}\sigma/q)-x(1-a_1\sigma)\cdots(1-a_{r+1}\sigma))f(x)=0 \end{align}
の解であることが$x^n$の係数が$0$になることから確認できる. 一般に$j=1,\dots,r+1$に対し,　$q^{\beta_j}=b_j$となるような$\beta_j$によって
\begin{align} f_j(x):=x^{1-\beta_j}\Q{r+1}{r}{a_1q/b_j,\dots,a_{r+1}q/b_j}{b_1q/b_j,\dots,b_{j-1}q/b_j,b_{j+1}q/b_j,\dots,b_{r+1}q/b_j}{x} \end{align}
が同じ$q$差分方程式の解になっていることが確認できる. 今回はこの解$f_1,\dots,f_{r+1}$対してWronskianの$q$類似を与える. 関数$F_1,\dots,F_n$に対してWronskianの$q$類似を
\begin{align} W_q(F_1,\dots,F_n;x):=\left|\begin{matrix}F_1(x)&\cdots&F_n(x)\\F_1(xq)&\cdots&F_n(xq)\\\vdots& \ddots&\vdots\\F_1(xq^{n-1})&\cdots &F_n(xq^{n-1})\end{matrix}\right| \end{align}
によって定義する.

\begin{align} ((1-b_1\sigma/q)\cdots(1-b_{r+1}\sigma/q)-x(1-a_1\sigma)\cdots(1-a_{r+1}\sigma))f(x)=0 \end{align}
のとき, $f(xq^{r+1}),f(x)$の項だけを明示すると,
\begin{align} &(-1)^{r+1}\frac{b_1\cdots b_r}{q^{r}}f(xq^{r+1})+f(x)\\ &\qquad+(-1)^ra_1\cdots a_{r+1}xf(xq^{r+1})-xf(x)+\cdots=0 \end{align}
となる.よって,
\begin{align} f(xq^{r+1})&=(-1)^r\frac{1-x}{\frac{b_1\cdots b_r}{q^r}-a_1\cdots a_{r+1}x}f(x)+\cdots \end{align}
と表される. ここで, $\cdots$の部分は$f(xq),\dots, f(xq^{r})$の線形和である. よって,
\begin{align} W_q(x):=W_q(f_1,\dots,f_{r+1};x) \end{align}
とするとき,
\begin{align} W_q(xq)&=(-1)^r\frac{1-x}{\frac{b_1\cdots b_r}{q^r}-a_1\cdots a_{r+1}x}\left|\begin{matrix}f_1(xq)&\cdots&f_{r+1}(xq)\\f_1(xq^2)&\cdots&f_{r+1}(xq^2)\\\vdots& \ddots&\vdots\\f_1(xq^{r})&\cdots &f_{r+1}(xq^{r})\\f_1(x)&\cdots&f_{r+1}(x)\end{matrix}\right|\\ &=\frac{q^r}{b_1\cdots b_r}\frac{1-x}{1-\frac{a_1\cdots a_{r+1}q^r}{b_1\cdots b_r}x}W_q(x) \end{align}
であるから, これを$n$回繰り返して,
\begin{align} W_q(x)&=\frac{1-\frac{a_1\cdots a_{r+1}q^r}{b_1\cdots b_r}x}{1-x}\frac{b_1\cdots b_r}{q^r}W_q(xq)\\ &=\cdots\\ &=\frac{(a_1\cdots a_{r+1}xq^r/b_1\cdots b_r;q)_n}{(x;q)_n}\left(\frac{b_1\cdots b_r}{q^r}\right)^nW_q(xq^n) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} f_j(xq^n)&=\left(\frac q{b_i}\right)^{n}x^{1-\beta_j}\Q{r+1}{r}{a_1q/b_j,\dots,a_{r+1}q/b_j}{b_1q/b_j,\dots,b_{j-1}q/b_j,b_{j+1}q/b_j,\dots,b_{r+1}q/b_j}{xq^n}\\ &\sim\left(\frac q{b_i}\right)^{n}x^{1-\beta_j}\qquad n\to\infty \end{align}
であるから, Vandermondeの行列式より,
\begin{align} W_q(xq^n)&\sim\left(\frac{q^r}{b_1\cdots b_r}\right)^nx^{r-\beta_1-\cdots-\beta_r}\left|\begin{matrix}1&\cdots&1\\\frac q{b_1}&\cdots&\frac q{b_{r+1}}\\\vdots& \ddots&\vdots\\\left(\frac q{b_1}\right)^r&\cdots&\left(\frac q{b_{r+1}}\right)^r\end{matrix}\right|\qquad n\to\infty\\ &=\left(\frac{q^r}{b_1\cdots b_r}\right)^nx^{r-\beta_1-\cdots-\beta_r}(-1)^{\binom{r+1}2}\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}\right) \end{align}
を得る. ここで,
\begin{align} \Delta(x_1,\dots,x_n):=\prod_{1\leq i< j\leq n}(x_i-x_j) \end{align}
は差積である. これより,
\begin{align} W_q(x)&\sim(-1)^{\binom{r+1}2}\frac{(a_1\cdots a_{r+1}xq^r/b_1\cdots b_r;q)_n}{(x;q)_n}x^{r-\beta_1-\cdots-\beta_r}\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}\right)\qquad n\to\infty \end{align}
であるから, $n\to\infty$として
\begin{align} W_q(x)&=(-1)^{\binom{r+1}2}\frac{(a_1\cdots a_{r+1}xq^r/b_1\cdots b_r;q)_{\infty}}{(x;q)_{\infty}}x^{r-\beta_1-\cdots-\beta_r}\Delta\left(\frac q{b_1},\dots,\frac q{b_{r+1}}\right) \end{align}
を得る. まとめると, 以下のようになる.