院解11 京大数学系 H25 数学I 1 行列の交換団の可換性

$A$の固有値の状況に応じて場合分けする.

(i)$A$が相異なる固有値${\alpha }_1$,${\alpha }_2$をもつとき.${\alpha }_1,{\alpha }_2$に対応する固有ベクトルをそれぞれ$x_1,x_2$とする.
$AX{x}_i=XA{x}_i={\alpha }_{i}X{x}_i$, ($i=1,2$)なので$X{x}_i$はそれぞれ固有値${\alpha }_i$に対応する$A$の固有ベクトルである.よって,ある$c_i\in \mathbb{C}$が存在して$X{x}_i=c_i{x}_i$, ($i=1,2$).$Y$についても同様なので$Y{x}_i=c_i^{\prime }{x}_i$とおくと
$XY{x}_i=c_i{c}_i^{\prime }{x}_i=YX{x}_i$,($i=1,2$) であり,$\{x_1,x_2\}$は${\mathbb{C}}^2$の底をなすから$XY=YX$.

(ii)$A$がただ一つの固有値$\alpha$をもち,$\alpha$に対応する固有空間の次元が$2$のとき,対角化により$A$は単位行列のスカラー倍なので仮定に反する.

(iii)$A$がただ一つの固有値$\alpha$をもち,対応する固有空間の次元が$1$のとき.共役によって可換性の条件は変わらないから$A$はジョルダン標準形であるとしてよい.そこで
$A=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}\alpha & 1\\ 0& \alpha \end{array}\right)\end{array}$とする.$X=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}x& y\\ z& t\end{array}\right)\end{array}$とおくと,$AX=XA$の両辺の各成分を比較して$X=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}x& y\\ 0& x\end{array}\right)\end{array}$をえる.$Y\in S$とすると同様に$Y=\begin{array}{r}\left(\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& y^{\prime }\\ 0& x^{\prime }\end{array}\right)\end{array}$とおける.$XY=YX$であることが計算によりわかる.