カタラン数と中心二項係数の等式一覧(結果のみ)

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$\begin{aligned} \frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{1}{n + 1} (\binom{2 n}{n}) x^{n} \\ \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{2 n}{n}) x^{n} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x}} (\frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x})^{k} & = \sum_{n = 0}^{\infty} (\binom{2 n + k}{n}) x^{n} \\ (\frac{1 - \sqrt{1 - 4 x}}{2 x})^{k} & = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{k}{n + k} (\binom{2 n + k - 1}{n}) x^{n} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 (n - k)}{n - k}) & = 4^{n} \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 (n - k) + 1}{n - k}) & = \frac{1}{2} (4^{n + 1} - (\binom{2 (n + 1)}{n + 1})) \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 k}{k}) (\binom{2 (n - k) + 2}{n - k}) & = 4^{n + 1} - (\binom{2 (n + 2)}{n + 2}) \\ \sum_{k = 0}^{n} (\binom{2 k + 1}{k}) (\binom{2 (n - k) + 1}{n - k}) & = 4^{n + 1} - (\binom{2 (n + 2)}{n + 2}) \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} ((\binom{2 k + 1}{k}) + (\binom{2 k + 2}{k})) & = \frac{1}{2} (\binom{2 (n + 2)}{n + 2}) - 1 \\ \sum_{k = 0}^{n} 2^{n - k} (\binom{2 k + 2}{k}) & = \frac{1}{2} (\binom{2 (n + 2)}{n + 2}) - 2^{n + 1} \\ \sum_{k = 0}^{n} 3^{n - k} (\binom{2 k + 3}{k}) & = \frac{1}{2} (\binom{2 (n + 3)}{n + 3}) - 3^{n + 2} \\ \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} (\binom{2 k + 4}{k}) & = \frac{1}{2} ((\binom{2 (n + 4)}{n + 4}) - a_{n + 4} + 2 a_{n + 3}) \\ \sum_{k = 0}^{n} b_{n - k} (\binom{2 k + 5}{k}) & = \frac{1}{2} ((\binom{2 (n + 5)}{n + 5}) - b_{n + 5} + 3 b_{n + 4} - b_{n + 3}) \end{aligned}$
$\begin{aligned} a_{n} & := \frac{(2 + \sqrt{2})^{n + 1} - (2 - \sqrt{2})^{n + 1}}{2 \sqrt{2}} \\ b_{n} & := \frac{(\frac{5 + \sqrt{5}}{2})^{n + 1} - (\frac{5 - \sqrt{5}}{2})^{n + 1}}{\sqrt{5}} \end{aligned}$

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} \frac{3}{k + 3} (\binom{2 k + 2}{k}) & = \frac{1}{n + 3} (\binom{2 (n + 2)}{n + 2}) - 1 \\ \sum_{k = 0}^{n} 2^{n - k} \frac{4}{k + 4} (\binom{2 k + 3}{k}) & = \frac{1}{n + 4} (\binom{2 (n + 3)}{n + 3}) - 2^{n + 2} \\ \sum_{k = 0}^{n} a_{n - k} \frac{5}{k + 5} (\binom{2 k + 4}{k}) & = \frac{1}{n + 5} (\binom{2 (n + 4)}{n + 4}) + \frac{a_{n + 5} - 5 a_{n + 4} + 5 a_{n + 3}}{2} \\ \sum_{k = 0}^{n} \frac{3^{n - k + 1} - 1}{2} \frac{6}{k + 6} (\binom{2 k + 5}{k}) & = \frac{1}{n + 6} (\binom{2 (n + 5)}{n + 5}) - \frac{3^{n + 4} + 1}{2} \end{aligned}$
$\begin{array}{r} a_{n} := \frac{(\frac{3 + \sqrt{5}}{2})^{n + 1} - (\frac{3 - \sqrt{5}}{2})^{n + 1}}{\sqrt{5}} \end{array}$

$\begin{aligned} \sum_{k = 0}^{n} k 2^{k} \frac{1}{n} (\binom{2 n - 1 - k}{n - 1}) & = (\binom{2 n}{n}) \\ \sum_{k = 0}^{n} k (k + 1) 2^{k} \frac{1}{n} (\binom{2 n - 1 - k}{n - 1}) & = 4^{n} \\ \sum_{k = 0}^{n} 2^{k} (\binom{2 n - k}{n}) & = 4^{n} \end{aligned}$

おまけ

$\begin{aligned} [x^{n} y^{m}] \frac{1}{\sqrt{1 - 4 x} \sqrt{1 - 4 y} (\sqrt{1 - 4 x} + \sqrt{1 - 4 y})} = \frac{1}{4} (\binom{2 (n + m + 1)}{n + m + 1}) \\ \sum_{k = 0}^{⌊ \frac{n}{2} ⌋} \frac{1}{(k!)^{2}} \frac{2^{n - 2 k}}{(n - 2 k)!} = \frac{(\binom{2 n}{n})}{n!} \\ \sum_{k = 0}^{n} \frac{(\binom{2 k}{k})}{k!} \cdot \frac{(- 1)^{n - k} (\binom{2 (n - k)}{n - k})}{(n - k)!} = {\begin{cases} 0 & (n \equiv 1 (\mod 2)) \\ \frac{{(\binom{n}{n / 2})}^{2}}{n!} & (n \equiv 0 (\mod 2)) \end{cases} \end{aligned}$

投稿日：5月17日

更新日：20日前

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