「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、その他のさまざまな例の練習問題その1

「数学オリンピックチャンピオンの美しい解き方」に出てくる、その他のさまざまな例の練習問題その1

問題

解答

初めに

「聴かなくてもよいので自分に関係ない演奏会があるとして、そのような演奏会をカウントするのか？」
この問いは、考えていくと
自分が演奏するか、必ず避けられない、演奏を聴く演奏会か、のどちらかであることが分かる。

どうやって解くか？

テレンス・タオさんの仰る通りで、一般解を求め、解が正しいことを証明しようとするより、全ての場合を尽くす方が無難だ。

解法

総当たり。変換の成り行きで漢数字を使っている。

一人が演奏すると

6回。

二人なら

ab cd ef
cd cd
ab ab
ef ef
これで

$a⟷b$
$b⟷a$

のような感じで1つの記号に1つの不足がある状態になる。
bdfが演奏し、
aceが演奏すれば条件を満たす。

三人なら

abc def
def abc
bc ef
これで
$b⟷cda$
$c⟷bda$
$a⟷d$
$d⟷a$
$e⟷fda$
$f⟷eda$
となり、
cafが演奏し、bdeが演奏すれば条件を満たす。

四人なら

a b c d e f
cdef
abef
abcd
これで
$a⟷b$
$b⟷a$
$c⟷d$
$d⟷c$
$e⟷f$
$f⟷e$
となり、
bdfが演奏し、aceが演奏すれば条件を満たす。

五人なら

6回。
聴き手がいなくなってしまうので、六人は不可能である。

答え

5回。
演奏家の人数である6を変数にするとは誰も言っていないし、本当にこの答えが正しいのか、と問われたら、全て調べ尽くしたので正しいです、と答えることができる。
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