大学数学基礎解説

積分を解きます。

積分

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積分を解きます

どうも、らららです。
積分を解きます。

解く積分

$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos x d x$

今回の積分は収束するのですが、グラフを見ると収束するかどうか怪しいです。
ですが今回は収束の確認はせず収束するものとして計算していきます。

$\begin{aligned} I & = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos x d x \\ = \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x d x \\ = \int_{\frac{π}{2}}^{π} \log \sin x d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log \sin x d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log 2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2} d x \\ = \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log 2 d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log \sin \frac{x}{2} d x + \frac{1}{2} \int_{0}^{π} \log \cos \frac{x}{2} d x \\ = \frac{1}{2} π \log 2 + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x d x + \int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos x d x \\ = \frac{1}{2} π \log 2 + 2 I \end{aligned}$
$I = \frac{1}{2} π \log 2 + 2 I$
$I = - \frac{1}{2} π \log 2$

これにより、

$\int_{0}^{π} \log \sin x d x = - π \log 2$
$\int_{0}^{π} \log \cos x d x = - π \log 2$
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \sin x d x = - \frac{1}{2} π \log 2$
$\int_{0}^{\frac{π}{2}} \log \cos x d x = - \frac{1}{2} π \log 2$