マクローリン展開の繰り返し部分だけ見て遊ぶ

$\sin x,\cos x,e^xの三つって、x^nで展開する時に付いてくるf^{(n)}(0)が単純ですよね。$
$例えば\sin xは、f^{(4k+1)}(0)=1,f^{(4k+3)}(0)=-1,それ以外は0。$
$\cos xならf^{(4k)}(0)=1,f^{(4k+2)}(0)=-1,それ以外は0。$
$e^xなら常に1。$

どれも、$f^{(n)}(0)$が周期4以内に収まっています。
そして関数は、$f^{(n)}(0)$だけで決まります。
ならば、こう書いてしまいましょう。
$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
$\cos x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\end{array}\right]$
$e^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$

関数を$\left[\begin{array}{cccc}{f}^{(0)}(0)& f^{(1)}(0)& f^{(2)}(0)& f^{(3)}(0)\end{array}\right]$で表したものです。
今回はこの、シンプルな表記で遊んでみたいと思います。

性質

遊ぶ前にまず、この表記の使い方を紹介しておきます。

定数倍

関数を定数倍したら、すべての$f^{(n)}(0)$が定数倍されます。
なので、カッコ内を定数倍するだけです。
$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
$-2\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& -2& 0& 2\end{array}\right]$

足し引き

関数同士で足し算引き算したら、$f^{(n)}(0)$の足し算引き算になります。
なので、カッコ内同士を足し引きするだけです。
$\cos x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\end{array}\right]$
$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
$\cos x+\sin x=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\end{array}\right]$
定数倍と合わせて、この表記が線形性を保つとも言えますね。

$x$の定数倍

$xをmxにしたら、m^nがもとのf^{(n)}(0)にかかります。$
$カッコは周期４なので、係数にm^{4n}、中身にm^0,m^1,m^2,m^3をかければよいです。$
$e^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$
$e^{2x}={16}^n\left[\begin{array}{cccc}1& 2& 4& 8\end{array}\right]$
$m^nが周期４で１となれば、係数は要らないですね$
$e^{-x}=\left[\begin{array}{cccc}1& -1& 1& -1\end{array}\right]$

微分

$微分したらf^{(n)}(0)部分にf^{(n+1)}(0)が来ます。$
$カッコ内を左にずらすだけですね。$
$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
$(\sin x{)}^{\prime }=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\end{array}\right]$
$xがmxになっている場合は、f^{(m+4)}(0)\ne f^{(m)}(0)なので少し注意が必要です。$
$\cos 2x={16}^n\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -4& 0\end{array}\right]$
$(\cos 2x{)}^{\prime }={16}^n\left[\begin{array}{cccc}0& -4& 0& 16\end{array}\right]$

積分

同様に、カッコ内を右にずらすだけです。
$\cos x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\end{array}\right]$
$\int \cos xdx=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
$xがmxになってる場合に注意が必要なのも同じです。$
$\sin 2x={16}^n\left[\begin{array}{cccc}0& 2& 0& -8\end{array}\right]$
$\int \sin 2xdx={16}^n\left[\begin{array}{cccc}-{\displaystyle \frac{1}{2}}& 0& 2& 0\end{array}\right]$

使用例

それでは、実際に遊んでみましょう。

オイラーの公式の直観的証明

まず、$e^{ix}$は以下のようになります。
$e^{ix}=\left[\begin{array}{cccc}1& i& -1& -i\end{array}\right]$
これを、
$\cos x=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 0\end{array}\right]$
$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]$
で表そうとしたら、そりゃ$\cos x+i\sin x$でしょう。

逆オイラーの公式？

今度は逆に、
$e^x=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& 1& 1\end{array}\right]$
を$\sin x,\cos x$で表してみましょう。
$e^{ix}のカッコ内を参考にすると、\cos ix,\sin ixは以下のようになります。$
$\cos ix=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\end{array}\right]$
$\sin ix=\left[\begin{array}{cccc}0& i& 0& i\end{array}\right]$
すなわち、$e^x=\cos ix+{\displaystyle \frac{\sin ix}{i}}という訳です。$
また、カッコ内から明らかに、
$\cos ixは実数であり、\sin ixは純虚数である$
ということも分かります。

双曲線関数

$\cosh x={\displaystyle \frac{e^x+e^{-x}}{2}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& 1& 0\end{array}\right]$
$\sinh x={\displaystyle \frac{e^x-e^{-x}}{2}}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 1\end{array}\right]$
これを$\sin x,\cos x$で...って、既に上で示されてますね。
$\cosh x=\cos ix、i\sinh x=\sin ix。実数性、純虚数性も改めて示されております。$
じゃあ、双曲線関数のオイラーの公式みたいな形で、$\cosh x+i\sinh x$はなんでしょう。
$\cosh x+i\sinh x=\left[\begin{array}{cccc}1& i& 1& i\end{array}\right]$
周期２で$1とi$を捻出する関数。
...ダメでした。
$f(x)=\left[\begin{array}{cccc}1& -i& 1& -i\end{array}\right]$
さえあれば、その共役
$\overline{f(x)}=\left[\begin{array}{cccc}1& i& 1& i\end{array}\right]$
を使って書けるんですが、綺麗な形で$f$になるものを見つけられませんでした。

$\int \frac{\sin x+\cos x}{2}{e}^{x}dx$を直接積分

この手の問題って、部分積分で解くって習うと思います。
でもこの表記に慣れたら、直接解くこともできるんです。
まず積分結果を$f(x)e^x+C$とします。
これを微分した$(f(x)+f^{\prime }(x))e^xが、{\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{2}}{e}^x$となればよい。
即ち、$f(x)+f^{\prime }(x)={\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{2}}$となるような$f$を求めればいいわけです。
$fとfを左にずらしたものの和が、{\displaystyle \frac{\sin x+\cos x}{2}}=\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& -1\end{array}\right]。f=\sin xです。$
なので$\int \frac{\sin x+\cos x}{2}{e}^{x}dx=\sin x{e}^x$と、直接積分できるわけです。

もうちょっと複雑なものもやってみましょう。

$\int \sin x{e}^{x}dx$

もととずらしたものの和が$\sin x=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\end{array}\right]になるようなfを考えます。$
まず、0がある部分に着目して、$\left[\begin{array}{cccc}-a& a& -b& b\end{array}\right]$という形になることが分かります。
また、$1部分の情報から、b=a-1。-1部分もこれで満たされる。$
$よって、\left[\begin{array}{cccc}-a& a& -a+1& a-1\end{array}\right]$であれば何でもいいわけです。
$a={\displaystyle \frac{1}{2}}の時が楽で、{\displaystyle \frac{1}{2}}\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& -1\end{array}\right]={\displaystyle \frac{\sin x-\cos x}{2}}$と、割と簡単に求まります。
...部分積分よりは大変ですね。
まあ、部分積分だけでは出にくいものも出せそうなので、試しに$a=0$でもやってみましょうか。
$\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 1& -1\end{array}\right]ですね。$
$後ろ二個に何か来ると言えば、e^{ix}-e^{-x}=\left[\begin{array}{cccc}0& 0& i-1& -i+1\end{array}\right]$。
よって${\displaystyle \frac{e^{ix}-e^{-x}}{i-1}}$...なんだか、$\sin x,\cos xをe^xでうまく変形しただけに思えたので、止めておきます。$

色んな積分

今度は、積分の中身を初等関数で表さず、最初からカッコ表記で示してみます。

$\int \left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 2\end{array}\right]e^{x}dx$

$\left[\begin{array}{cccc}2-a& a& -a& a\end{array}\right]$
$a=1で\left[\begin{array}{cccc}1& 1& -1& 1\end{array}\right]=\cos x+\sinh x$
$\therefore (\cos x+\sinh x)e^x+C$

$\int \left[\begin{array}{cccc}0& 2& 1& -1\end{array}\right]e^{x}dx$

$\left[\begin{array}{cccc}-a& a& 2-a& a-1\end{array}\right]$
$a=1で、\left[\begin{array}{cccc}-1& 1& 1& 0\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}-1& 0& 1& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& 0\end{array}\right]=-\cos x+{\displaystyle \frac{\sin x+\sinh x}{2}}$
$\therefore (-\cos x+{\displaystyle \frac{\sin x+\sinh x}{2}})e^x+C$

$\int \left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& -2\end{array}\right]e^{x}dx$

さっきとほぼ同じじゃないか！だって？
でも$同じようにしてみると...\left[\begin{array}{cccc}2-a& a& -a& a\end{array}\right]かつ2=-2$。求められない！なんだこれは積分できない関数か？
いいえ、$xの係数が周期４に収まってない$タイプです。なので、
$a^{4n}\left[\begin{array}{cccc}2-b& b& -b& b\end{array}\right]、かつb+a^4(2-b)=-2\iff b=-2{\displaystyle \frac{1+a^4}{1-a^4}}$
$a=\sqrt{i}でb=0、{\sqrt{i}}^4\left[\begin{array}{cccc}2& 0& 0& 0\end{array}\right]=\cos \sqrt{i}x+\cosh \sqrt{i}x$
$\therefore (\cos \sqrt{i}x+\cosh \sqrt{i}x)e^x+C$

$\int \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\end{array}\right]e^{2x}dx$

$今度はe^xじゃなくて、e^{mx}パターン。$
$まあこの場合も、もとの関数とそれをずらしたもののm倍がe^xにかかってる関数になればいいだけです。$
$\left[\begin{array}{cccc}-2a& a& 1-8a& 4a\end{array}\right]かつa=-\frac{1}{15}$
この場合だと、積分先の自由度がないんですね。
${\displaystyle \frac{1}{15}}\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 23& -4\end{array}\right]=...めんどいな。公式を考えよう。$

$e\left[\begin{array}{cccc}a& b& c& d\end{array}\right]$

= $e(\left[\begin{array}{cccc}a& b& -a& -b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& a+c& b+d\end{array}\right])$

= ${\displaystyle \frac{e}{2}}(\left[\begin{array}{cccc}2a& +2b& -2a& -2b\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}0& 0& 2a+2c& 2b+2d\end{array}\right])$

= ${\displaystyle \frac{e}{2}}(\left[\begin{array}{cccc}a-c& b-d& -(a-c)& -(b-d)\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cccc}a+c& b+d& a+c& b+d\end{array}\right])$

= ${\displaystyle \frac{e}{2}}((a+c)\cosh x+(a-c)\cos x+(b+d)\sinh x+(b-d)\sin x)$
という訳で、${\displaystyle \frac{1}{15}}\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 23& -4\end{array}\right]={\displaystyle \frac{1}{30}}(25\cosh x-21\cos x-5\sinh x+3\sin x)$
$\therefore \int \left[\begin{array}{cccc}0& 1& 1& 0\end{array}\right]e^{2x}dx={\displaystyle \frac{1}{30}}(25\cosh x-21\cos x-5\sinh x+3\sin x)e^{2}x$

$\int \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\end{array}\right]e^{-x}dx$

最後に、$e^{mx}かつxの係数が周期4に収まってないパターン。$
試しに$\left[\begin{array}{cccc}-1-a& 2+a& a& 5+a\end{array}\right]とすると、3=-5で破綻することから、係数を考える必要がある。$
$a^{4n}\left[\begin{array}{cccc}2-b& -1+b& 3-b& b\end{array}\right]、かつb+a^4(2-b)=4\iff b=2{\displaystyle \frac{2-a^4}{1-a^4}}$
$a=2^{\frac{1}{4}}でb=0、2^n\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 3& 0\end{array}\right]=2^n\left[\begin{array}{cccc}2& -{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}}{2}^{\frac{1}{4}}& {\displaystyle \frac{3}{2^{\frac{2}{4}}}}{2}^{\frac{2}{4}}& 0\end{array}\right]={\displaystyle \frac{1}{2}}((2+{\displaystyle \frac{3}{2^{\frac{2}{4}}}})\cosh 2^{\frac{1}{4}}x+(2-{\displaystyle \frac{3}{2^{\frac{2}{4}}}})\cos 2^{\frac{1}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}}(\sinh 2^{\frac{1}{4}}x+\sin 2^{\frac{1}{4}}x))$

$\therefore \int \left[\begin{array}{cccc}1& 2& 3& 4\end{array}\right]e^{-x}dx={\displaystyle \frac{1}{2}}((2+{\displaystyle \frac{3}{2^{\frac{2}{4}}}})\cosh 2^{\frac{1}{4}}x+(2-{\displaystyle \frac{3}{2^{\frac{2}{4}}}})\cos 2^{\frac{1}{4}}x-{\displaystyle \frac{1}{2^{\frac{1}{4}}}}(\sinh 2^{\frac{1}{4}}x+\sin 2^{\frac{1}{4}}x))e^{-x}$
文字の量が多すぎる!