可換とは限らない環上の総乗について

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「$\prod\limits_{q\in\mathbb{Q}}\begin{pmatrix} 1+a_q & b_q \\ c_q & 1+d_q \end{pmatrix}$とかって定義できるよね？？？？？」という確認と、思いつく限りの性質の証明を目的として書いた記事です。
この総乗について書かれた文献をご存じの方がいらっしゃいましたら教えていただきたいです。

総和と総乗の定義

$(A,\|\cdot \|)$は完備な絶対値を持った環とします。$A$は単位元$1$を持ち、可換とは限りません。
具体的には四元数体$\mathbb{H}$、フロベニウスノルムを入れた$\mathrm{M}_n(\mathbb{C})$、p進数体$\mathbb{Q}_p$、Banach環などを想定しています。

想定している定義

$\|x\|\in[0,\infty)$
$\|1\|=1$
$\|x\|=0\Leftrightarrow x=0$
$\|-x\|=\|x\|$
$\|x+y\|\leq\|x\|+\|y\|$
$\|xy\|\leq\|x\|\ \|y\|$
$d(x,y)=\|x-y\|$で定まる距離$d$に対して$A$は完備
(pseudo-absolute valueと呼ぶらしい？)

いくつかの記号

全順序集合$(X,\leq)$に対して、$X$の元からなる長さが有限な狭義単調増加列の全体を$\mathcal{L}_X$と書きます。($\mathcal{L}_X$は空列も含みます。)
例えば$\mathcal{L}_{\{0,1,2\}}=\{\varnothing,\ 0,\ 1,\ 2,\ 0\lt1,\ 0\lt2,\ 1\lt2,\ 0\lt1\lt2\}$です。
集合$X$が集合$Y$の有限部分集合であることを$X\Subset Y$と書きます。
添え字集合について、$S,T$は高々可算な集合、$\Lambda,\mathrm{M}$(ミュー)は高々可算な全順序集合を指すこととします。
$S$を添え字集合とする$A$の元の列については$\{x_s\}_{s\in S}\subset A$と書きます。

$A$の元の総和は以下のように定義します。

総和

$\{x_s\}_{s\in S}\subset A,\ \alpha\in A$とする。
この時$\sum\limits_{s\in S}x_s=\alpha$であることを以下で定義する。

任意の$\varepsilon\gt0$に対してある$F\Subset S$が存在して、任意の$G\Subset S$に対して「$F\subset G$ならば$\|\alpha-\sum\limits_{s\in G}x_s\|\lt\varepsilon$」となる。

$\sum\limits_{s\in S}x_s$が収束する事と、適当な番号付けで$\sum\limits_{n=1}^\infty \|x_{s_n}\|\lt\infty$となる事は同値です。
よって以降$\sum\limits_{s\in S}x_s$が収束することを$\sum\limits_{s\in S} \|x_{s}\|\lt\infty$と書きます。
これを用いて高々可算な全順序集合で添え字付けられた$A$の元の総乗を定義します。
具体的な計算の例はこちら。

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A$とする。
この時$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt\infty\Leftrightarrow\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_\Lambda}\|x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}\|\lt\infty$である。
(ただし空列に対しては$x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}=1$と定める。)

$F\Subset\Lambda$とする。
$$ \begin{align} \sum\limits_{\lambda\in F}\|x_\lambda\|&\leq\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_F}\|x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}\| \\&\leq\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_F}\|x_{\lambda_1}\|\ \|x_{\lambda_2}\|\cdots\|x_{\lambda_n}\| \\ &=\prod\limits_{\lambda\in F}(1+\|x_\lambda\|) \\ &\leq\prod\limits_{\lambda\in F}\exp(\|x_\lambda\|) \\ &=\exp(\sum\limits_{\lambda\in F}\|x_\lambda\|) \\ &\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)\end{align} $$
$F$は任意だから
$\sum\limits_{\lambda\in \Lambda}\|x_\lambda\|\leq\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_\Lambda}\|x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}\|\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)$
である。従って$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt\infty\Leftrightarrow\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_\Lambda}\|x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}\|\lt\infty$である。$\square$

高々可算な全順序集合で添え字付けられた元の総乗

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt\infty$とする。
この時$\{1+x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の総乗を$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_\Lambda}x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}$で定義する。

この定義について簡単に説明します。

$A$の積は可換とは限らないため、総乗について考える時、添え字集合には全順序が定められている必要があります。
添え字が小さいなら左の方で掛けて、添え字が大きいなら右の方で掛けることとします。
例えば添え字集合が$\{0,1,2\}$ならば
$$\begin{align} \prod\limits_{\lambda\in \{0,1,2\}}(1+x_\lambda)&=(1+x_0)(1+x_1)(1+x_2) \\&=1+x_0+x_1+x_2+x_0x_1+x_0x_2+x_1x_2+x_0x_1x_2 \\&=\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_{\{0,1,2\}}}x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}\end{align}$$
と変形できます。
ここで単純に$\{0,1,2\}$を$\Lambda$に変えれば総乗の定義$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\sum\limits_{\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n\in\mathcal{L}_\Lambda}x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}$が得られます。
$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda$が収束するので、$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$から無限個取って掛け合わせたものはどうせ$0$になります。
従って、長さが有限な狭義単調増加列に対してのみ総和を取れば十分です。
高々可算な全順序集合は必ず$\mathbb{Q}$に順序単射に埋め込めるため、添え字集合は$\mathbb{Q}$を考えるのが最大です。
例えば、$\sum\limits_{q\in\mathbb{Q}}\sqrt{|a_q|^2+|b_q|^2+|c_q|^2+|d_q|^2}\lt\infty$となるような複素数の列に対して、二次正方行列の総乗$\prod\limits_{q\in\mathbb{Q}}\begin{pmatrix} 1+a_q & b_q \\ c_q & 1+d_q \end{pmatrix}$とかが考えられます。

有限積の記号

以降$\mathcal{L}_\Lambda$の元$\lambda_1\lt \lambda_2\lt\cdots\lt \lambda_n$を$\{\lambda_i\}_{i=1}^n$と書き、$x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}$を$\prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i}$と書きます。
例えば総乗の定義は$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i}$となります。

簡単な性質

この総乗の性質を見ていきます。
まず、いくつかの簡単な性質を示していきます。

有限積の極限としての総乗

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty,\ \prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\alpha$とする。
この時、任意の$\varepsilon\gt0$に対してある$F\Subset\Lambda$が存在して、任意の$G\Subset\Lambda$に対して「$F\subset G$ならば$\|\alpha-\prod\limits_{\lambda\in G}(1+x_\lambda)\|\lt\varepsilon$」となる。

$\varepsilon\gt0$とする。
総和と総乗の定義から、ある$H_0\Subset\mathcal{L}_\Lambda$が存在して、任意の$H\Subset\mathcal{L}_\Lambda$に対して「$H_0\subset H$ならば$\|\alpha-\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in H}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i}\|\lt\varepsilon$」となる。
$F\Subset\Lambda$を$H_0\Subset\mathcal{L}_F$となるように取る。
この時$G\Subset\Lambda,\ F\subset G$とすると、$H_0\Subset\mathcal{L}_G$より$\|\alpha-\prod\limits_{\lambda\in G}(1+x_\lambda)\|=\|\alpha-\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_G}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i}\|\lt\varepsilon$となる。$\square$

$1$が単位元であること

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$とする。
この時、$\Lambda'=\{\lambda\in\Lambda\ |\ x_\lambda\neq0\}$とすると$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda'}(1+x_\lambda)$である。

ほぼ明らか。
$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i} =\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_{\Lambda'}}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i} =\prod\limits_{\lambda\in{\Lambda'}}(1+x_\lambda)\ \square$

部分列に対しても総乗が収束する事

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$とする。
$\varphi:M\to\Lambda$を適当な単射とする。
この時$\prod\limits_{\mu\in M}(1+x_{\varphi(\mu)})$も収束する。

$F\Subset M$とする。
$$ \begin{align} \sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_F}\|\prod\limits_{i=1}^nx_{\varphi(\mu_i)}\|&\leq\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_F}\prod\limits_{i=1}^n\|x_{\varphi(\mu_i)}\| \\&=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_{\varphi(F)}}\prod\limits_{i=1}^n\|x_{\lambda_i}\| \\ &=\prod\limits_{\lambda\in \varphi(F)}(1+\|x_\lambda\|) \\ &\leq\prod\limits_{\lambda\in \varphi(F)}\exp(\|x_\lambda\|) \\ &=\exp(\sum\limits_{\lambda\in \varphi(F)}\|x_\lambda\|) \\ &\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|) \end{align} $$
ここで$\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)$は$F$に依らない定数であるから$\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_F}\|\prod\limits_{i=1}^nx_{\varphi(\mu_i)}\|\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)$である。
よって$\prod\limits_{\mu\in M}(1+x_{\varphi(\mu)})$は収束する。$\square$

順序同型で値が変わらないこと

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$とする。
$\varphi:M\to\Lambda$を順序同型とする。
この時$\prod\limits_{\mu\in M}(1+x_{\varphi(\mu)})=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)$である。

ほぼ明らか。
$\prod\limits_{\mu\in M}(1+x_{\varphi(\mu)})=\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_M}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\varphi(\mu_i)}=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n x_{\lambda_i}=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)\ \square$

デカい分配法則

では分配法則をデカくしていきます。

二つの総和の積

$\{x_s\}_{s\in S}\subset A,\ \{y_t\}_{t\in T}\subset A,\ \sum\limits_{s\in S}\|x_s\|\lt \infty,\ \sum\limits_{t\in T}\|y_t\|\lt \infty$とする。
この時$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_sy_t$は収束し$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_sy_t=(\sum\limits_{s\in S}x_s)(\sum\limits_{t\in T}y_t)$が成り立つ。

【$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_sy_t$が収束する事】
$H\Subset S\times T$とする。
$F=\{s\in S\ |\ ^\exists t\in T\ s.t.\ (s,t)\in H\},\ G=\{t\in T\ |\ ^\exists s\in S\ s.t.\ (s,t)\in H\}$とすると
$$\begin{align} \sum\limits_{(s,t)\in H}\|x_sy_t\|&\leq\sum\limits_{(s,t)\in H}\|x_s\|\ \|y_t\| \\& \leq\sum\limits_{(s,t)\in F\times G}\|x_s\|\ \|y_t\| \\& =(\sum\limits_{s\in F}\|x_s\|)(\sum\limits_{t\in G}\|y_t\|) \\& \leq(\sum\limits_{s\in S}\|x_s\|)(\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|) \end{align}$$
となるが、$(\sum\limits_{s\in S}\|x_s\|)(\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|)$は$H$に依らない定数であるから$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}\|x_sy_t\|\leq(\sum\limits_{s\in S}\|x_s\|)(\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|)$が成り立つ。
従って$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_sy_t$は収束する。

【$\sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_sy_t=(\sum\limits_{s\in S}x_s)(\sum\limits_{t\in T}y_t)$が成り立つこと】
$\sum\limits_{s\in S}x_s=\alpha,\ \sum\limits_{t\in T}y_t=\beta,\ \sum\limits_{(s,t)\in S\times T}x_{s,t}=\gamma$とする。

$\varepsilon\gt0$とする。
$F_0\Subset S,\ G_0\Subset T,\ H_0\Subset S\times T$が存在して、任意の$F\Subset S,\ G\Subset T,\ H\Subset S\times T$に対して、「$F_0\subset F,\ G_0\subset G,\ H_0\subset H$ならば
$\|\alpha-\sum\limits_{s\in F}x_s\|\lt\frac{\varepsilon}{1+\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|},\ \|\beta-\sum\limits_{t\in G}y_t\|\lt\frac{\varepsilon}{1+\|\alpha\|},\ \|\gamma-\sum\limits_{(s,t)\in H}x_sy_t\|\lt\varepsilon$」となる。

この時$F\Subset S,\ G\Subset T$を$F_0\subset F,\ G_0\subset G,\ H_0\subset F\times G$となるように取ると
$$\begin{align} \|\gamma-\alpha\beta\|&\leq\|\gamma-\sum\limits_{(s,t)\in F\times G}x_sy_t\|+\|\sum\limits_{(s,t)\in F\times G}x_sy_t-\alpha\sum\limits_{t\in G}y_t\|+\|\alpha\sum\limits_{t\in G}y_t-\alpha\beta\| \\& \lt\varepsilon +\|\sum_{s\in S}x_s-\alpha\|\ (\sum_{t\in T}\|y_t\|)+\|\alpha\|\ \|\sum\limits_{t\in G}y_t-\beta\| \\& \lt\varepsilon +\frac{\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|}{1+\sum\limits_{t\in T}\|y_t\|}\varepsilon +\frac{\|\alpha\|}{1+\|\alpha\|}\varepsilon \\& \lt 3\varepsilon \end{align}$$
となるため$\gamma=\alpha\beta$である。$\square$

デカい分配法則

$\lambda\in\Lambda$に対して$\{x_{\lambda,s}\}_{s\in S_\lambda}\subset A$とし、$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\sum\limits_{s\in S_\lambda}\|x_{\lambda,s}\|\lt\infty$とする。
$\{\lambda_i\}_{i=1}^n \in\mathcal{L}_\Lambda$を定義域とし、各$i$に対して$\varphi(\lambda_i)\in S_{\lambda_i}$となるような写像$\varphi$の全体を$\mathcal{M}$とする。
この時$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+\sum\limits_{s\in S_\lambda}x_{\lambda,s})=\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\end{array}}\prod\limits_{i=1}^nx_{\lambda_i,\varphi(\lambda_i)}$が成り立つ。

上の補題と帰納法により以下の様に変形できる。
$$\begin{align} \prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+\sum\limits_{s\in S_\lambda}x_{\lambda,s})&=\sum_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n \in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \sum\limits_{s_i\in S_{\lambda_i}}x_{\lambda_i,s_i} \\& =\sum_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n \in\mathcal{L}_\Lambda}\ \sum_{(s_1,s_2,\cdots,s_n)\in \prod\limits_{i=1}^nS_{\lambda_i}}\ \prod\limits_{i=1}^nx_{\lambda_i,s_i} \\& =\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\end{array}}\prod\limits_{i=1}^nx_{\lambda_i,\varphi(\lambda_i)}\ \square \end{align}$$

例えば$\Lambda=\{a,b\},\ S=\{0,1\}$の時、$\Lambda$の部分集合から$S$への写像の全体を$\mathcal{M}$とすれば
$$\begin{align} \prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+\sum\limits_{s\in S}x_{\lambda,s})&=(1+x_{a,0}+x_{a,1})(1+x_{b,0}+x_{b,1}) \\&=1+x_{a,0}+x_{a,1}+x_{b,0}+x_{b,1}+x_{a,0}x_{b,0}+x_{a,0}x_{b,1}+x_{a,1}x_{b,0}+x_{a,1}x_{b,1} \\&=(1)+(x_{a,0}+x_{a,1})+(x_{b,0}+x_{b,1})+(x_{a,0}x_{b,0}+x_{a,0}x_{b,1}+x_{a,1}x_{b,0}+x_{a,1}x_{b,1}) \\&=\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\varnothing\end{array}}1+\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{a\}\end{array}} x_{a,\varphi(a)}+\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{b\}\end{array}} x_{b,\varphi(b)}+\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{a,b\}\end{array}} x_{a,\varphi(a)}x_{b,\varphi(b)} \\&=\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\ \mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\end{array}}\prod\limits_{i=1}^nx_{\lambda_i,\varphi(\lambda_i)} \end{align}$$
と変形できます。これをデカくしたのが上の命題です。

デカい結合法則

全順序集合で添え字付けられたの全順序集合の族から、一つの全順序集合を構成することができます。

全順序集合の直和

族$\{M_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$に対して直和$\bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda$を以下の様に定める。

集合としては$\bigcup\limits_{\lambda\in\Lambda}(\{\lambda\}\times M_\lambda)$
$(\lambda,\mu),(\lambda',\mu')\in\bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda$に対して
$(\lambda,\mu)\leq(\lambda',\mu')\Leftrightarrow\ \lambda\lt\lambda'$または$\lambda=\lambda',\ \mu\leq\mu'$

これを用いて結合法則をデカくしていきます。

任意個の総乗の総乗

$\{x_{\lambda,\mu}\}_{(\lambda,\mu)\in \bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}\subset A$とし、$\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\ \sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|\lt\infty$とする。
この時$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]$は収束する。
また$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]=\prod\limits_{(\lambda,\mu)\in \bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})$が成り立つ。

【$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]$が収束すること】
$\Lambda_0=\{\lambda\in\Lambda\ |\ \sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|\leq1\},\ \Lambda_1=\{\lambda\in\Lambda\ |\ \sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|\gt1\}$と定めておく。
$\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\ \sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|\lt\infty$より$\Lambda_1$は有限集合である。

$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]$が収束することを示すには、$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})-1\|\lt\infty$を示せばよい。

まず$\lambda\in\Lambda$を任意に取って固定し、$G\Subset M_\lambda$とする。
この時
$$\begin{align} \|\prod\limits_{\mu\in G}(1+x_{\lambda,\mu})-1\|&=\|\sum\limits_{\{\mu_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_G \backslash \{\varnothing\}}\ \prod\limits_{j=1}^m x_{\lambda,\mu_j}\| \\& \leq\sum\limits_{\{\mu_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_G \backslash \{\varnothing\}}\ \prod\limits_{j=1}^m \|x_{\lambda,\mu_j}\| \\& =\prod\limits_{\mu\in G} (1+\|x_{\lambda,\mu}\|) -1 \\& \leq\prod\limits_{\mu\in G} \exp(\|x_{\lambda,\mu}\|) -1 \\& =\exp(\sum\limits_{\mu\in G}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1 \\& \leq\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1 \end{align}$$
となる。
最後の式は$G$に依らない定数であるため$\|\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})-1\|\leq\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1$である。

次に$F\Subset\Lambda$とする。
$$\begin{align}\sum\limits_{\lambda\in F}\|\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})-1\|&\leq\sum\limits_{\lambda\in F}[\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1] \\&\leq\sum\limits_{\lambda\in F\cap \Lambda_0}[\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1]+\sum\limits_{\lambda\in F\cap \Lambda_1}[\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1] \\&\leq\sum\limits_{\lambda\in F\cap \Lambda_0}[(e-1)\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|]+\sum\limits_{\lambda\in \Lambda_1}[\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1]&\because\ 0\leq t\leq1\Rightarrow \exp(t)-1\leq(e-1)t \\&\leq(e-1)\sum\limits_{\lambda\in \Lambda_0}\ \sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|+\sum\limits_{\lambda\in \Lambda_1}[\exp(\sum\limits_{\mu\in M_\lambda}\|x_{\lambda,\mu}\|) -1] \end{align}$$
最後の式は$F$に依らない定数であるため$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})-1]$は収束する。
従って$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]$は収束する。

【$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]=\prod\limits_{(\lambda,\mu)\in \bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})$が成り立つこと】
任意の$(\{(\lambda_1,\mu^1_j)\}_{j=1}^{m_1},\ \{(\lambda_2,\mu^2_j)\}_{j=1}^{m_2},\cdots,\{(\lambda_n,\mu^n_j)\}_{j=1}^{m_n})\in \bigcup\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n(\mathcal{L}_{M_{\lambda_i}}\backslash\{\varnothing\})$に対して
$\sum\limits_{i=1}^n\{(\lambda_i,\mu^i_j)\}_{j=1}^{m_i}=((\lambda_1,\mu^1_1)\lt(\lambda_1,\mu^1_2)\lt\cdots\lt(\lambda_1,\mu^1_{m_1})\ \lt\ (\lambda_2,\mu^2_1)\lt(\lambda_2,\mu^2_2)\lt\cdots\lt(\lambda_2,\mu^2_{m_2})\lt\ \cdots\ \lt(\lambda_n,\mu^n_1)\lt(\lambda_n,\mu^n_2)\lt\cdots\lt(\lambda_n,\mu^n_{m_n}))\in\mathcal{L}_{\bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}$
を割り当てる全単射を考えると、以下の様に変形できる。
$$\begin{align} \prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})]&=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}[1+(\prod\limits_{\mu\in M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})-1)] \\&=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_{\Lambda}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ [\prod\limits_{\mu\in M_{\lambda_i}}(1+x_{\lambda_i,\mu})-1] \\&=\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_{\Lambda}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \sum_{\{\mu^{i}_j\}_{j=1}^{m_i}\in\mathcal{L}_{M_{\lambda_i}}\backslash\{\varnothing\}}\ \prod_{j=1}^{m_i}\ x_{\lambda_i,\mu^{i}_j} \\&=\sum\limits_{(\{(\lambda_1,\mu^1_j)\}_{j=1}^{m_1},\ \{(\lambda_2,\mu^2_j)\}_{j=1}^{m_2},\cdots,\{(\lambda_n,\mu^n_j)\}_{j=1}^{m_n})\in \bigcup\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \prod\limits_{i=1}^n(\mathcal{L}_{M_{\lambda_i}}\backslash\{\varnothing\})}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \prod_{j=1}^{m_i}\ x_{\lambda_i,\mu^{i}_j} \\&=\sum\limits_{\sum\limits_{i=1}^n\{(\lambda_i,\mu^i_j)\}_{j=1}^{m_i}\in\mathcal{L}_{\bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \prod_{j=1}^{m_i}\ x_{\lambda_i,\mu^{i}_j} \\&=\prod\limits_{(\lambda,\mu)\in\bigsqcup\limits_{\lambda\in\Lambda}M_\lambda}(1+x_{\lambda,\mu})\ \square \end{align}$$

上の補題と帰納法によって、どのような括弧の付き方をしていても総乗の値は変わらないことが示せます。
ただし入れ子になった直和順序集合については書きようがないため、$\mathbb{Q}$に埋め込んだ形で記述します。

デカい結合法則

$N$を正整数とし、$\mathbb{Q}^N$に以下の様に順序を定める。
異なる$(q_1,q_2,\cdots,q_N),(q_1',q_2',\cdots,q_N')\in\mathbb{Q}^N$に対して
$(q_1,q_2,\cdots,q_N)\lt(q_1',q_2',\cdots,q_N')\Leftrightarrow n=\min\{i\ |\ q_i\neq q_i'\}$に対して$q_n\lt q_n'$

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$とする。
$\varphi:\Lambda\to\mathbb{Q}^N$を順序単射とする。
この時$\prod\limits_{q_1\in\mathbb{Q}}\ \prod\limits_{q_2\in\mathbb{Q}}\cdots\prod\limits_{q_{N-1}\in\mathbb{Q}}\prod\limits_{\begin{array}{c}q_N\in\mathbb{Q}\\(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi\end{array}}(1+x_{\varphi^{-1}(q_1,q_2,\cdots,q_N)})=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)$が成り立つ。

$(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi$に対して$y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}=x_{\varphi^{-1}(q_1,q_2,\cdots,q_N)}$
$(q_1,q_2,\cdots,q_N)\notin\Im\varphi$に対して$y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}=0$
と定めれば、以下の様に変形できる。
$$\begin{align}\prod\limits_{q_1\in\mathbb{Q}}\ \prod\limits_{q_2\in\mathbb{Q}}\cdots\prod\limits_{q_{N-1}\in\mathbb{Q}}\prod\limits_{\begin{array}{c}q_N\in\mathbb{Q}\\(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi\end{array}}(1+x_{\varphi^{-1}(q_1,q_2,\cdots,q_N)})&=\prod\limits_{q_1\in\mathbb{Q}}\ \prod\limits_{q_2\in\mathbb{Q}}\cdots\prod\limits_{q_{N-1}\in\mathbb{Q}}\prod\limits_{\begin{array}{c}q_N\in\mathbb{Q}\\(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi\end{array}}(1+y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}) \\&=\prod\limits_{q_1\in\mathbb{Q}}\ \prod\limits_{q_2\in\mathbb{Q}}\cdots\prod\limits_{q_{N-1}\in\mathbb{Q}}\ \prod\limits_{q_N\in\mathbb{Q}}(1+y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}) \\&=\prod\limits_{(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\mathbb{Q}^N}(1+y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}) \\&=\prod\limits_{(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi}(1+y_{q_1,q_2,\cdots,q_N}) \\&=\prod\limits_{(q_1,q_2,\cdots,q_N)\in\Im\varphi}(1+x_{\varphi^{-1}(q_1,q_2,\cdots,q_N)}) \\&=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)\ \square\end{align}$$

総乗と逆元

次に逆元について見ていきます。具体的には、可逆行列についての等式$(XY)^{-1}=Y^{-1}X^{-1}$をデカくします。

いくつかの記号

$A$の可逆元の全体を$A^\times$と書きます。
$\Lambda$の順序を逆にした全順序集合を$\Lambda^{-1}$と書きます。
$\lambda\in\Lambda$に対して$(-\infty,\lambda)=\{\mu\in\Lambda\ |\ \mu\lt\lambda\},\ (\lambda,\infty)=\{\mu\in\Lambda\ |\ \lambda\lt\mu\}$と書きます。
$\lambda\in\Lambda,\ \lambda'\in\Lambda,\ \lambda\lt\lambda'$に対して$(\lambda,\lambda')=\{\mu\in\Lambda\ |\ \lambda\lt\mu\lt\lambda'\}$と書きます。

$a\in A$に対して$\|a\|\lt1$ならば$1+a\in A^\times$である。
この時$(1+a)^{-1}=1-a+a^2-a^3+\cdots=\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n$である。

$\sum\limits_{k=0}^n\|(-a)^k\|\leq\sum\limits_{k=0}^n\|-a\|^k=\sum\limits_{k=0}^n\|a\|^k=\frac{1-\|a\|^{n+1}}{1-\|a\|}\lt\frac{1}{1-\|a\|}$より$\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n$は収束する。

$\|1-(1+a)(\sum\limits_{k=0}^n(-a)^k)\|=\|(-a)^{n+1}\|\leq\|-a\|^{n+1}=\|a\|^{n+1}$
より$n\to\infty$とすれば$\|1-(1+a)(\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n)\|=0\Leftrightarrow(1+a)(\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n)=1$

同様に$(\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n)(1+a)=1$となるため$(1+a)^{-1}=\sum\limits_{n=0}^\infty(-a)^n$である。$\square$

総乗と逆元

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty,\ \{1+x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A^\times$とする。
この時$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)\in A^\times,\ [\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)]^{-1}=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1+x_\lambda)^{-1}$である。

【$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1+x_\lambda)^{-1}$が収束すること】
$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|\lt\infty$を示せばよい。

$\Lambda_0=\{\lambda\in\Lambda\ |\ |x_\lambda|\leq\frac{1}{2}\},\ \Lambda_1=\{\lambda\in\Lambda\ |\ |x_\lambda|\gt\frac{1}{2}\}$と定める。
$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$より$\Lambda_1$は有限集合である。

$\lambda\in\Lambda_0 $とすると
$\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|=\|\sum\limits_{n=1}^\infty(-x_\lambda)^n\|\leq\sum\limits_{n=1}^\infty\|x_\lambda\|^n=\frac{\|x_\lambda\|}{1-\|x_\lambda\|}\leq2\|x_\lambda\|$
となるため任意の$F\Subset\Lambda$に対して
$$\begin{align}\sum\limits_{\lambda\in F}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|&=\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_0}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|+\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_1}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\| \\&\leq2\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_0}\|x_\lambda\|+\sum\limits_{\lambda\in\Lambda_1}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\| \\&\leq2\sum\limits_{\lambda\in \Lambda_0}\|x_\lambda\|+\sum\limits_{\lambda\in\Lambda_1}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|\end{align}$$
となる。最後の式は$F$に依存しないため$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|(1+x_\lambda)^{-1}-1\|\lt\infty$である。
従って$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1+x_\lambda)^{-1}$は収束する。

【任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$\|x_\lambda\|\lt1$である場合】
符号を簡単にするため、$[\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)]^{-1}=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1-x_\lambda)^{-1}$を示す。

$$\begin{align}\ [\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)][\prod\limits_{\mu\in\Lambda^{-1}}(1-x_{\mu})^{-1}]&=[\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)][\prod\limits_{\mu\in\Lambda^{-1}}(1+\sum\limits_{k=1}^\infty x_{\mu}^k)] \\&=[\sum\limits_{\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda}\ (-1)^n\ x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n}][\sum\limits_{\{\mu_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_\Lambda}\ \sum\limits_{(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in\mathbb{N}^m}x_{\mu_m}^{k_m}x_{\mu_{m-1}}^{k_{m-1}}\cdots x_{\mu_1}^{k_1}] \\&=\sum\limits_{\begin{array}{c}\{\lambda_i\}_{i=1}^n\in\mathcal{L}_\Lambda\\\{\mu_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_\Lambda\\(k_1,k_2,\cdots,k_m)\in\mathbb{N}^m \end{array}}(-1)^n\ (x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n})\ (x_{\mu_m}^{k_m}x_{\mu_{m-1}}^{k_{m-1}}\cdots x_{\mu_1}^{k_1})\end{align}$$
この総和が$1$に等しいことを示す。
方針としては総和の$\varnothing\in\mathcal{L}_\Lambda,\ \varnothing\in\mathcal{L}_\Lambda,\ ()\in\mathbb{N}^0$に対応する項以外の全てが打ち消されることを確認する。

まず、
$\mathcal{M}_{0}=\{(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\ |\ (n,m)\neq(0,0),\ \lambda_n\gt\mu_m\}$
$\mathcal{M}_{1}=\{(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\ |\ (n,m)\neq(0,0),\ \lambda_n=\mu_m\}$
$\mathcal{N}_{0}=\{(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\ |\ (n,m)\neq(0,0),\ \lambda_n\lt\mu_m,\ k_m=1\}$
$\mathcal{N}_{1}=\{(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\ |\ (n,m)\neq(0,0),\ \lambda_n\lt\mu_m,\ k_m\geq2\}$
と定めると、総和の対象となる添え字について$\{(\varnothing,\varnothing,())\}\cup\mathcal{M}_0\cup\mathcal{M}_1\cup\mathcal{N}_0\cup\mathcal{N}_1$と直和に分解できる。

また、
$\varphi_0:\mathcal{M}_0\to\mathcal{N}_0:(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\mapsto(\{\lambda_i\}_{i=1}^{n-1},\ \{\mu_j\}_{j=1}^m+\{\lambda_n\},\ (k_1,k_2,\cdots,k_m,1))$
$\psi_0:\mathcal{N}_0\to\mathcal{M}_0:(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\mapsto(\{\lambda_i\}_{i=1}^n+\{\mu_m\},\ \{\mu_j\}_{j=1}^{m-1},\ (k_1,k_2,\cdots,k_{m-1}))$
と定めるとこれらは互いに逆写像で、
$\varphi_1:\mathcal{M}_1\to\mathcal{N}_1:(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\mapsto(\{\lambda_i\}_{i=1}^{n-1},\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m+1))$
$\psi_1:\mathcal{N}_1\to\mathcal{M}_1:(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))\mapsto(\{\lambda_i\}_{i=1}^n+\{\mu_m\},\ \{\mu_j\}_{j=1}^{m},\ (k_1,k_2,\cdots,k_{m}-1))$
と定めるとこれらは互いに逆写像である。

最後に
$\Phi(\{\lambda_i\}_{i=1}^n,\ \{\mu_j\}_{j=1}^m,\ (k_1,k_2,\cdots,k_m))=(-1)^n\ (x_{\lambda_1}x_{\lambda_2}\cdots x_{\lambda_n})\ (x_{\mu_m}^{k_m}x_{\mu_{m-1}}^{k_{m-1}}\cdots x_{\mu_1}^{k_1})$
と定めると、$\Phi\circ\varphi_0=-\Phi,\ \Phi\circ\varphi_1=-\Phi$となるため、総和の大部分が打ち消されて$\Phi(\varnothing,\varnothing,())=1$だけが残る。
従って$[\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)][\prod\limits_{\mu\in\Lambda^{-1}}(1-x_{\mu})^{-1}]=1$である。
同様にして$[\prod\limits_{\mu\in\Lambda^{-1}}(1-x_{\mu})^{-1}][\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)]=1$も示せるため$[\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1-x_\lambda)]^{-1}=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1-x_\lambda)^{-1}$である。

【任意の$\lambda\in\Lambda$に対して$\|x_\lambda\|\lt1$であるとは限らない場合】
$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$より$\|x_\lambda\|\geq1$となる$\lambda$は有限個である。
$\|x_\lambda\|\geq1$となる$\lambda$を小さい順に$\lambda_0,\ \lambda_1,\cdots,\lambda_n$とする。
$$\begin{align}\ [\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)]^{-1}&=[[\prod\limits_{\mu\in(-\infty,\lambda_0)}(1+x_\mu)]\ (1+x_{\lambda_0})\ [\prod\limits_{\mu\in(\lambda_0,\lambda_1)}(1+x_\mu)]\ (1+x_{\lambda_1})\cdots(1+x_{\lambda_n})\ [\prod\limits_{\mu\in(\lambda_n,\infty)}(1+x_\mu)]]^{-1} \\&=[\prod\limits_{\mu\in(\lambda_n,\infty)}(1+x_\mu)]^{-1}(1+x_{\lambda_n})^{-1}\cdots(1+x_{\lambda_1})^{-1}[\prod\limits_{\mu\in(\lambda_0,\lambda_1)}(1+x_\mu)]^{-1}(1+x_{\lambda_0})^{-1}[\prod\limits_{\mu\in(-\infty,\lambda_0)}(1+x_\mu)]^{-1} \\&=[\prod\limits_{\mu\in(\lambda_n,\infty)^{-1}}(1+x_\mu)^{-1}](1+x_{\lambda_n})^{-1}\cdots(1+x_{\lambda_1})^{-1}[\prod\limits_{\mu\in(\lambda_0,\lambda_1)^{-1}}(1+x_\mu)^{-1}](1+x_{\lambda_0})^{-1}[\prod\limits_{\mu\in(-\infty,\lambda_0)^{-1}}(1+x_\mu)^{-1}] \\&=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda^{-1}}(1+x_\lambda)^{-1}\ \square\end{align}$$

総乗の解析性

総乗$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda)$は任意個の変数$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$を持った写像と考えられますが、この写像は解析的です。
つまり任意の点$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の周囲で、任意のオーダーで多項式近似をすることができます。

多項式近似の様子

$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|\lt \infty$とします。
この時$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)$を$\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}$の多項式として展開すると以下の様になります。
$$\begin{align}\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)=&\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda) \\&+\sum\limits_{\mu_1\in\Lambda}\ [[\prod\limits_{\lambda\in(-\infty,\mu_1)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_1}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_1,\infty)}(1+x_\lambda)]] \\&+\sum\limits_{\begin{array}{c}\mu_1,\mu_2\in\Lambda\\\mu_1\lt\mu_2\end{array}}\ [[\prod\limits_{\lambda\in(-\infty,\mu_1)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_1}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_1,\mu_2)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_2}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_2,\infty)}(1+x_\lambda)]] \\&+\sum\limits_{\begin{array}{c}\mu_1,\mu_2,\mu_3\in\Lambda\\\mu_1\lt\mu_2\lt\mu_3\end{array}}\ [[\prod\limits_{\lambda\in(-\infty,\mu_1)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_1}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_1,\mu_2)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_2}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_2,\mu_3)}(1+x_\lambda)]\ h_{\mu_3}\ [\prod\limits_{\lambda\in(\mu_3,\infty)}(1+x_\lambda)]] \\&+\cdots\end{align}$$
三次の項まで書き下しました。$A$は可換とは限らないのでこのようになります。

これがまさしくテイラー展開となっていることが示せます。
つまり、$N$次の項までで打ち止めたとき、$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|\to0$での誤差のオーダーが$O((\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{N+1})$となる事が示せます。

$k$次の項の評価

$\mathcal{L}_\Lambda$の元を定義域とし、$\{x,h\}$を値に持つ写像の全体を$\mathcal{M}$とすると、
$\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})=\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}\\\mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\\|\varphi^{-1}(\{h\})|=k\end{array}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \varphi(\lambda_i)_{\lambda_i}$
である。(ここで$|\varphi^{-1}(\{h\})|$は集合の大きさを表すとする。)

$F\Subset\Lambda$とする。
$\mathcal{L}_F$の元を定義域とし、$\{x,h\}$を値に持つ写像の全体を$\mathcal{M}_F$とする。
この時、
$\begin{align}\|\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}_F\\\mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\\|\varphi^{-1}(\{h\})|=k\end{array}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \varphi(\lambda_i)_{\lambda_i}\|&\leq\sum\limits_{\begin{array}{c}\varphi\in\mathcal{M}_F\\\mathrm{dom}(\varphi)=\{\lambda_i\}_{i=1}^n\\|\varphi^{-1}(\{h\})|=k\end{array}}\ \prod\limits_{i=1}^n\ \|\varphi(\lambda_i)_{\lambda_i}\| \\&=\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^k\in\mathcal{L}_F}\ \sum\limits_{\{\lambda_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_{F\backslash \{\mu_i\}_{i=1}^k}}\ \prod_{j=1}^m\ \|x_{\lambda_j}\|\ \prod_{i=1}^k\ \|h_{\mu_i}\| \\&\leq\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^k\in\mathcal{L}_F}\ \sum\limits_{\{\lambda_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_F}\ \prod_{j=1}^m\ \|x_{\lambda_j}\|\ \prod_{i=1}^k\ \|h_{\mu_i}\| \\&=[\sum\limits_{\{\lambda_j\}_{j=1}^m\in\mathcal{L}_F}\ \prod_{j=1}^m\ \|x_{\lambda_j}\|\ ][\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^k\in\mathcal{L}_F}\prod_{i=1}^k\ \|h_{\mu_i}\|\ ] \\&=[\prod\limits_{\lambda\in F}(1+\|x_\lambda\|) ][\sum\limits_{\{\mu_i\}_{i=1}^k\in\mathcal{L}_F}\prod_{i=1}^k\ \|h_{\mu_i}\|\ ] \\&\leq[\prod\limits_{\lambda\in F}\exp(\|x_\lambda\|) ][\frac{(\sum\limits_{\mu\in F}\|h_\mu\|)^k}{k!}] \\&=\exp(\sum\limits_{\lambda\in F}\|x_\lambda\|)\frac{(\sum\limits_{\mu\in F}\|h_\mu\|)^k}{k!} \\&\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in \Lambda}\|x_\lambda\|)\frac{(\sum\limits_{\lambda\in \Lambda}\|h_\lambda\|)^k}{k!} \end{align}$
最後の式は$F$に依らない定数なので、
$\|\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})\|\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)\frac{(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^k}{k!}$
が成り立つ。$\square$

総乗の解析性

上の補題と同じ設定のもと、任意の非負整数$N$に対して次が成り立つ。
$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)=\Phi_0(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})+\Phi_1(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})+\cdots+\Phi_N(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})+O((\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{N+1})\ \ \ (\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|\to0)$

そもそも$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)=\sum\limits_{k=0}^\infty\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})$であるから、
$$\begin{align}\|\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)-\sum\limits_{k=0}^N\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})\|&=\|\sum\limits_{k=N+1}^\infty\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})\| \\&\leq\sum\limits_{k=N+1}^\infty\|\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})\| \\&\leq\sum\limits_{k=N+1}^\infty[\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)\frac{(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^k}{k!}] \\&=[\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)\sum\limits_{k=N+1}^\infty\frac{(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{k-(N+1)}}{k!}]\ (\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{(N+1)} \end{align}$$
となる。

ここで例えば$0\lt\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|\leq1$とすれば
$\frac{1}{(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{(N+1)}}\|\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)-\sum\limits_{k=0}^N\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})\|\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|)\sum\limits_{k=N+1}^\infty\frac{1}{k!}\leq\exp(\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|+1)\lt\infty$
となるため
$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}(1+x_\lambda+h_\lambda)=\sum\limits_{k=0}^N\Phi_k(\{h_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda})+O((\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|)^{N+1})\ \ \ (\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|h_\lambda\|\to0)$
となる。$\square$

総乗を保つ写像

写像が総乗を保つ条件を確認します。

写像が総乗を保つ条件

$(B,\|\cdot\|)$を完備な絶対値を持った環とし、$f:A\to B$を以下を満たす写像とする。

$f(xy)=f(x)f(y)$
$f$は連続
$\delta_0\gt0$と$K_0\gt0$が存在して、任意の$x\in A$に対して「$\|x\|\leq\delta_0$ならば$\|f(1+x)-1\|\leq K_0\|x\|$」となる。

この時、任意の$\{x_\lambda\}_{\lambda\in\Lambda}\subset A,\ \sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt\infty$に対して$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)$は収束し、$f(\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda)=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)$が成り立つ。

【$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)$が収束する事】
$\Lambda_0=\{\lambda\in\Lambda\ |\ |x_\lambda|\leq\delta_0\},\ \Lambda_1=\{\lambda\in\Lambda\ |\ |x_\lambda|\gt\delta_0\}$と定める。
$\sum\limits_{\lambda\in\Lambda}\|x_\lambda\|\lt \infty$より$\Lambda_1$は有限集合である。

$F\Subset\Lambda$とする。
$\begin{align}\sum\limits_{\lambda\in F}\|f(1+x_\lambda)-1\|&=\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_0}\|f(1+x_\lambda)-1\|+\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_1}\|f(1+x_\lambda)-1\| \\&\leq K_0\sum\limits_{\lambda\in F\cap\Lambda_0}\|x_\lambda\|+\sum\limits_{\lambda\in \Lambda_1}\|f(1+x_\lambda)-1\| \\&\leq K_0\sum\limits_{\lambda\in\Lambda_0}\|x_\lambda\|+\sum\limits_{\lambda\in\Lambda_1}\|f(1+x_\lambda)-1\|\end{align}$
となるため$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)$は収束する。

【$f(\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda)=\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)$が成り立つこと】
$\prod\limits_{\lambda\in\Lambda}x_\lambda=\alpha,\ \prod\limits_{\lambda\in\Lambda}f(x_\lambda)=\beta$とする。
$\varepsilon\gt0$とする。

$f$は連続なので、$\delta_1\gt0$が存在して、任意の$x\in A$に対して「$\|\alpha-x\|\lt\delta_1$ならば$\|f(\alpha)-f(x)\|\lt\epsilon$」となる。

$F\Subset\Lambda$が存在して、$\|\alpha-\prod\limits_{\lambda\in F}x_\lambda\|\lt\delta_1,\ \|\beta-\prod\limits_{\lambda\in F}f(x_\lambda)\|\lt\varepsilon$となる。
この時
$\begin{align}\|\beta-f(\alpha)\|&\leq\|\beta-\prod\limits_{\lambda\in F}f(x_\lambda)\|+\|\prod\limits_{\lambda\in F}f(x_\lambda)-f(\alpha)\| \\&=\|\beta-\prod\limits_{\lambda\in F}f(x_\lambda)\|+\|f(\prod\limits_{\lambda\in F}x_\lambda)-f(\alpha)\| \\&\lt\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon\end{align}$
となるため$\beta=f(\alpha)$である。$\square$

まとめ

可算な全順序集合で添え字付けられた可換とは限らない元の族について、それらの総乗を定義しました。この総乗は「掛け算」として成り立っていてほしい性質(結合律・分配律・逆元・解析性)などを全て満たすことを確認しました。

以上です。使用例・具体例・指摘・「確かに定義できて草」みたいなコメント等お待ちしています。

投稿日：7日前

更新日：1日前

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可換とは限らない環上の総乗について