イカれた並び方をした行列たちの総乗を計算したい！！

前回の記事 で性質を述べた総乗について、具体例を発見したので説明します。

記事を通して$x,y\in\mathbb{C},\ |x|\lt\frac{1}{2},\ |y|\lt\frac{1}{2}$とし、$X$を$0$より大きく$1$より小さい分母が$2$の累乗である有理数の全体とします。
$X$の元は$n\in\{0,1,2,\cdots\},\ m\in\{1,3,5,\cdots,2^{n+1}-1\}$を用いて$\frac{m}{2^{n+1}}$と表示します。

この時、$X$全体を亘る次の総乗が計算できます。
$\prod\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X} \begin{pmatrix} 1 & x^{n} & 0\\ 0 & 1 &y^{n}\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

総乗の観察

$n\in\{0,1,2,\cdots\}$に対して、$3\times3$行列$A_n$を次のように定めます。
$A_n=\begin{pmatrix}0&x^n&0\\0&0&y^n\\0&0&0\end{pmatrix}$

この時、求めたい総乗は$\prod\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}(I+A_n)$と書けます。($I$は単位行列)
$X$の元と項$I+A_n$は以下のように対応します。
$\begin{gather}\frac{1}{2}&:I+A_0\\\frac{1}{4},\frac{3}{4}&:I+A_1\\\frac{1}{8},\frac{3}{8},\frac{5}{8},\frac{7}{8}&:I+A_2\\\frac{1}{16},\frac{3}{16},\frac{5}{16},\frac{7}{16},\frac{9}{16},\frac{11}{16},\frac{13}{16},\frac{15}{16}&:I+A_3\\\dots\dots\end{gather}$

従って、有理数の順序を考えれば、求めたい総乗は次の列の極限を取ったものとなります。
$$\begin{gather}I+A_0\\(I+A_1)(I+A_0)(I+A_1)\\(I+A_2)(I+A_1)(I+A_2)(I+A_0)(I+A_2)(I+A_1)(I+A_2)\\(I+A_3)(I+A_2)(I+A_3)(I+A_1)(I+A_3)(I+A_2)(I+A_3)(I+A_0)(I+A_3)(I+A_2)(I+A_3)(I+A_1)(I+A_3)(I+A_2)(I+A_3)\\\cdots\cdots\end{gather}$$

$A_n$の積

$n,n'\in\{0,1,2,\cdots\}$に対して、積$A_nA_{n'}$は次のようになります。
$A_nA_{n'}=\begin{pmatrix}0&0&x^ny^{n'}\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$

また三つ以上の$A_n$の積は$0$になります。
従って、求めたい総乗は以下のようになります。
$\begin{align}\prod\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}(I+A_n)&=I+\sum\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}A_n+\sum\limits_{\begin{array}{c}\frac{m}{2^{n+1}},\frac{m'}{2^{n'+1}}\in X\\\frac{m}{2^{n+1}}\lt\frac{m'}{2^{n'+1}}\end{array}}A_nA_{n'} \\&=\begin{pmatrix}1&\sum\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}x^n&\sum\limits_{\begin{array}{c}\frac{m}{2^{n+1}},\frac{m'}{2^{n'+1}}\in X\\\frac{m}{2^{n+1}}\lt\frac{m'}{2^{n'+1}}\end{array}}x^ny^{n'}\\0&1&\sum\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}y^n\\0&0&1\end{pmatrix}\end{align}$

第$(1,2),(2,1)$成分

$X$の元の内、分母が$2^{n+1}$であるものは$2^n$個あります。
従って、第$(1,2)$成分は次の様に計算できます。
$\sum\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X}x^n=\sum\limits_{n=0}^\infty(2x)^n=\frac{1}{1-2x}$

同様に第$(2,1)$成分は$\frac{1}{1-2y}$です。

第$(1,3)$成分

$x^ny^n(n\in\{0,1,2,\cdots\})$の個数

$X$の元の内、分母が$2^{n+1}$であるものは$2^n$個あります。
よって第$(1,3)$成分の総和のうち、$x^ny^n$の個数は$_{2^n}C_2=2^{n-1}(2^n-1)$となります。

$x^ny^{n+k}(n\in\{0,1,2,\cdots\},k\in\{1,2,\cdots\})$の個数

$X$の元の内、分母が$2^{n+1}$であるものは$2^n$個、分母が$2^{n+k+1}$であるものは$2^{n+k}$個あります。
この添え字の個数の積$2^n\cdot2^{n+k}$について、半数は$x^ny^{n+k}$の添え字で、もう半数は$x^{n+k}y^{n}$の添え字です。
よって第$(1,3)$成分の総和のうち、$x^ny^{n+k}$の個数は$\frac{2^n\cdot2^{n+k}}{2}=2^{2n+k-1}$となります。

以上により、求めたい総乗の第$(1,3)$成分は以下のように計算できます。
$\begin{align}&\sum\limits_{n=0}^\infty\ 2^{n-1}(2^n-1)x^ny^n+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=1}^\infty\ 2^{2n+k-1}x^ny^{n+k}+\sum\limits_{n=0}^\infty\sum\limits_{k=1}^\infty\ 2^{2n+k-1}x^{n+k}y^{n} \\=&\frac{1}{2}\sum\limits_{n=0}^\infty((4xy)^n-(2xy)^n)+\sum\limits_{n=0}^\infty(4xy)^n\sum\limits_{k=1}^\infty\ (x(2x)^{k-1}+y(2y)^{k-1}) \\=&\frac{1}{2}(\frac{1}{1-4xy}-\frac{1}{1-2xy})+\frac{1}{1-4xy}(\frac{x}{1-2x}+\frac{y}{1-2y}) \\=&\frac{x+y-3xy}{(1-2x)(1-2y)(1-2xy)}&\end{align}$

まとめ

以上により、$X$の全体を亘る総乗について、次が成り立ちます。
$\prod\limits_{\frac{m}{2^{n+1}}\in X} \begin{pmatrix} 1 & x^{n} & 0\\ 0 & 1 &y^{n}\\ 0&0&1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{1-2x} & \frac{x+y-3xy}{(1-2x)(1-2y)(1-2xy)}\\ 0 & 1 &\frac{1}{1-2y}\\ 0&0&1 \end{pmatrix}$

可算かつ稠密に順序付けられた非可換な元の総乗について、簡単ながら具体例を挙げられたので良かったです。