【備忘録／用語集】離散部分集合

位相空間論

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（集積点／孤立点／離散部分集合）

$X$ を位相空間とし， $A$ を $X$ の部分集合とする。

$x \in X$ が $A$ の集積点であるとは， $x$ を含むような $X$ の任意の開集合 $U$ に対して， $U \cap (A ∖ {x}) \neq \emptyset$ が成り立つことをいう。
$x \in A$ が $A$ の孤立点であるとは， $x$ を含むような $X$ のある開集合 $U$ が存在して， $U \cap A = {x}$ が成り立つことをいう。
すべての $x \in A$ が $A$ の孤立点であるとき， $A$ は $X$ の離散部分集合であるという。

$A$ が $X$ 内に集積点をもたないとき， $A$ は $X$ の閉離散部分集合である。

$D$ を $C$ の開集合としたとき， $D$ の離散部分集合 $E$ は高々可算である。

$E$ が $2$ 点以上からなる場合を考える。

$z_{0} \in E$ とする。

このとき，
$inf_{z \in E ∖ {z_{0}}} | z - z_{0} | > 0$
である。
（もし $inf_{z \in E ∖ {z_{0}}} | z - z_{0} | = 0$ ならば，任意の $r > 0$ に対してある $z_{1} \in E ∖ {z_{0}}$ が存在して $| z_{1} - z_{0} | < r$ となる。一方， $E$ は $D$ の離散部分集合なので， $D$ のある開集合 $U$ が存在して $U \cap E = {z_{0}}$ となる。 $U$ が開集合であることから，ある $r > 0$ が存在して ${z \in C ∣ | z - z_{0} | < r} \subset U$ となる。この $r$ に対して上のような $z_{1}$ を取れば， $z_{1} \in U \cap E$ となり矛盾する。）

$z \in E$ に対して
$2 r_{z} = inf_{w \in E ∖ {z}} | w - z |$
$U_{z} = {w \in C ∣ | w - z | < r_{z}}$
と置く。

このとき， $z_{1} \neq z_{2}$ $(z_{1}, z_{2} \in E)$ ならば $U_{z_{1}} \cap U_{z_{2}} = \emptyset$ である。
（もし， $z \in U_{z_{1}} \cap U_{z_{2}}$ ならば，
$\begin{aligned} | z_{1} - z_{2} | & \leq | z - z_{1} | + | z - z_{2} | \\ < r_{z_{1}} + r_{z_{2}} \\ = \frac{inf_{w \in E ∖ {z_{1}}} | w - z_{1} | + inf_{w \in E ∖ {z_{2}}} | w - z_{2} |}{2} \\ \leq \frac{| z_{2} - z_{1} | + | z_{1} - z_{2} |}{2} \\ = | z_{1} - z_{2} | \end{aligned}$
となり矛盾する。）