【備忘録／用語集】離散部分集合

$E$が$2$点以上からなる場合を考える。

$z_0 \in E$とする。

このとき，
$$ \inf_{z \in E \setminus \{z_0\}} |z - z_0| > 0$$
である。
（もし$\inf_{z \in E \setminus \{z_0\}} |z - z_0| = 0$ならば，任意の$r > 0$に対してある$z_1 \in E \setminus \{z_0\}$が存在して$|z_1 - z_0| < r$となる。一方，$E$は$D$の離散部分集合なので，$D$のある開集合$U$が存在して$U \cap E = \{z_0\}$となる。$U$が開集合であることから，ある$r > 0$が存在して$\{ z \in \mathbb{C} \mid |z - z_0| < r \} \subset U$となる。この$r$に対して上のような$z_1$を取れば，$z_1 \in U \cap E$となり矛盾する。）

$z \in E$に対して
$$ 2 r_{z} = \inf_{w \in E \setminus \{z\}} |w - z|$$
$$ U_{z} = \{ w \in \mathbb{C} \mid |w - z| < r_{z} \}$$
と置く。

このとき，$z_1 \neq z_2$ $(z_1, z_2 \in E)$ならば$U_{z_1} \cap U_{z_2} = \emptyset$である。
（もし，$z \in U_{z_1} \cap U_{z_2}$ならば，
\begin{align} |z_1 - z_2| & \leq |z - z_1| + |z - z_2| \\ & < r_{z_1} + r_{z_2} \\ & = \frac{ \inf_{w \in E \setminus \{z_1\}} |w - z_1| + \inf_{w \in E \setminus \{z_2\}} |w - z_2| }{2} \\ & \leq \frac{|z_2 - z_1| + |z_1 - z_2|}{2} \\ & = |z_1 - z_2| \end{align}
となり矛盾する。）

$\mathbb{Q}^2 = \{ x + iy \in \mathbb{C} \mid x, y \in \mathbb{Q} \}$は$\mathbb{C}$の稠密な部分集合なので，$z \in E$に対して$U_z \cap \mathbb{Q}^2 \neq \emptyset$の元をひとつ選ぶことで，$E$から$\mathbb{Q}^2$への写像が定義される。

各$U_z$は交わらないので，この写像は単射であり，$E$が高々可算であることが示された。

$D$から定まる相対位相により，$E$は離散空間となる。

一方，$\mathbb{C}$は第二可算空間なので，$E$もまた第二可算空間である。

$E$の高々可算な開基はすべての$1$点集合を和集合の形で表すことができるので，そもそも開基自体がすべての$1$点集合を含んでいる。

したがって，$E$は高々可算である。