グリーン・タオの定理5　ハイパーグラフ除去補題の証明①

$X$を空でない集合とする.$X$上で定義された関数$f:X\to \mathbb{R}$と空でない有限部分集合$a\subset X$に対し,$f$の$A$における期待値を$\mathbb{E}(f|A)$,または変数付きで$\mathbb{E}(f(a)|a\in A)$と表し,

$$\begin{array}{r}\mathbb{E}(f|A)=\mathbb{E}(f(a)|a\in A)=\frac{1}{\mathrm{♯}A}\sum _{a\in A}f(a)\end{array}$$

と定義する.

$X$を集合とする.$\mathcal{P}$が$X$の分割であるとは,
(1)$\mathcal{P}\subset \mathfrak{B}(X)\mathrm{\setminus }\{\varnothing \}$
(2)$A,B\in \mathcal{P},A\ne B\Rightarrow A\cap B=\varnothing$
(3)$X=\bigcup _{A\in \mathcal{P}}$
が成り立つときをいう.

$\mathcal{P},\mathcal{L}$をともに$X$の分割とする.$\mathcal{P}$が$\mathcal{L}$の細分であるとは,任意の$A\in \mathcal{P}$に対して,ある$B\in \mathcal{L}$が存在して,$A\subset B$が成り立つことをいう.

$V$を有限集合とする.
(1)$V$の部分集合族$\mathcal{B}\subset \mathfrak{B}(V)$が$V$上の加法族であるとは,

$$\begin{array}{rl}& (a)\varnothing \in \mathcal{B}\\ & (b)A,B\in \mathcal{B}\Rightarrow A\cup B\in \mathcal{B}\\ & (c)A\in \mathcal{B}\Rightarrow V\mathrm{\setminus }A\in \mathcal{B}\end{array}$$

が成り立つことをいう.
(2)は後述.
(3)$V$の部分集合族$\mathcal{F}\subset \mathfrak{B}(V)$に対して,$\mathcal{F}$を含むような$V$上の加法族のうち包含関係に関して最小であるものを,$\mathcal{F}$が生成する$V$上の加法族とよぶ.
(4)も後述.
(5)$V\ne \varnothing$とし,$\mathcal{B}$を$V$上の加法族とする.$\mathcal{B}\mathrm{\setminus }\{\varnothing \}$における包含関係に関する極小元を,$\mathcal{B}$のアトムという.$\mathcal{B}$のアトム全体の集合を$\mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{B})$と表す.

$\mathcal{B},{\mathcal{B}}^{\prime }$がともに$V$上の加法族であり,$\mathcal{B}\subset {\mathcal{B}}^{\prime }$であるとき,$\mathcal{B}$は${\mathcal{B}}^{\prime }$の部分加法族であるという.

(4)${\mathcal{B}}_1,{\mathcal{B}}_2$がともに$V$上の加法族であるとき,${\mathcal{B}}_1\cup {\mathcal{B}}_2$が生成する$V$上の加法族を${\mathcal{B}}_1\vee {\mathcal{B}}_2$と表す.同様に,$V$上の加法族の列$({\mathcal{B}}_i{)}_{i\in I}$に対して,$\bigcup _{i\in I}{\mathcal{B}}_i$が生成する$V$上の加法族を$\underset{i\in I}{\bigvee }{\mathcal{B}}_i$と表す.

$\mathcal{B}$を$v$上の加法族とする.$\mathcal{F}\subset \mathfrak{B}(V)$であって,$\mathcal{F}$が生成する$V$上の加法族が$\mathcal{B}$となるものを考えるとき,$\mathrm{♯}\mathcal{F}$として取り得る最小値
を$\mathcal{B}$の複雑度といい,$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{x}(\mathcal{B})$と表す.とくに,$\mathrm{c}\mathrm{p}\mathrm{x}(\{\varnothing ,\mathrm{V}\})=0$である.

集合$A,B,(A\subset B)$に対し,特性関数${\mathbf{1}}_A:B\to \mathbb{R}$を
$${\mathbf{1}}_A(x)=\{\begin{array}{rl}& 1(x\in A)\\ & 0(x\in B\mathrm{\setminus }A)\end{array}$$
とする.

$L^2(V,\mathbb{R})$を定義域が$V$で終域が$\mathbb{R}$であるような関数全体からなり,内積が$⟨f,g⟩=\mathbb{E}(fg|V)$で定まる実内積空間であるとする.つまり,$L^2(V,\mathbb{R})$は$\mathbb{R}$ベクトル空間であり,内積について,次の性質が成り立つ.

(1)任意の$f\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$⟨f,f⟩\ge 0$であり,$⟨f,f⟩=0\iff f=0$.
(2)任意の$f,g\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$⟨f,g⟩=⟨g,f⟩$.
(3)任意の$\lambda ,\mu \in \mathbb{R},f,f^{\prime },g\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$⟨\lambda f+\mu f^{\prime },g⟩=\lambda ⟨f,g⟩+\mu ⟨f^{\prime },g⟩$.

$f\in L^2(V,\mathbb{R})$のノルム$\parallel f\parallel \ge 0$であり,$\parallel f\parallel =\sqrt{⟨f,f⟩}$で定義する.このとき,ノルムについて,次の性質が成り立つ.

(1)任意の$f\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$\parallel f\parallel \ge 0$であり,$\parallel f\parallel =0\iff f=0$.
(2)任意の$\lambda \in \mathbb{R},f\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$\parallel \lambda f\parallel =\lambda \parallel f\parallel$.
(3)任意の$f,g\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して,$|⟨f,f⟩|\le \parallel f\parallel \parallel g\parallel$.(コーシー・シュワルツの不等式)

$L^2(V,\mathbb{R})$の部分空間$W$に対し,$W$の直行補空間$W^{\mathrm{\perp }}$を
$$\begin{array}{r}{W}^{\mathrm{\perp }}=\{f\in L^2(V,\mathbb{R}):\mathrm{\forall }g\in W,⟨f,g⟩=0\}\end{array}$$
と定義する.

$\mathcal{B}$を$V$上の加法族とする.$f\in L^2(V,\mathbb{R})$が$\mathcal{B}$可測関数であるとは,任意の$A\in \mathrm{A}\mathrm{t}\mathrm{o}\mathrm{m}(\mathcal{B})$に対して$f{|}_A$が定数関数であるときをいう.$\mathcal{B}$可測関数全体のなす$L^2(V,\mathbb{R})$の部分空間を$\mathcal{M}(\mathcal{B})$と表す.

$\mathcal{B}$を$V$上の加法族とする.このとき,条件付き期待値作用素$\mathbb{(}\cdot |\mathcal{B}):L^2(V,\mathbb{R})\to M(\mathcal{B})$を$f\in L^2(V,\mathbb{R})$に対して関数$\mathbb{E}(f|\mathcal{B}):V\to \mathbb{R}$を
$$\begin{array}{r}\mathbb{E}(f|\mathcal{B})(x)=\mathbb{E}(f|\mathcal{B}(x))\end{array}$$
と定めることによって定義する.

$\mathcal{F}\subset \mathfrak{B}(V)$を,$V\in \mathcal{F}$を満たす$V$の部分集合族とする.このとき,$f,f^{\prime }\in L^2(V,\mathbb{R})$の$\mathcal{F}$に関する食い違い距離$d_{\mathcal{F}}(f,f^{\prime })$を

$$\begin{array}{r}{d}_{\mathcal{F}}(f,f^{\prime })=\underset{A\in \mathcal{F}}{max}|⟨f-f^{\prime },{\mathbf{1}}_A⟩|=\underset{A\in \mathcal{F}}{max}|\mathbb{E}((f-f^{\prime })\cdot {\mathbf{1}}_A|V)|\end{array}$$