グリーン・タオの定理5　ハイパーグラフ除去補題の証明①

$X$を空でない集合とする.$X$上で定義された関数$f:X\rightarrow \mathbb R$と空でない有限部分集合$a\subset X$に対し,$f$の$A$における期待値を$\mathbb E(f|A)$,または変数付きで$\mathbb E(f(a)|a\in A)$と表し,

\begin{align} \mathbb E(f|A)=\mathbb E(f(a)|a\in A)=\frac{1}{\sharp A}\sum_{a\in A}f(a) \end{align}

と定義する.

$X$を集合とする.$\mathscr P$が$X$の分割であるとは,
(1)$\mathscr P \subset \mathfrak B(X)\backslash \{\varnothing\}$
(2)$A,B\in \mathscr P,A\ne B\Rightarrow A\cap B =\varnothing$
(3)$X=\bigcup _{A\in\mathscr P }$
が成り立つときをいう.

$\mathscr P,\mathscr L$をともに$X$の分割とする.$\mathscr P$が$\mathscr L$の細分であるとは,任意の$A \in\mathscr P$に対して,ある$B\in\mathscr L$が存在して,$A\subset B$が成り立つことをいう.

$V$を有限集合とする.
(1)$V$の部分集合族$\mathcal B\subset\mathfrak B(V) $が$V$上の加法族であるとは,

\begin{align} \qquad &(a)\varnothing \in \mathcal B\\ &(b)A,B\in \mathcal B\Rightarrow A\cup B \in \mathcal B\\ &(c)A\in \mathcal B \Rightarrow V\backslash A\in \mathcal B\\ \end{align}

が成り立つことをいう.
(2)は後述.
(3)$V$の部分集合族$\mathcal F \subset \mathfrak B(V)$に対して,$\mathcal F$を含むような$V$上の加法族のうち包含関係に関して最小であるものを,$\mathcal F$が生成する$V$上の加法族とよぶ.
(4)も後述.
(5)$V\ne \varnothing$とし,$\mathcal B$を$V$上の加法族とする.$\mathcal B \backslash \{\varnothing\}$における包含関係に関する極小元を,$\mathcal B$のアトムという.$\mathcal B$のアトム全体の集合を$\rm{Atom}(\mathcal B)$と表す.

$\mathcal B,\mathcal B'$がともに$V$上の加法族であり,$\mathcal B \subset \mathcal B'$であるとき,$\mathcal B$は$\mathcal B'$の部分加法族であるという.

(4)$\mathcal B_1,\mathcal B_2$がともに$V$上の加法族であるとき,$\mathcal B_1 \cup \mathcal B_2$が生成する$V$上の加法族を$ \mathcal B_1\lor\mathcal B_2$と表す.同様に,$V$上の加法族の列$(\mathcal B_i)_{i \in I}$に対して,$\bigcup_{i \in I}\mathcal B_i$が生成する$V$上の加法族を$\bigvee_{i\in I} \mathcal B_i$と表す.

$\mathcal B$を$v$上の加法族とする.$\mathcal F\subset \mathfrak B(V)$であって,$\mathcal F$が生成する$V$上の加法族が$\mathcal B $となるものを考えるとき,$\sharp \mathcal F$として取り得る最小値
を$\mathcal B $の複雑度といい,$\rm{cpx}(\mathcal B)$と表す.とくに,$\rm{cpx}(\{\varnothing,V\})=0$である.

集合$A,B,(A\subset B)$に対し,特性関数$\mathbf 1_A:B\rightarrow \mathbb R$を
\begin{equation} \mathbf1_A(x)= \left\{ \, \begin{aligned} & 1 \quad (x\in A) \\ & 0 \quad(x\in B\backslash A)\\ \end{aligned} \right. \end{equation}
とする.

$L^2(V,\mathbb R)$を定義域が$V$で終域が$\mathbb R$であるような関数全体からなり,内積が$ \langle f,g \rangle =\mathbb E(fg|V)$で定まる実内積空間であるとする.つまり,$L^2(V,\mathbb R)$は$\mathbb R$ベクトル空間であり,内積について,次の性質が成り立つ.

(1)任意の$f\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$ \langle f,f \rangle \geq 0$であり,$ \langle f,f \rangle=0\Leftrightarrow f=0$.
(2)任意の$f,g\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$\langle f,g \rangle=\langle g,f \rangle$.
(3)任意の$\lambda,\mu \in \mathbb R,f,f',g\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$\langle \lambda f+\mu f',g \rangle=\lambda\langle f,g \rangle+\mu\langle f',g \rangle $.

$f\in L^2(V,\mathbb R)$のノルム$\| f \| \geq 0$であり,$\|f\|=\sqrt{\langle f,f \rangle}$で定義する.このとき,ノルムについて,次の性質が成り立つ.

(1)任意の$f\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$\|f\| \geq 0$であり,$ \|f\| =0\Leftrightarrow f=0$.
(2)任意の$\lambda \in \mathbb R,f\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$\|\lambda f\|=\lambda \|f\|$.
(3)任意の$f,g\in L^2(V,\mathbb R)$に対して,$|\langle f,f \rangle|\leq \|f\|\|g\|$.(コーシー・シュワルツの不等式)

$L^2(V,\mathbb R)$の部分空間$W$に対し,$W$の直行補空間$W^{\bot}$を
\begin{align} W^{\bot}=\{f\in L^2(V,\mathbb R):\forall g\in W,\langle f,g \rangle =0\} \end{align}
と定義する.

$\mathcal B$を$V$上の加法族とする.$f\in L^2(V,\mathbb R)$が$\mathcal B$可測関数であるとは,任意の$A\in \rm{\rm{Atom}}(\mathcal B)$に対して$f|_A$が定数関数であるときをいう.$\mathcal B$可測関数全体のなす$L^2(V,\mathbb R)$の部分空間を$\mathcal M(\mathcal B)$と表す.

$\mathcal B$を$V$上の加法族とする.このとき,条件付き期待値作用素$\mathbb(\cdot|\mathcal B):L^2(V,\mathbb R)\rightarrow M(\mathcal B)$を$f\in L^2(V,\mathbb R)$に対して関数$\mathbb E(f|\mathcal B):V\rightarrow \mathbb R$を
\begin{align} \mathbb E(f|\mathcal B)(x)=\mathbb E(f|\mathcal B(x)) \end{align}
と定めることによって定義する.

$\mathcal F \subset \mathfrak B(V)$を,$V\in \mathcal F$を満たす$V$の部分集合族とする.このとき,$f,f'\in L^2(V,\mathbb R)$の$\mathcal F$に関する食い違い距離$d_{\mathcal F}(f,f')$を

\begin{align} d_{\mathcal F}(f,f')=\max_{A\in \mathcal F}|\langle f-f',\mathbf 1_A\rangle|=\max_{A\in \mathcal F}|\mathbb E((f-f')\cdot\mathbf 1_A|V)| \end{align}