Day畳み込みの結合律

結合律

前回 定義したDay畳み込みには単位元が存在した．
今回はDay畳み込みには結合法則が成り立つことを確認する．
圏$\mathcal{C}\mathcal{,}\mathcal{D}$をモノイダル圏とし，$F_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}},G_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}},H_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}$をモノイダルプロ函手とする．
$$\begin{array}{rl}(F\star (G\star H){)}_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}& =\overline{\underset{\begin{array}{c}A,C\in \mathcal{C}\\ B,D\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}(G\star H{)}_{(D)}^{(C)}{\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes C)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(B\otimes D)}\\ & =\overline{\underset{\begin{array}{c}A,C\in \mathcal{C}\\ B,D\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}\left(\overline{\underset{\begin{array}{c}W,Y\in \mathcal{C}\\ X,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{G}_{(X)}^{(W)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(W\otimes Y)}^{(C)}{\mathrm{\Delta }}_{(D)}^{(X\otimes Z)}\right){\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes C)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(B\otimes D)}\end{array}$$
積とコエンドは交換するので，
$$\begin{array}{rl}& =\overline{\underset{\begin{array}{c}A,C,W,Y\in \mathcal{C}\\ B,D,X,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}{G}_{(X)}^{(W)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(W\otimes Y)}^{(C)}{\mathrm{\Delta }}_{(D)}^{(X\otimes Z)}{\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes C)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(B\otimes D)}\\ & =\overline{\underset{\begin{array}{c}A,W,Y\in \mathcal{C}\\ B,X,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}{G}_{(X)}^{(W)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes (W\otimes Y))}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(B\otimes (X\otimes Z))}\\ & \simeq \overline{\underset{\begin{array}{c}A,W,Y\in \mathcal{C}\\ B,X,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}{G}_{(X)}^{(W)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{((A\otimes W)\otimes Y)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{((B\otimes X)\otimes Z)}\\ & =\overline{\underset{\begin{array}{c}A,C,W,Y\in \mathcal{C}\\ B,D,X,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}{G}_{(X)}^{(W)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes W)}^{(C)}{\mathrm{\Delta }}_{(D)}^{(B\otimes X)}{\mathrm{\Delta }}_{(C\otimes Y)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(D\otimes Z)}\\ & =\overline{\underset{\begin{array}{c}C,Y\in \mathcal{C}\\ D,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}\left(\overline{\underset{\begin{array}{c}A,W\in \mathcal{C}\\ B,X\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}{F}_{(B)}^{(A)}{G}_{(X)}^{(W)}{\mathrm{\Delta }}_{(A\otimes W)}^{(C)}{\mathrm{\Delta }}_{(D)}^{(B\otimes X)}\right)H_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(C\otimes Y)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(D\otimes Z)}\\ & =\overline{\underset{\begin{array}{c}C,Y\in \mathcal{C}\\ D,Z\in \mathcal{D}\end{array}}{⨁}}(F\star G{)}_{(D)}^{(C)}{H}_{(Z)}^{(Y)}{\mathrm{\Delta }}_{(C\otimes Y)}^{\mathcal{C}}{\mathrm{\Delta }}_{\mathcal{D}}^{(D\otimes Z)}\\ & =((F\star G)\star H{)}_{\mathcal{D}}^{\mathcal{C}}\end{array}$$

モノイダルプロ函手の圏

モノイダル圏$\mathcal{C}\mathcal{,}\mathcal{D}$に対してモノイダルプロ函手の圏$\mathbb{Prof}(\mathcal{C}\mathcal{,}\mathcal{D})$を考えることができる．
$\mathbb{Prof}(\mathcal{C}\mathcal{,}\mathcal{D})$は対象をプロ函手$\mathcal{C}\times \mathcal{D}\to \mathbb{Set}$射をその間の自然変換で定めたものである．
このモノイダルプロ函手の圏は$(\mathbb{Prof}(\mathcal{C}\mathcal{,}\mathcal{D}),\star ,J)$の三つ組みでモノイダル圏となる．
$J$の定義は 前回 を参照すること．