【解答】雑なeの評価でlog_{10}(2)のいい評価を得られる話

まえがき

こんにちは、高3のぱぺです。
まだ別の問題記事(9月)の解答とか書いてないです。まずいね。

本題

まだ見ていない方はこちらをご覧ください。
→ 問題部分の記事

問題を再掲します。

以下解答です。
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解答$\text{(1)}$

$f(x)$ が $x>0$ で単調増加であることを示す。

$x>0$ のとき $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x}$ の両辺が正より

$\displaystyle \log f(x)=x\log\left(1+\frac{1}{x}\right)$
これの両辺を微分して
\begin{aligned} g(x):= \frac{f'(x)}{f(x)}&=\frac{d}{dx} \left\{x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)\right\}\\ &=\log\left(1+\frac{1}{x}\right)+x\cdot\left(\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}\right)\\ &=\log\left(x+1\right)-\log{x}-\frac{1}{x+1} \end{aligned}

\begin{aligned} g'(x)&=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x}+\frac{1}{\left(x+1\right)^2} \\ &=-\frac{1}{x\left(x+1\right)^2} \end{aligned}

より、$x>0$ で $g'(x)<0$ ($g(x)$は単調減少)であり、これと
\begin{aligned} \lim_{x\rightarrow ∞} g(x) &=\lim_{x\rightarrow∞} \left\{\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}\right\} \\ &=\log{1}-0 \\ &=0 \end{aligned}
であることから、$x>0$ で $g(x)>0$.
したがって、$x>0$ で $f'(x)=f(x)\cdot g(x)>0$ であるので、$f(x)$ は単調増加。

$\displaystyle f(2)=\frac{9}{4}, \quad \lim_{x\rightarrow ∞}f(x)=e$ かつ

$f(x)$ の単調増加性から「$x>2$ のとき $\displaystyle f(2)< f(x)<\lim_{x\rightarrow ∞} f(x)$」より、

「$x>2$ のとき $\displaystyle \frac{9}{4}< f(x)< e$」

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解答$\text{(2)}$

$\text{(1)}$ の $f(x)$ を用いる。
$\displaystyle A=\frac{2^{400}}{10^{120}}=\left(\frac{2^{10}}{10^3}\right)^{40}$ として、上下から評価する。

上からの評価

\begin{aligned} A =\left(1.024\right)^{40} &<\left(1.025\right)^{40} \\ &=\left(1+\frac{1}{40}\right)^{40} \\ &=f(40) \\ &< e \end{aligned}

下からの評価

\begin{aligned} A&=\left(1+\frac{3}{125}\right)^{40} >\left(1+\frac{1}{42}\right)^{40} \\ \\ &=\left(1+\frac{1}{42}\right)^{42}\cdot \left(1+\frac{1}{42}\right)^{-2} =f(42)\cdot\frac{42^2}{43^2} \\ \\ &>\frac{9}{4}\cdot\frac{42^2}{43^2}\quad\left(=\frac{3969}{1849}=2.14\cdots\right)>2 \end{aligned}

したがって、$\displaystyle 2< A< e $ を得るので、両辺$10^{120}$倍して

$$2\times 10^{120} < 2^{400} < e\times 10^{120}$$

$e<2.8$ であるから、

$2.0\times 10^{120}<2^{400}<2.8\times10^{120}$.

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解答$\text{(3)}$

$\text{(2)}$ より $2\times10^{120}<2^{400}<2.8\times10^{120}$
したがって $10^{120}<2^{399}<1.4\times10^{120}$.

ここで、$1.4<\sqrt{2}$ であるから、
$10^{120}<2^{399}<\sqrt{2}\times10^{120}$

この両辺に底が$10$の対数をとると、$x=\log_{10}{2}$ とおいて、
$\displaystyle 120<399x<120+\frac{1}{2}x$

したがって、$\displaystyle \frac{120}{399}< x<\frac{120}{399-\frac{1}{2}} $ すなわち $\displaystyle \frac{40}{133}<\log_{10}{2}<\frac{240}{797} $

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ここで、$\displaystyle \frac{40}{133}\approx 0.3007518\cdots ,\quad \frac{240}{797}\approx 0.301129\cdots$ より、

$0.30075<\log_{10}{2}<0.30113$ が得られる。

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更新欄

2025.11/23.8:30 更新
2025.11/23.12:20 誤：$\displaystyle A=\frac{2^{400}}{10^{30}}$ → 正：$\displaystyle A=\frac{2^{400}}{10^{120}}$