【問題】雑なeの評価でlog_{10}(2)のいい評価を得られる話

まえがき

こんにちは、ぱぺです。
最近遅刻ばっかり。先週担任の先生にきつく釘を刺されたので善処します。

つい数日前、なんとなく数学をしていたところ思いついたものがありました：

$$10^{120}<2^{399}<2\times10^{120}$$
つまり、「$2^{399}$が$121$桁の整数で、その最高位が$1$である」こと。

これを$\log_{10}{2}$ の近似値を使わずに求められるということに気づいたので、逆にこれで$\log_{10}{2}$をうまく評価することにしました。それが次の問題です。

雑なeの評価で $\log_{10}{2}$ のいい評価を得られる話

以下の問いに答えよ。必要であれば、$2.7< e<2.8$ を用いてよい。

$\text{(1)}$ $\displaystyle f(x)=\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x} \left(x>0\right) $ を定める。このとき、「$x>2$ ならば $\displaystyle \frac{9}{4}< f(x)< e $」を示せ。

$\text{(2)}$ $2.0\times 10^{120}<2^{400}<2.8\times10^{120}$ を示せ。

$\text{(3)}$ $0.30075<\log_{10}{2}<0.30113$ を示せ。

(11/14 $(3)$の数値にミスが見つかりました。正しくは$0.30112\rightarrow 0.30113$ (訂正済))

$ $

簡単にいえば、雑な評価 $2.7< e<2.8$ を用いて $0.300<\log_{10}{2}<0.302$ を導く 問題です。個人的にかなりすごいことを見つけたなと思っています。ぜひ問題に挑戦してこれを導いていただければと思います。

解答等は1週間後(11/19)以降に掲載する予定です。
別の問題記事の解説にまだ手をつけられていないので、なるべくそっちも進めます。泣。
コメントや引用、Twitterでも解答を募集しています。

【解答】雑なeの評価でlog_{10}(2)のいい評価を得られる話
https://mathlog.info/articles/B5iA8jxUPBN7MCL2X0Sj

$ $

$ $

2025.11/12.15:40 投稿
2025.11/14.16:00 問題1 設問$(3)$数値訂正：$0.30112\rightarrow0.30113$

投稿日：22日前

更新日：11日前

高評価したユーザはいません

バッジはありません。

2747

高校3年のぱぺです。文章を作るのは苦手です。数学は好きで、かつ学年の中では数学が得意なほうです。ここでは、①作問の投稿　②高校数学のいろいろの投稿　③「問題解いてみる」系投稿　を行います。

コメントはありません。

読み込み中