リー代数1.2.1　イデアルと準同型　

リー代数のイデアル

イデアルは$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数になっている。
例　$\{0\}$や$L$は自明な$L$のイデアルである。

$\mathrm{Lie}$代数のイデアルは、群論の正規部分群、環論のイデアルと対応する。
例えば、準同型の核としてあらわれる。

中心$Z(L)$は$L$のイデアルの例となっている。
また、$Z(L)=L⟺L$は可換$\mathrm{Lie}$代数　は明らか。

導来$\mathrm{Lie}$代数もイデアルの例となっている。（ので導来イデアルといったりする。）

例　$[{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})]={\mathfrak{sl}}_{\mathfrak{n}}\mathfrak{(}\mathbb{F}),[{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})]={\mathfrak{sl}}_{\mathfrak{n}}\mathfrak{(}\mathbb{F})$が成り立つ。

（証明）$X,Y\in {\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})$を任意にとると、$\mathrm{Tr}(XY-YX)=0$より、$[X,Y]\in {\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})$
したがって、$[{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})]\subset {\mathfrak{sl}}_{\mathfrak{n}}\mathfrak{(}\mathbb{F})$が成り立つ。($[{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})]\subset {\mathfrak{sl}}_{\mathfrak{n}}\mathfrak{(}\mathbb{F})$もわかる)

${\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})$の基底として、$\{E_{ij},E_{ii}-E_{jj}|i\ne j\}$を選ぶ。
$[E_{ii}-E_{jj},E_{ij}]=[E_{ii},E_{ij}]-[E_{jj},E_{ij}]=E_{ij}+E_{ij}=2E_{ij}$
$[E_{ij},E_{ji}]=E_{ii}-E_{jj}$であるので、$\{E_{ij},E_{ii}-E_{jj}|i\ne j\}\subset [{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})]$
したがって、${\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})\subset [{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})]$(${\mathfrak{sl}}_n(\mathbb{F})\subset [{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F}),{\mathfrak{gl}}_n(\mathbb{F})]$もわかる)$◻$

$I+J$も$[I,J]$も$L$のイデアルとなる。証明は代数の教科書に載っているので割愛する。

例　$L$を非可換単純$\mathrm{Lie}$代数とする。このとき、$Z(L)=\{0\},[L,L]=L$

証明　$Z(L)$は$L$のイデアルなので、$L$の単純性より、$Z(L)=\{0\}$or$L$となる。
$L$は非可換なので、$Z(L)\ne L$.ゆえに、$Z(L)=\{0\}$
同様に、$[L,L]$も$L$のイデアルなので、$[L,L]=\{0\}$or$L$である。
$L$は非可換なので、$[L,L]\ne \{0\}$.ゆえに、$[L,L]=L$ $◻$

　これが$\mathrm{Lie}$代数であることを確認しよう。

　証明　$x\in L$に対し、$\bar{x}\in L/I$を$\bar{x}:=\{y\in L|y-x\in I\}=x+I$であった。
　$L/I$が線型空間であることは、認めておこう。つまり、和とスカラー倍はwell-definedであるということである。式で書くと、$k\in \mathbb{F},x,y\in L$として、$\overline{x+y}=\bar{x}+\bar{y},\overline{kx}=k\bar{x}$は認めるということである。
かっこ積を定義しよう。$L$のかっこ積を、$[\cdot ,\cdot {]}_L$と書くことにしよう。
このとき、$\bar{x},\bar{y}$に対し、$[\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}:={\overline{[x,y]}}_L$で定める。

まず、かっこ積がwell-definedかどうかを確認する。つまり、代表元の取り方に依らないことを示す。
$x,x^{\prime }y,y^{\prime }\in L$として、$\bar{x}=\overline{x^{\prime }},\bar{y}=\overline{y^{\prime }}$としよう。
このとき、商線型空間の定義から、$x^{\prime }-x,y^{\prime }-y\in I$であるので、
ある$a,b\in I$が存在して、$x^{\prime }-x=a,y^{\prime }-y=b$とかける。
つまり、$x^{\prime }=x+a,y^{\prime }=y+b$である。
$[x^{\prime },y^{\prime }{]}_L=[x+a,y+b{]}_L=[x,y{]}_L+[a,y{]}_L+[x,a{]}_L+[a,b{]}_L$
$I$はイデアルなので、$[a,y{]}_L,[x,a{]}_L,[a,b{]}_L\in I$　
つまり、$[a,y{]}_L+[x,a{]}_L+[a,b{]}_L\in I$
よって、$[x^{\prime },y^{\prime }{]}_L-[x,y{]}_L\in I$ これより、かっこ積はwell-definedである。

$k\in \mathbb{F},x,y,z\in L$とする。
$\cdot$かっこ積の双線型性
$\begin{array}{rl}[\bar{x}+\bar{y},\bar{z}{]}_{L/I}& =[\overline{x+y},\bar{z}{]}_{L/I}\\ & ={\overline{[x+y,z]}}_L\\ & =\overline{[x,z{]}_L+[y,z{]}_L}\\ & ={\overline{[x,z]}}_L+{\overline{[y,z]}}_L\\ & =[\bar{x},\bar{z}{]}_{L/I}+[\bar{y},\bar{z}{]}_{L/I}\end{array}$

つまり、$[\bar{x}+\bar{y},\bar{z}{]}_{L/I}=[\bar{x},\bar{z}{]}_{L/I}+[\bar{y},\bar{z}{]}_{L/I}$

$\begin{array}{rl}[k\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}& =[\overline{kx},\bar{y}{]}_{L/I}\\ & ={\overline{[kx,y]}}_L\\ & ={\overline{k[x,y]}}_L\\ & =k{\overline{[x,y]}}_L\\ & =k[\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}\end{array}$

つまり、$[k\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}=k[\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}$
したがって、第1成分の線型性が言えた。第2成分も同様にしてわかる。

$\cdot$　交代性$[\bar{x},\bar{x}{]}_{L/I}={\overline{[x,x]}}_L=\bar{0}$よりわかる。

$\cdot$ $\mathrm{Jacobi}$律
$\begin{array}{rl}& [\bar{x},[\bar{y},\bar{z}{]}_{L/I}{]}_{L/I}+[\bar{y},[\bar{z},\bar{x}{]}_{L/I}{]}_{L/I}+[\bar{z},[\bar{x},\bar{y}{]}_{L/I}{]}_{L/I}\\ & =[\bar{x},{\overline{[y,z]}}_L{]}_{L/I}+[\bar{y},{\overline{[z,x]}}_L{]}_{L/I}+[\bar{z},{\overline{[x,y]}}_L{]}_{L/I}\\ & ={\overline{[x,[y,z{]}_L]}}_L+{\overline{[y,[z,x{]}_L]}}_L+{\overline{[z,[x,y{]}_L]}}_L\\ & =\overline{[x,[y,z{]}_L{]}_L+[y,[z,x{]}_L{]}_L+[z,[x,y{]}_L{]}_L}=\bar{0}\end{array}$
よりわかる。したがって、$L/I$は$\mathrm{Lie}$代数である。$◻$

$K$が$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数である必要はないというのはオドロキなのだ。

　証明　$L$や$K$を定義7のものとして示す。
　$\cdot N_L(K)$が部分線型空間であること
$x,y\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[x+y,K]=\{[x+y,z]|z\in K\}$であるので、
$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$と$K$は$L$の部分線型空間より$[x+y,z]\in K$
$\therefore [x+y,K]\subset K$ $\therefore x+y\in N_L(K)$
$k\in \mathbb{F},x\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[kx,K]=\{[kx,y]|y\in K\}$であるので、
$[kx,y]=k[x,y]$と$K$は$L$の部分線型空間より$k[x,y]\in K$
$\therefore [kx,K]\subset K$ $\therefore kx\in N_L(K)$
$\therefore N_L(K)$は部分線形空間である

$\cdot N_L(K)$が部分$\mathrm{Lie}$代数であること
$x,y\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[[x,y],K]=\{[[x,y],z]|z\in K\}$であるので、$\mathrm{Jacobi}$律より、
$[[x,y],z]=-[[y,z],x]-[[z,x],y]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]$
$x,y\in N_L(K)$より、$[x,z],[y,z]\in K$なので、さらに、
$[x,[y,z]],[y,[x,z]]\in K$となり、$K$が部分線型空間より、$[x,[y,z]]-[y,[x,z]]\in K$
$\therefore [[x,y],z]\in K\therefore [[x,y],K]\subset K\therefore [x,y]\in N_L(K)$
$\therefore$ $N_L(K)$は部分$\mathrm{Lie}$代数である　$◻$

　証明　$K$を$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数より、$x\in K$に対し、$[x,K]\subset K$ $\therefore K\subset N_L(K)$

定義から明らかに、$C_L(L)=Z(L)$である。

　証明　$L$や$K$を定義8のものとして示す。
$\cdot C_L(K)$が部分線型空間であること
$x,y\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[x+y,K]=\{[x+y,z]|z\in K\}$であるので、$x,y\in C_L(K)$より、
$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]=0$　$\therefore [x+y,K]=\{0\}$ $\therefore x+y\in C_L(K)$
$k\in \mathbb{F},x\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[kx,K]=\{[kx,y]|y\in K\}$であるので、$x\in C_L(K)$より、
$[kx,y]=k[x,y]=0$より、$[kx,K]=\{0\}$ $\therefore kx\in C_L(K)$
$\therefore C_L(K)$は部分線型空間である

$\cdot C_L(K)$が部分$\mathrm{Lie}$代数であること
$x,y\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[[x,y],K]=\{[[x,y],z]|z\in K\}$であるので、$\mathrm{Jacobi}$律より、
$[[x,y],z]=-[[y,z],x]-[[z,x],y]$
$x,y\in C_L(K)$より、$[x,z]=[y,z]=0\therefore [[x,y],z]=0$
$\therefore [[x,y],K]=\{0\}$ $\therefore [x,y]\in C_L(K)$
$\therefore$ $C_L(K)$は部分$\mathrm{Lie}$代数である　$◻$