リー代数1.2.1　イデアルと準同型　

リー代数のイデアル

イデアルは$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数になっている。
例　$\set{0}$や$L$は自明な$L$のイデアルである。

$\mathrm{Lie}$代数のイデアルは、群論の正規部分群、環論のイデアルと対応する。
例えば、準同型の核としてあらわれる。

中心$Z(L)$は$L$のイデアルの例となっている。
また、$Z(L)=L\Longleftrightarrow L$は可換$\mathrm{Lie}$代数　は明らか。

導来$\mathrm{Lie}$代数もイデアルの例となっている。（ので導来イデアルといったりする。）

例　$[\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})]=\mathfrak{sl_n(\mathbb{F})},[\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})]=\mathfrak{sl_n(\mathbb{F})}$が成り立つ。

（証明）$X,Y\in \mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})$を任意にとると、$\mathrm{Tr}(XY-YX)=0$より、$[X,Y]\in \mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})$
したがって、$[\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})]\subset \mathfrak{sl_n(\mathbb{F})}$が成り立つ。($[\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})]\subset \mathfrak{sl_n(\mathbb{F})}$もわかる)

$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})$の基底として、$\set{E_{ij},E_{ii}-E_{jj}\,|\,i\neq j}$を選ぶ。
$[E_{ii}-E_{jj},E_{ij}]=[E_{ii},E_{ij}]-[E_{jj},E_{ij}]=E_{ij}+E_{ij}=2E_{ij}$
$[E_{ij},E_{ji}]=E_{ii}-E_{jj}$であるので、$\set{E_{ij},E_{ii}-E_{jj}\,|\,i\neq j}\subset [\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})]$
したがって、$\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})\subset [\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})]$($\mathfrak{sl}_n(\mathbb{F})\subset [\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F}),\mathfrak{gl}_n(\mathbb{F})]$もわかる)$\Box$

$I+J$も$[I,J]$も$L$のイデアルとなる。証明は代数の教科書に載っているので割愛する。

例　$L$を非可換単純$\mathrm{Lie}$代数とする。このとき、$Z(L)=\set0,[L,L]=L$

証明　$Z(L)$は$L$のイデアルなので、$L$の単純性より、$Z(L)=\set0$or$L$となる。
$L$は非可換なので、$Z(L)\neq L$.ゆえに、$Z(L)=\set0$
同様に、$[L,L]$も$L$のイデアルなので、$[L,L]=\set0$or$L$である。
$L$は非可換なので、$[L,L]\neq \set0$.ゆえに、$[L,L]=L$ $\Box$

　これが$\mathrm{Lie}$代数であることを確認しよう。

　証明　$x\in L$に対し、$\overline{x}\in L/I$を$\overline{x}:=\set{y\in L\,|\,y-x\in I}=x+I$であった。
　$L/I$が線型空間であることは、認めておこう。つまり、和とスカラー倍はwell-definedであるということである。式で書くと、$k\in \mathbb{F},x,y\in L$として、$\overline{x+y}=\overline{x}+\overline{y},\overline{kx}=k\overline{x}$は認めるということである。
かっこ積を定義しよう。$L$のかっこ積を、$[\cdot ,\cdot]_L$と書くことにしよう。
このとき、$\overline{x},\overline{y}$に対し、$[\overline{x},\overline{y}]_{L/I}:=\overline{[x,y]}_L$で定める。

まず、かっこ積がwell-definedかどうかを確認する。つまり、代表元の取り方に依らないことを示す。
$x,x'y,y'\in L$として、$\overline{x}=\overline{x'},\overline{y}=\overline{y'}$としよう。
このとき、商線型空間の定義から、$x'-x,y'-y\in I$であるので、
ある$a,b\in I$が存在して、$x'-x=a,y'-y=b$とかける。
つまり、$x'=x+a,y'=y+b$である。
$[x',y']_L=[x+a,y+b]_L=[x,y]_L+[a,y]_L+[x,a]_L+[a,b]_L$
$I$はイデアルなので、$[a,y]_L,[x,a]_L,[a,b]_L\in I$　
つまり、$[a,y]_L+[x,a]_L+[a,b]_L\in I$
よって、$ [x',y']_L-[x,y]_L\in I$ これより、かっこ積はwell-definedである。

$k\in \mathbb{F},x,y,z\in L$とする。
$\cdot$かっこ積の双線型性
$\hspace{70pt}\begin{align}[\overline{x}+\overline{y},\overline{z}]_{L/I} &=[\overline{x+y},\overline{z}]_{L/I} \\ &=\overline{[x+y,z]}_L\\ &=\overline{[x,z]_L+[y,z]_L}\\ &=\overline{[x,z]}_L+\overline{[y,z]}_L\\ &=[\overline{x},\overline{z}]_{L/I}+[\overline{y},\overline{z}]_{L/I}\end{align}$

つまり、$ [\overline{x}+\overline{y},\overline{z}]_{L/I}=[\overline{x},\overline{z}]_{L/I}+[\overline{y},\overline{z}]_{L/I}$

$\hspace{80pt}\begin{align} [k\overline{x},\overline{y}]_{L/I} &=[\overline{kx},\overline{y}]_{L/I} \\ &=\overline{[kx,y]}_L \\ &=\overline{k[x,y]}_L \\ &=k\overline{[x,y]}_L \\ &=k[\overline{x},\overline{y}]_{L/I} \end{align}$

つまり、$[k\overline{x},\overline{y}]_{L/I}=k[\overline{x},\overline{y}]_{L/I} $
したがって、第1成分の線型性が言えた。第2成分も同様にしてわかる。

$\cdot$　交代性$ \hspace{40pt}[\overline{x},\overline{x}]_{L/I}=\overline{[x,x]}_L=\overline{0}$よりわかる。

$\cdot$ $\mathrm{Jacobi}$律
$ \begin{align} &\hspace{20pt}[\overline{x},[\overline{y},\overline{z}]_{L/I} ]_{L/I}+[\overline{y},[\overline{z},\overline{x}]_{L/I} ]_{L/I}+[\overline{z},[\overline{x},\overline{y}]_{L/I} ]_{L/I} \\ &=[\overline{x},\overline{[y,z]}_L ]_{L/I}+[\overline{y},\overline{[z,x]}_L ]_{L/I}+[\overline{z},\overline{[x,y]}_L ]_{L/I} \\ &=\overline{[x,[y,z]_L]}_L+\overline{[y,[z,x]_L]}_L+\overline{[z,[x,y]_L]}_L \\ &=\overline{[x,[y,z]_L]_L+[y,[z,x]_L]_L+[z,[x,y]_L]_L}=\overline{0}\end{align}$
よりわかる。したがって、$L/I$は$\mathrm{Lie}$代数である。$\Box$

$K$が$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数である必要はないというのはオドロキなのだ。

　証明　$L$や$K$を定義7のものとして示す。
　$\cdot　N_L(K)$が部分線型空間であること
$x,y\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[x+y,K]=\set{[x+y,z]\,|\,z\in K}$であるので、
$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]$と$K$は$L$の部分線型空間より$[x+y,z]\in K$
$\therefore [x+y,K]\subset K$ $\therefore x+y\in N_L(K)$
$k\in \mathbb{F},x\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[kx,K]=\set{[kx,y]\,|\,y\in K}$であるので、
$[kx,y]=k[x,y]$と$K$は$L$の部分線型空間より$k[x,y]\in K$
$\therefore [kx,K]\subset K$ $\therefore kx\in N_L(K)$
$\therefore　N_L(K)$は部分線形空間である

$\cdot　N_L(K)$が部分$\mathrm{Lie}$代数であること
$x,y\in N_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[[x,y],K]=\set{[[x,y],z]\,|\,z\in K}$であるので、$\mathrm{Jacobi}$律より、
$[[x,y],z]=-[[y,z],x]-[[z,x],y]=[x,[y,z]]-[y,[x,z]]$
$x,y\in N_L(K)$より、$[x,z],[y,z]\in K$なので、さらに、
$[x,[y,z]],[y,[x,z]]\in K$となり、$K$が部分線型空間より、$[x,[y,z]]-[y,[x,z]]\in K$
$\therefore [[x,y],z]\in K \,\therefore [[x,y],K]\subset K \,\therefore [x,y]\in N_L(K)$
$\therefore$ $N_L(K)$は部分$\mathrm{Lie}$代数である　$\Box$

　証明　$K$を$L$の部分$\mathrm{Lie}$代数より、$x\in K$に対し、$[x,K]\subset K$ $\therefore K\subset N_L(K)$

定義から明らかに、$C_L(L)=Z(L)$である。

　証明　$L$や$K$を定義8のものとして示す。
$\cdot　C_L(K)$が部分線型空間であること
$x,y\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[x+y,K]=\set{[x+y,z]\,|\,z\in K}$であるので、$x,y\in C_L(K)$より、
$[x+y,z]=[x,z]+[y,z]=0$　$\therefore [x+y,K]=\set0$ $\therefore x+y\in C_L(K)$
$k\in \mathbb{F},x\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[kx,K]=\set{[kx,y]\,|\,y\in K}$であるので、$x\in C_L(K)$より、
$[kx,y]=k[x,y]=0$より、$[kx,K]=\set0$ $\therefore kx\in C_L(K)$
$\therefore　C_L(K)$は部分線型空間である

$\cdot　C_L(K)$が部分$\mathrm{Lie}$代数であること
$x,y\in C_L(K)$を任意にとる。
このとき、$[[x,y],K]=\set{[[x,y],z]\,|\,z\in K}$であるので、$\mathrm{Jacobi}$律より、
$[[x,y],z]=-[[y,z],x]-[[z,x],y]$
$x,y\in C_L(K)$より、$[x,z]=[y,z]=0 \,\therefore [[x,y],z]=0$
$\therefore [[x,y],K]=\set0$ $\therefore [x,y]\in C_L(K)$
$\therefore$ $C_L(K)$は部分$\mathrm{Lie}$代数である　$\Box$