両側Noetherであることと任意の両側イデアルの上昇列が有限で停滞することの間にあるギャップ

両側イデアルは左イデアル(resp.右イデアル)でもあるため。

$K$:可換体
$F$:$K$の拡大可換体
$[F:K]=\infty$とする。

$R=\bigg\{ \begin{pmatrix} a & x \\ 0 & b \end{pmatrix} \ |\ a \in K, x,b \in F\bigg\}$と置く。

この時、$R$の任意の両側イデアルの上昇列は停滞するが、停滞しない左イデアルの上昇列が存在する。

[$R$は環]
略

[停滞しない左イデアルの上昇列の存在]
$F$は$K$上の無限次元ベクトル空間であるから、$F$の中には真に増大し続ける$K$ベクトル空間が存在する。

それを
$W_0 \subsetneq W_1 \subsetneq W_2 \subsetneq \cdots$
と置く。

ここで、$I_i$を次のように定義する。
$I_i = \bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & w \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ |\ w \in W_i\bigg\}$

[$I_i$は$R$の左イデアル]

$W_i$は真に増大するから、$I_i$も真に増大する。

したがって、$R$は左Noetherでない。

[任意の両側イデアルの上昇列は停滞する]
$N = \bigg\{ \begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \ |\ x \in F\bigg\}$
と置くと、これは$R$の両側イデアル。

[$R$の$(0)$でないイデアル$J$に対し、$N \subset J$]
$\begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in N$を取る。

$J$が0でない元$\begin{pmatrix} a & y \\ 0 & b \end{pmatrix}$を持つとする。

[$a\not=0$の場合]
右から$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in R$を掛けると$\begin{pmatrix} 0 & a \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$となる。
$a \in K$で$a \neq 0$なので、左から$\begin{pmatrix} a^{-1} & 0 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in R$を掛けることで$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$が得られる。
更に、右から$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & x \end{pmatrix} \in R$を掛けることで、$\begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$が得られる。

[$b\not=0$の場合]
左から$\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in R$を掛けると
$\begin{pmatrix} 0 & b \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$となる。
$b \in F$で$b \neq 0$なので、右から$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & b^{-1}x \end{pmatrix}$を掛けることで
$\begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$が得られる。

[$a=0$かつ$b=0$の場合]
元は$\begin{pmatrix} 0 & y \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$（$y \neq 0$）の形である。
右から$\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0 & y^{-1}x \end{pmatrix} \in R$を掛ければ、$\begin{pmatrix} 0 & x \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \in J$が得られる。

よって、$N \subset J$

$N$を含む両側イデアルは$R/N$の両側イデアルと一対一に対応する。

また、$R/N \simeq_{\mathrm{Ring}}K\times F$であり、$K,F$は可換体であるから、$K \times F$は自明なイデアル$(0),K \times (0),(0) \times F,K\times F$しか持たない。

従って、$R$の両側イデアルは零イデアルを含めて5個しかない。

よって、任意の両側イデアルの上昇列は停滞する。

上の証明で作った環を$R_0$とし、
$R_1=\bigg\{ \begin{pmatrix} a & x \\ 0 & b \end{pmatrix} \ |\ b \in K, a,x \in F\bigg\}$と置く。

上の証明と同様に、$R_1$は両側Noetherだが右Noetherでない環であることが示される。

$R=R_0 \times R_1$と置くと、これは両側Noetherだが、左Noetherでも右Noetherでもない。

[$R$は両側Noether]
$R$は高々25個の両側イデアルしか持たないから、両側Noether。

[$R$は左Noetherでも右Noetherでもない]
$R_0$の停滞しない左イデアルの上昇列$(I_n)_{n \in \mathbb{N}}$を取ると、$(I_n \times \{0\})_{n \in \mathbb{N}}$は$R$の停滞しない左イデアルの上昇列。

$R_1$の停滞しない右イデアルの上昇列$(J_n)_{n \in \mathbb{N}}$を取ると、$(\{0\} \times J_n)_{n \in \mathbb{N}}$は$R$の停滞しない右イデアルの上昇列。