むかしわからなかった積分の解法（積分の作問もあり）

　最初に、オイラーの恒等式を使用して変形する。
$$ \begin{align} \int_0^1\frac{\sin\pi x}{x^x(1-x)^{(1-x)}}\,dx &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_0^1\frac{e^{i\pi x}}{e^{x\ln x}\cdot e^{-x\ln(1-x)}}\cdot\frac{1}{1-x}\cdot dx\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_0^1\frac{e^{i\pi x}}{e^{x\ln(x/(1-x))}}\cdot\frac{1}{1-x}\cdot dx\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_0^1\exp\left[-x\left\{\ln\left(\frac{x}{1-x}\right)-i\pi\right\}\right]\cdot\frac{1}{1-x}\cdot dx \end{align} $$
　そして、次に、$\displaystyle t=\ln\left(\frac{x}{1-x}\right)\Leftrightarrow x=\frac{e^t}{e^t+1},\ dx=\left(\frac{e^t}{(e^t+1)^2}\right)\,dt$なる置換を考える。
$$ \begin{align} \phantom{\int_0^1\frac{\sin\pi x}{x^x(1-x)^{(1-x)}}\,dx} &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty}^{+\infty}\exp\left(-\frac{e^t}{e^t+1}(t-i\pi)\right)\cdot\left(\frac{1}{1-e^t/(e^t+1)}\right)\cdot\left(\frac{e^t}{(e^t+1)^2}\right)\,dt\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-(t-i\pi)(e^t/(e^t+1))}\left(\frac{e^t}{e^t+1}\right)\,dt\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{e^{i\pi+(t-i\pi)/(e^t+1)}}{e^t+1}\,dt\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{-e^{(t-i\pi)/(e^t+1)}}{e^t+1}\,dt \end{align} $$
　さらに、$t\mapsto t+i\pi$なる置換をも実行すると、被積分関数はより簡単になる。
$$ \begin{align} \phantom{\int_0^1\frac{\sin\pi x}{x^x(1-x)^{(1-x)}}\,dx} &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty-i\pi}^{+\infty-i\pi}\frac{-e^{t/(e^{t+i\pi}+1)}}{e^{t+i\pi}+1}\,dt\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty-i\pi}^{+\infty-i\pi}\frac{-e^{t/(-e^t+1)}}{-e^t+1}\,dt\\ &=\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty-i\pi}^{+\infty-i\pi}\frac{e^{-t/(e^t-1)}}{e^t-1}\,dt\\ &\eqqcolon\varOmega. \end{align} $$
　ここで、次に示す周回積分を考察する。ただし、位数$1$の極$z\in2i\pi\,\mathbb{Z}$を考慮して決定した積分径路であるが、反時計回りでありかつ正数$R>\pi$であるとする。
$$ \begin{align} \oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz &\coloneqq\mathop{\left(\int_{+R+i\pi}^{-R+i\pi}+\int_{-R+i\pi}^{-R-i\pi}+\int_{-R-i\pi}^{+R-i\pi}+\int_{+R-i\pi}^{+R+i\pi}\right)}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz\\ &=\int_{+R+i\pi}^{-R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz+\int_{-R+i\pi}^{-R-i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz+\int_{-R-i\pi}^{+R-i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz+\int_{+R-i\pi}^{+R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz\\ &=-\underline{\int_{-R+i\pi}^{+R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz}_{I_+}+\underline{\int_{-R-i\pi}^{+R-i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz}_{I_-}+\underline{\int_{+R-i\pi}^{+R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz}_{J_+}-\underline{\int_{-R-i\pi}^{-R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz}_{J_-}.\\ &\tag{\dagger} \end{align} $$
　最左辺の周回積分はコーシーの留数定理が適用可能。
$$ \begin{align} \oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz &=2i\pi\cdot\mathop{\mathrm{Res}_{z=0}}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\\ &=2i\pi\cdot\frac{1}{(1-1)!}\cdot\lim_{z\to0}\frac{d^{1-1}}{dz^{1-1}}\left((z-0)^1\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\right)\\ &=2i\pi\cdot\lim_{z\to0}\left(\left(\frac{z}{e^z-1}\right)\mathbin{}\middle/\mathbin{}\exp\left(\frac{z}{e^z-1}\right)\right)\\ &=2i\pi/e. \end{align} $$
なお、任意の正数$R\in\mathbb{R}^+$について成立する等式のゆえ、同積分は極限値が存在しその値は等しい。
$$\lim_{R\to\infty}\oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz=2i\pi/e.$$
　最右辺について、積分$I_+$および$I_-$については複素共役の関係である。
$$I_+=\bar{I}_-\quad\Longleftrightarrow\quad -I_++I_-=2i\cdot\mathop{\mathrm{Im}}I_-.$$
というのも、
$$ \begin{align} \int_{-R+i\pi}^{+R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz &=\int_{-R}^{+R}\frac{e^{-(r+i\pi)/(e^{r+i\pi}-1)}}{e^{r+i\pi}-1}\,dr\\ &=\int_{-R}^{+R}\frac{e^{-(\overline{r-i\pi})/(e^\overline{r-i\pi}-1)}}{e^\overline{r-i\pi}-1}\,dr\\ &=\int_{-R}^{+R}\frac{\overline{e^{-(r-i\pi)/(e^{r-i\pi}-1)}}}{\overline{e^{r-i\pi}}-1}\,dr\\ &=\int_{-R}^{+R}\overline{\frac{e^{-(r-i\pi)/(e^{r-i\pi}-1)}}{e^{r-i\pi}-1}}\,dr\\ &=\overline{\int_{-R}^{+R}\frac{e^{-(r-i\pi)/(e^{r-i\pi}-1)}}{e^{r-i\pi}-1}\,dr} =\overline{\int_{-R-i\pi}^{+R-i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz} \end{align} $$
よりわかる。
　また、積分$J_\pm$の絶対値の評価は次のとおりとなる。なお、複合同順。
$$ \begin{align} \left|\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz\right| &\leq\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}\left|\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\right|\,|dz|\\ &\leq\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}|dz|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\right|\\ &\leq\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}|dz|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|\frac{\phantom{{}^|}1\phantom{{}^|}}{e^z-1}\right|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}|e^{-z/(e^z-1)}|\\ &=\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}|dz|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|\frac{\phantom{{}^|}1\phantom{{}^|}}{e^z-1}\right|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|{}\exp\left(-\frac{\phantom{{}^|}z\phantom{{}^|}}{e^z-1}\right)\right|\\ &\leq\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}|dz|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|\frac{\phantom{{}^|}1\phantom{{}^|}}{e^z-1}\right|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|{}\exp\left(-\frac{\phantom{{}^|}{\pm}z\phantom{{}^|}}{|e^z-1|}\right)\right|\\ &\leq\int_{\pm R-i\pi}^{\pm R+i\pi}|dz|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|\frac{\phantom{{}^|}1\phantom{{}^|}}{e^z-1}\right|\cdot\sup_{z\in\boldsymbol{B}_\mathbb{C}(\pi,\pm R)}\left|{}\exp\left(-\frac{\phantom{{}^|}{\pm}z\phantom{{}^|}}{\pm e^{\pm R\pm\pi}\mp1}\right)\right|\\ &=\sqrt{(\pm R-(\pm R))^2+(+\pi-(-\pi))^2}\cdot\left(\frac{1}{\pm e^{\pm R\mp\pi}\mp1}\right)\cdot\exp\left(-\frac{+R-\pi}{\pm e^{\pm R\pm\pi}\mp1}\right)\\ &=\frac{2\pi e^{(-R+\pi)/(\pm e^{\pm R\pm\pi}\mp1)}}{\pm e^{\pm R\mp\pi}\mp1}. \end{align} $$
ゆえに、両積分の絶対値はすなわち両積分自身が零$0$に収束する。
$$0\leq|J_\pm|\leq\frac{2\pi e^{(-R+\pi)/(\pm e^{\pm R\pm\pi}\mp1)}}{\pm e^{\pm R\mp\pi}\mp1}\to0\qquad\mathrm{as}\enspace R\to\infty,$$
より
$$\lim_{R\to\infty}J_\pm=0.$$
　最後に、等式$(\dagger)$ならびに以上すべての事柄から、以下のとおり所望の積分がえられる。
$$ \begin{align} (\dagger) &&\Longleftrightarrow&&\phantom{\lim_{R\to\infty}{}}\oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz&=\phantom{\lim_{R\to\infty}(}(-I_++I_-)+J_+-J_-\phantom{)}\\ &&\Longleftrightarrow&&\phantom{\lim_{R\to\infty}{}}\oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz&=\phantom{\lim_{R\to\infty}(}2i\cdot\mathop{\mathrm{Im}}I_-+J_+-J_-\phantom{)}\\ &&\Longrightarrow&&\lim_{R\to\infty}\oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz&=\lim_{R\to\infty}(2i\cdot\mathop{\mathrm{Im}}I_-+J_+-J_-)\\ &&\Longleftrightarrow&&\lim_{R\to\infty}\oint_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz&=2i\cdot\left(\mathop{\mathrm{Im}}\lim_{R\to\infty}I_-\right)+\lim_{R\to\infty}J_+-\lim_{R\to\infty}J_-\\ &&\Longleftrightarrow&&2i\cdot\left(\frac{\pi}{e}\right)&=2i\cdot\left(\mathop{\mathrm{Im}}\lim_{R\to\infty}\int_{-R-i\pi}^{+R+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz\right)+0-0\\ &&\Longleftrightarrow&&2i\cdot\left(\frac{\pi}{e}\right)&=2i\cdot\left(\mathop{\mathrm{Im}}\int_{-\infty-i\pi}^{+\infty+i\pi}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\,dz\right)+0-0\\ &&\Longleftrightarrow&&2i\cdot\left(\frac{\pi}{e}\right)&=2i\cdot\varOmega+0-0\\ &&\Longleftrightarrow&&2i\cdot\left(\frac{\pi}{e}\right)&=2i\cdot\varOmega\\ &&\Longleftrightarrow&&\varOmega&=\frac{\pi}{e}.\\ \end{align} $$
$\square$