むかしわからなかった積分の解法（積分の作問もあり）

　最初に、オイラーの恒等式を使用して変形する。
$$\begin{array}{rl}{\int }_0^1\frac{\sin \pi x}{x^x(1-x{)}^{(1-x)}}dx& =\mathrm{Im}{\int }_0^1\frac{e^{i\pi x}}{e^{x\ln x}\cdot e^{-x\ln (1-x)}}\cdot \frac{1}{1-x}\cdot dx\\ & =\mathrm{Im}{\int }_0^1\frac{e^{i\pi x}}{e^{x\ln (x/(1-x))}}\cdot \frac{1}{1-x}\cdot dx\\ & =\mathrm{Im}{\int }_0^1\exp [-x\{\ln \left(\frac{x}{1-x}\right)-i\pi \}]\cdot \frac{1}{1-x}\cdot dx\end{array}$$
　そして、次に、${\displaystyle t=\ln \left(\frac{x}{1-x}\right)\iff x=\frac{e^t}{e^t+1},dx=\left(\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}\right)dt}$なる置換を考える。
$$\begin{array}{rl}\phantom{{\int }_0^1\frac{\sin \pi x}{x^x(1-x{)}^{(1-x)}}dx}& =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\exp (-\frac{e^t}{e^t+1}(t-i\pi ))\cdot \left(\frac{1}{1-e^t/(e^t+1)}\right)\cdot \left(\frac{e^t}{(e^t+1{)}^2}\right)dt\\ & =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{e}^{-(t-i\pi )(e^t/(e^t+1))}\left(\frac{e^t}{e^t+1}\right)dt\\ & =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\pi +(t-i\pi )/(e^t+1)}}{e^t+1}dt\\ & =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}\frac{-e^{(t-i\pi )/(e^t+1)}}{e^t+1}dt\end{array}$$
　さらに、$t\mapsto t+i\pi$なる置換をも実行すると、被積分関数はより簡単になる。
$$\begin{array}{rl}\phantom{{\int }_0^1\frac{\sin \pi x}{x^x(1-x{)}^{(1-x)}}dx}& =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }-i\pi }^{+\mathrm{\infty }-i\pi }\frac{-e^{t/(e^{t+i\pi }+1)}}{e^{t+i\pi }+1}dt\\ & =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }-i\pi }^{+\mathrm{\infty }-i\pi }\frac{-e^{t/(-e^t+1)}}{-e^t+1}dt\\ & =\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }-i\pi }^{+\mathrm{\infty }-i\pi }\frac{e^{-t/(e^t-1)}}{e^t-1}dt\\ & =:\Omega .\end{array}$$
　ここで、次に示す周回積分を考察する。ただし、位数$1$の極$z\in 2i\pi \mathbb{Z}$を考慮して決定した積分径路であるが、反時計回りでありかつ正数$R>\pi$であるとする。
$$\begin{array}{rl}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& :=({\int }_{+R+i\pi }^{-R+i\pi }+{\int }_{-R+i\pi }^{-R-i\pi }+{\int }_{-R-i\pi }^{+R-i\pi }+{\int }_{+R-i\pi }^{+R+i\pi })\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz\\ & ={\int }_{+R+i\pi }^{-R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz+{\int }_{-R+i\pi }^{-R-i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz+{\int }_{-R-i\pi }^{+R-i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz+{\int }_{+R-i\pi }^{+R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz\\ & =-{\underset{―}{{\int }_{-R+i\pi }^{+R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz}}_{I_{+}}+{\underset{―}{{\int }_{-R-i\pi }^{+R-i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz}}_{I_{-}}+{\underset{―}{{\int }_{+R-i\pi }^{+R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz}}_{J_{+}}-{\underset{―}{{\int }_{-R-i\pi }^{-R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz}}_{J_{-}}.\\ \text{(†)}& & \end{array}$$
　最左辺の周回積分はコーシーの留数定理が適用可能。
$$\begin{array}{rl}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& =2i\pi \cdot {\mathrm{Res}}_{z=0}\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\\ & =2i\pi \cdot \frac{1}{(1-1)!}\cdot \underset{z\to 0}{lim}\frac{d^{1-1}}{d{z}^{1-1}}((z-0{)}^1\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1})\\ & =2i\pi \cdot \underset{z\to 0}{lim}(\left(\frac{z}{e^z-1}\right)/\exp \left(\frac{z}{e^z-1}\right))\\ & =2i\pi /e.\end{array}$$
なお、任意の正数$R\in {\mathbb{R}}^{+}$について成立する等式のゆえ、同積分は極限値が存在しその値は等しい。
$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz=2i\pi /e.$$
　最右辺について、積分$I_{+}$および$I_{-}$については複素共役の関係である。
$$I_{+}={\overline{I}}_{-}⟺-I_{+}+I_{-}=2i\cdot \mathrm{Im}{I}_{-}.$$
というのも、
$$\begin{array}{rl}{\int }_{-R+i\pi }^{+R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& ={\int }_{-R}^{+R}\frac{e^{-(r+i\pi )/(e^{r+i\pi }-1)}}{e^{r+i\pi }-1}dr\\ & ={\int }_{-R}^{+R}\frac{e^{-(\overline{r-i\pi })/(e^{\overline{r-i\pi }}-1)}}{e^{\overline{r-i\pi }}-1}dr\\ & ={\int }_{-R}^{+R}\frac{\overline{e^{-(r-i\pi )/(e^{r-i\pi }-1)}}}{\overline{e^{r-i\pi }}-1}dr\\ & ={\int }_{-R}^{+R}\stackrel{―}{\frac{e^{-(r-i\pi )/(e^{r-i\pi }-1)}}{e^{r-i\pi }-1}}dr\\ & =\stackrel{―}{{\int }_{-R}^{+R}\frac{e^{-(r-i\pi )/(e^{r-i\pi }-1)}}{e^{r-i\pi }-1}dr}=\stackrel{―}{{\int }_{-R-i\pi }^{+R-i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz}\end{array}$$
よりわかる。
　また、積分$J_{\pm }$の絶対値の評価は次のとおりとなる。なお、複合同順。
$$\begin{array}{rl}\left|{\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz\right|& \le {\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }\left|\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\right||dz|\\ & \le {\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }|dz|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}\left|\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}\right|\\ & \le {\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }|dz|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}\left|\frac{\phantom{{}^{|}}1\phantom{{}^{|}}}{e^z-1}\right|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}|e^{-z/(e^z-1)}|\\ & ={\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }|dz|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}\left|\frac{\phantom{{}^{|}}1\phantom{{}^{|}}}{e^z-1}\right|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}|\exp (-\frac{\phantom{{}^{|}}z\phantom{{}^{|}}}{e^z-1})|\\ & \le {\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }|dz|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}\left|\frac{\phantom{{}^{|}}1\phantom{{}^{|}}}{e^z-1}\right|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}|\exp (-\frac{\phantom{{}^{|}}\pm z\phantom{{}^{|}}}{|e^z-1|})|\\ & \le {\int }_{\pm R-i\pi }^{\pm R+i\pi }|dz|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}\left|\frac{\phantom{{}^{|}}1\phantom{{}^{|}}}{e^z-1}\right|\cdot \underset{z\in {\mathit{B}}_{\mathbb{C}}(\pi ,\pm R)}{sup}|\exp (-\frac{\phantom{{}^{|}}\pm z\phantom{{}^{|}}}{\pm e^{\pm R\pm \pi }\mp 1})|\\ & =\sqrt{(\pm R-(\pm R){)}^2+(+\pi -(-\pi ){)}^2}\cdot \left(\frac{1}{\pm e^{\pm R\mp \pi }\mp 1}\right)\cdot \exp (-\frac{+R-\pi }{\pm e^{\pm R\pm \pi }\mp 1})\\ & =\frac{2\pi e^{(-R+\pi )/(\pm e^{\pm R\pm \pi }\mp 1)}}{\pm e^{\pm R\mp \pi }\mp 1}.\end{array}$$
ゆえに、両積分の絶対値はすなわち両積分自身が零$0$に収束する。
$$0\le |J_{\pm }|\le \frac{2\pi e^{(-R+\pi )/(\pm e^{\pm R\pm \pi }\mp 1)}}{\pm e^{\pm R\mp \pi }\mp 1}\to 0\mathrm{as}R\to \mathrm{\infty },$$
より
$$\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_{\pm }=0.$$
　最後に、等式$(†)$ならびに以上すべての事柄から、以下のとおり所望の積分がえられる。
$$\begin{array}{rlrlrl}(†)& & ⟺& & \phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& =\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}(}(-I_{+}+I_{-})+J_{+}-J_{-}\phantom{)}\\ & & ⟺& & \phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& =\phantom{\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}(}2i\cdot \mathrm{Im}{I}_{-}+J_{+}-J_{-}\phantom{)}\\ & & ⟹& & \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& =\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}(2i\cdot \mathrm{Im}{I}_{-}+J_{+}-J_{-})\\ & & ⟺& & \underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\oint }_C\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz& =2i\cdot (\mathrm{Im}\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{I}_{-})+\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_{+}-\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{J}_{-}\\ & & ⟺& & 2i\cdot \left(\frac{\pi }{e}\right)& =2i\cdot (\mathrm{Im}\underset{R\to \mathrm{\infty }}{lim}{\int }_{-R-i\pi }^{+R+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz)+0-0\\ & & ⟺& & 2i\cdot \left(\frac{\pi }{e}\right)& =2i\cdot (\mathrm{Im}{\int }_{-\mathrm{\infty }-i\pi }^{+\mathrm{\infty }+i\pi }\frac{e^{-z/(e^z-1)}}{e^z-1}dz)+0-0\\ & & ⟺& & 2i\cdot \left(\frac{\pi }{e}\right)& =2i\cdot \Omega +0-0\\ & & ⟺& & 2i\cdot \left(\frac{\pi }{e}\right)& =2i\cdot \Omega \\ & & ⟺& & \Omega & =\frac{\pi }{e}.\end{array}$$
$◻$