東大数理院試過去問解答例(2024A05)

以下の議論では$(a,b)$は$x$座標が$a$・$y$座標が$b$の点を指し、$(a;b)$は$a<x<b$なる有理数$x$全体の為す開区間を指す。また$\mathbb{Q}\times \{0\}$を$\mathbb{Q}$と略記する。またこの略記は$(a;b)$や$[a;b]$などのような$\mathbb{Q}$の部分集合にも適用する。
(1) $X$の相異なる点$(s,t),(u,r)$をとる。このとき、$\epsilon >0$を十分小さく取れば
$$(s+t\sqrt{2}-\epsilon ;s+t\sqrt{2}+\epsilon )\cap (u+r\sqrt{2}-\epsilon ;u+r\sqrt{2}+\epsilon )=\varnothing$$
を満たしている。このとき$U_{\epsilon }(s,t)\cap U_{\epsilon }(u,r)=\varnothing$であるから、$X$のハウスドルフ性が従う。
(2) まず
$$C_{+}=\{(x,y)\in X|-\frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le -\frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\}$$
$$C_{-}=\{(x,y)\in X|\frac{x}{\sqrt{2}}+1-\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le \frac{x}{\sqrt{2}}+1+\frac{1}{\sqrt{2}}\}$$
$$D_{+}=\{(x,y)\in X|-\frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le -\frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\}$$
$$D_{-}=\{(x,y)\in X|\frac{x}{\sqrt{2}}-1-\frac{1}{\sqrt{2}}\le y\le \frac{x}{\sqrt{2}}-1+\frac{1}{\sqrt{2}}\}$$
$$I_{+}=(-\sqrt{2}-1;-\sqrt{2}+1)$$
$$I_{-}=(\sqrt{2}-1;\sqrt{2}+1)$$
とする。また
$$C=C_{+}\cup C_{-}\cup D_{+}\cup D_{-}\cup I_{+}\cup I_{-}$$
とおく。このとき$I_{+}\cup I_{-}$は$U_1(0,1)$に含まれている。また$(x,y)\in C_{+}\cup C_{-}\cup D_{+}\cup D_{-}$を取ったとき、
$$\sqrt{2}-1\le x+y\sqrt{2}\le \sqrt{2}+1$$
$$-\sqrt{2}-1\le x-y\sqrt{2}\le -\sqrt{2}+1$$
$$\sqrt{2}-1\le x-y\sqrt{2}\le \sqrt{2}+1$$
$$-\sqrt{2}-1\le x+y\sqrt{2}\le -\sqrt{2}+1$$
のいずれかが満たされているから、$(x,y)$の近傍は$U_1(0,1)$と共通部分を持つ。以上から$U_1(0,1)$の閉包は$C$を含んでいる。一方各$(x,y)\in X\mathrm{\setminus }C$に対して
$$U_{\epsilon (x,y)}(x,y)\cap C=\varnothing$$
になるよう$\epsilon >0$を取れば
$$X\mathrm{\setminus }C=\bigcup _{(x,y)\notin C}{U}_{\epsilon (x,y)}$$
は開集合であるから、$C$は閉集合である。以上から$C$が所望の閉包である。※図は時間のある時に挿入します。
(3) まず$X=U\bigsqcup V$を$X$の互いに交わらない開集合への分解とする。$U$を空でないとする。$(a,b)\in U$を取ったとき、この位相の定め方から、$(a+b\sqrt{2}-\epsilon ;a+b\sqrt{2}+\epsilon )\times \{0\}\subseteq U$を満たすように$\epsilon >0$をとれる。このとき
$$W=\{(x,y)\in X|-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{a-\epsilon +b\sqrt{2}}{\sqrt{2}}<y<-\frac{x}{\sqrt{2}}+\frac{a+\epsilon +b\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\}\subseteq U$$
である。このとき集合
$$\{(x-y\sqrt{2},0)|(x,y)\in W\mathsf{\text{ または }}(-x,-y)\in W\}$$
は$\mathbb{R}$に於いて稠密である。よって$U\cap \mathbb{Q}$は$\mathbb{Q}$に於いて稠密である。これによって
$$V\cap \mathbb{Q}=\varnothing$$
が従い、ここから$V=\varnothing$が従う。よって$X$は連結である。