ミンコフスキーの不等式を１から証明する

$(\mathrm{i})n=2$のとき、${\lambda }_1=\lambda ,{\lambda }_2=1-\lambda (0\leqq \lambda \leqq 1)$とおける。
このとき$f(x)$の凸性より、任意の$x_1,x_2$について
$$\lambda f(x_1)+(1-\lambda )f(x_2)\geqq f(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2)$$
であり、これは示す不等式の$n=2$のときそのものである。
よって$n=2$のとき成立する。
$(\mathrm{ii})n=k$のとき、イェンゼンの不等式が成立すると仮定する。
$$\begin{array}{rl}\sum _{i=1}^{k+1}{\lambda }_{i}f(x_i)& =\sum _{i=1}^k{\lambda }_{i}f(x_i)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})\\ & =S\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}f(x_i)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})\end{array}$$
ただし$(0\leqq ){\displaystyle S=\sum _{i=1}^k{\lambda }_i(\leqq 1)}$とする。
このとき${\displaystyle \sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}=1}$であるから、${\displaystyle \frac{{\lambda }_1}{S},\cdots ,\frac{{\lambda }_k}{S}}$について仮定より
$$S\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}f(x_i)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})\geqq Sf\left(\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}{x}_i\right)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})$$
となる。ここで、${\displaystyle S+{\lambda }_{k+1}=\sum _{k=1}^{k+1}{\lambda }_i=1}$である。
よって$f(x)$の凸性より、${\displaystyle T=\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}{x}_i}$とおくと
$$\begin{array}{rl}Sf\left(\sum _{i=1}^k\frac{{\lambda }_i}{S}{x}_i\right)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})& =Sf(T)+{\lambda }_{k+1}f(x_{k+1})\\ & \geqq f(ST+{\lambda }_{k+1}{x}_{k+1})=f\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\lambda }_i{x}_i\right)\end{array}$$
よって$n=k+1$のときも成立する。$\boxed{}$

$f(x)=e^x$とおくと、$f^{″}(x)=e^x>0$より$f(x)$は凸関数である。
よってイェンゼンの不等式より
$$\frac{f(x)}{p}+\frac{f(y)}{q}\geqq f(\frac{x}{p}+\frac{y}{q})⟺\frac{e^x}{p}+\frac{e^y}{q}\geqq e^{\frac{x}{p}}{e}^{\frac{y}{q}}$$
である。これにおいて$x=p\log a,y=q\log b$とおくと
$$\frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geqq ab$$
とヤングの不等式を得る。$\boxed{}$

${\displaystyle \frac{|x_k|}{||\mathit{x}|{|}_p},\frac{|y_k|}{||\mathit{y}|{|}_q}}$は正の実数であるから、ヤングの不等式より
$$\frac{|x_k{|}^p}{{||\mathit{x}|{|}_p}^p}\frac{1}{p}+\frac{|y_k{|}^q}{{||\mathit{y}|{|}_q}^q}\frac{1}{q}\geqq \frac{|x_k||y_k|}{||\mathit{x}|{|}_p||\mathit{y}|{|}_q}$$
これを$k=1$から$n$まで両辺を足し合わせると
$$\begin{array}{cl}{\displaystyle \frac{1}{{||\mathit{x}|{|}_p}^p}\frac{1}{p}\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p+\frac{1}{{||\mathit{y}|{|}_q}^q}\frac{1}{q}\sum _{k=1}^n|x_k{|}^p}& {\displaystyle \geqq \frac{1}{||\mathit{x}|{|}_p||\mathit{y}|{|}_q}\sum _{k=1}^n|x_k||y_k|}\\ {\displaystyle \frac{{||\mathit{x}|{|}_p}^p}{{||\mathit{x}|{|}_p}^p}\frac{1}{p}+\frac{{||\mathit{y}|{|}_q}^q}{{||\mathit{y}|{|}_q}^q}\frac{1}{q}}& {\displaystyle \geqq \frac{1}{||\mathit{x}|{|}_p||\mathit{y}|{|}_q}\sum _{k=1}^n|x_k||y_k|}\\ 1={\displaystyle \frac{1}{p}+\frac{1}{q}}& {\displaystyle \geqq \frac{1}{||\mathit{x}|{|}_p||\mathit{y}|{|}_q}\sum _{k=1}^n|x_k||y_k|}\end{array}$$
$$\therefore ||\mathit{x}|{|}_p||\mathit{y}|{|}_q\geqq \sum _{k=1}^n|x_k||y_k|$$
とヘルダーの不等式を得る。$\boxed{}$

$(\mathrm{i}){||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}=0$のとき
$||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p=0\leqq ||\mathit{x}|{|}_p+||\mathit{y}|{|}_p$
より成り立つ。
$(\mathrm{ii}){||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}\ne 0$のとき
$$\begin{array}{rl}{||\mathit{x}+\mathit{y}|{|}_p}^p& =\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p=\sum _{k=1}^n|x_k+y_k||x_k+y_k{|}^{p-1}\\ \text{(}\star \text{)}& & \leqq \sum _{k=1}^n|x_k||x_k+y_k{|}^{p-1}+\sum _{k=1}^n|y_k||x_k+y_k{|}^{p-1}\end{array}$$
($\because$三角不等式)
$(\star )$の第一項は、ヘルダーの不等式より
$$\sum _{k=1}^n|x_k||x_k+y_k{|}^{p-1}\leqq ||\mathit{x}|{|}_p{\Vert |\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}{|}^{p-1}\Vert }_q(q=\frac{p}{p-1})$$
で抑えられる。また、この右辺は
$$\begin{array}{rl}||\mathit{x}|{|}_p{\Vert |\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}{|}^{p-1}\Vert }_{\frac{p}{p-1}}& =||\mathit{x}|{|}_p{\left\{\sum _{k=1}^n{(|x_k+y_k{|}^{p-1})}^q\right\}}^{\frac{1}{q}}\\ & =||\mathit{x}|{|}_p{\left\{{(\sum _{k=1}^n|x_k+y_k{|}^p)}^{\frac{1}{p}}\right\}}^{p-1}\\ & =||\mathit{x}|{|}_p{||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}\end{array}$$
となる。さらに、$(\star )$の第二項についても同様に評価できて
$$\sum _{k=1}^n|y_k||x_k+y_k{|}^{p-1}\leqq ||\mathit{y}|{|}_p{||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}$$
以上より
$${||\mathit{x}+\mathit{y}|{|}_p}^p\leqq ||\mathit{x}|{|}_p{||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}+||\mathit{y}|{|}_p{||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}$$
両辺を${||\mathit{x}\mathbf{+}\mathit{y}|{|}_p}^{p-1}(\ne 0)$で割って
$$||\mathit{x}+\mathit{y}|{|}_p\leqq ||\mathit{x}|{|}_p+||\mathit{y}|{|}_p$$
とミンコフスキーの不等式を得る。$\boxed{}$