ミンコフスキーの不等式を１から証明する

$(\mathrm{i})\ n=2$のとき、$\lambda_1=\lambda,\ \lambda_2=1-\lambda\space(0\leqq\lambda\leqq1)$とおける。
このとき$f(x)$の凸性より、任意の$x_1,x_2$について
$$ \lambda f(x_1)+(1-\lambda)f(x_2)\geqq f(\lambda x_1+(1-\lambda)x_2) $$
であり、これは示す不等式の$n=2$のときそのものである。
よって$n=2$のとき成立する。
$(\mathrm{ii})\ n=k$のとき、イェンゼンの不等式が成立すると仮定する。
\begin{align*} \sum_{i=1}^{k+1}\lambda_if(x_i)&=\sum_{i=1}^k\lambda_if(x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &=S\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}f(x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) \end{align*}
ただし$(0\leqq)\displaystyle S=\sum_{i=1}^k\lambda_i(\leqq1)$とする。
このとき$\displaystyle \sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}=1$であるから、$\displaystyle \frac{\lambda_1}{S},\cdots,\frac{\lambda_k}{S}$について仮定より
$$ S\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}f(x_i)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\geqq Sf\left(\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}x_i\right)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1}) $$
となる。ここで、$\displaystyle S+\lambda_{k+1}=\sum_{k=1}^{k+1}\lambda_i=1$である。
よって$f(x)$の凸性より、$\displaystyle T=\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}x_i$とおくと
\begin{align*} Sf\left(\sum_{i=1}^k\frac{\lambda_i}{S}x_i\right)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})&=Sf(T)+\lambda_{k+1}f(x_{k+1})\\ &\geqq f(ST+\lambda_{k+1}x_{k+1})=f\left(\sum_{i=1}^{k+1}\lambda_ix_i\right) \end{align*}
よって$n=k+1$のときも成立する。$\fbox{}$

$f(x)=e^x$とおくと、$f''(x)=e^x>0$より$f(x)$は凸関数である。
よってイェンゼンの不等式より
$$ \frac{f(x)}{p}+\frac{f(y)}{q}\geqq f\left(\frac{x}{p}+\frac{y}{q}\right)\space \Longleftrightarrow \space\frac{e^x}{p}+\frac{e^y}{q}\geqq e^{\frac{x}{p}}e^{\frac{y}{q}} $$
である。これにおいて$x=p\log a,\ y=q\log b$とおくと
$$ \frac{a^p}{p}+\frac{b^q}{q}\geqq ab $$
とヤングの不等式を得る。$\fbox{}$

$\displaystyle \frac{|x_k|}{||\boldsymbol{ x }||_p},\frac{|y_k|}{||\boldsymbol{ y }||_q}$は正の実数であるから、ヤングの不等式より
$$ \frac{|x_k|^p}{{||\boldsymbol{ x }||_p}^p}\frac{1}{p}+\frac{|y_k|^q}{{||\boldsymbol{ y }||_q}^q}\frac{1}{q}\geqq\frac{|x_k||y_k|}{||\boldsymbol{ x }||_p||\boldsymbol{ y }||_q} $$
これを$k=1$から$n$まで両辺を足し合わせると
\begin{array}{cl} \displaystyle \frac{1}{{||\boldsymbol{ x }||_p}^p}\frac{1}{p}\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p+\frac{1}{{||\boldsymbol{ y }||_q}^q}\frac{1}{q}\sum_{k=1}^{n}|x_k|^p&\displaystyle\geqq\frac{1}{||\boldsymbol{ x }||_p||\boldsymbol{ y }||_q}\sum_{k=1}^n|x_k||y_k|\\ \displaystyle \frac{{||\boldsymbol{ x }||_p}^p}{{||\boldsymbol{ x }||_p}^p}\frac{1}{p}+\frac{{||\boldsymbol{ y }||_q}^q}{{||\boldsymbol{ y }||_q}^q}\frac{1}{q}&\displaystyle\geqq\frac{1}{||\boldsymbol{ x }||_p||\boldsymbol{ y }||_q}\sum_{k=1}^n|x_k||y_k|\\ 1=\displaystyle\frac{1}{p}+\frac{1}{q}&\displaystyle\geqq\frac{1}{||\boldsymbol{ x }||_p||\boldsymbol{ y }||_q}\sum_{k=1}^n|x_k||y_k| \end{array}
$$ \therefore ||\boldsymbol{ x }||_p||\boldsymbol{ y }||_q\geqq\sum_{k=1}^n|x_k||y_k| $$
とヘルダーの不等式を得る。$\fbox{}$

$(\mathrm{i})\ {||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1}=0$のとき
$||\boldsymbol{ x+y }||_p=0\leqq||\boldsymbol{ x }||_p+||\boldsymbol{ y }||_p $
より成り立つ。
$(\mathrm{ii})\ {||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1}\neq0$のとき
\begin{align*} {||\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ y }||_p}^p&=\sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^p=\sum_{k=1}^n|x_k+y_k||x_k+y_k|^{p-1}\\ &\leqq\sum_{k=1}^n|x_k||x_k+y_k|^{p-1}+\sum_{k=1}^n|y_k||x_k+y_k|^{p-1} \tag{$\star$} \end{align*}
($\because$三角不等式)
$(\hspace{2pt}\star\hspace{2pt})$の第一項は、ヘルダーの不等式より
$$ \sum_{k=1}^n|x_k||x_k+y_k|^{p-1}\leqq||\boldsymbol{ x }||_p\left\| |\boldsymbol{ x+y }|^{p-1} \right\|_q\space\left(q=\frac{p}{p-1}\right) $$
で抑えられる。また、この右辺は
\begin{align*} ||\boldsymbol{ x }||_p\left\| |\boldsymbol{ x+y }|^{p-1} \right\|_{\frac{p}{p-1}}&=||\boldsymbol{ x }||_p\left\{\sum_{k=1}^n\left(|x_k+y_k|^{p-1}\right)^q\right\}^{\frac{1}{q}}\\ &=||\boldsymbol{ x }||_p\left\{\left(\sum_{k=1}^n|x_k+y_k|^p\right)^{\frac{1}{p}}\right\}^{p-1}\\ &=||\boldsymbol{ x }||_p{||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1} \end{align*}
となる。さらに、$(\hspace{2pt}\star\hspace{2pt})$の第二項についても同様に評価できて
$$ \sum_{k=1}^n|y_k||x_k+y_k|^{p-1}\leqq||\boldsymbol{ y }||_p{||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1} $$
以上より
$$ {||\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ y }||_p}^p\leqq||\boldsymbol{ x }||_p{||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1}+||\boldsymbol{ y }||_p{||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1} $$
両辺を${||\boldsymbol{ x+y }||_p}^{p-1}(\neq0)$で割って
$$ ||\boldsymbol{ x }+\boldsymbol{ y }||_p\leqq||\boldsymbol{ x }||_p+||\boldsymbol{ y }||_p $$
とミンコフスキーの不等式を得る。$\fbox{}$