くどー問題のメモ

くどー問題については、
https://mathlog.info/articles/2736
および
https://mathlog.info/articles/uSRHFKdsxXgbylTgCvbb
における私のコメントを読んでください

さて、1〜nまでの自然数の和を$S$とします。
すると1〜nまでの自然数の3乗和は$S^2$となります。
くどー問題の初期条件は、
\begin{eqnarray} \frac{S^2}{S}=S \end{eqnarray}
となり、くどー問題の条件1を満たします。
次に、ここから取り除く自然数をmとすると、$2\le m \le n-1$となります(重要)
そして、条件1は、
\begin{eqnarray} \frac{S^2-m^3}{S-m} \end{eqnarray}
が整数ならいいです。
これは、
\begin{eqnarray} \frac{S^2-m^3}{S-m} &=& m^2+\frac{S^2-Sm^2}{S-m} \\&=& Sm+m^2+\frac{S^2-S^2m}{S-m} \\&=& S^2+Sm+m^2+\frac{S^2-S^3}{S-m} \end{eqnarray}
となるので、上の式の最後の分数が整数になればいいです。
ところで、S-m>0かつ、S²-S³<0なので、上の分数は負です。
どうせなら正にしておきましょう。そしてこれをtとおきます
\begin{eqnarray}\frac{S^3-S^2}{S-m}=t \end{eqnarray}
ここで、tは整数になって欲しいですが、tは0はありえないですし、正です。なのでtは自然数です。(重要)
分母を払います
\begin{eqnarray} S^3-S^2=t(S-m) \\ S^3-S^2-tS=-tm \\ 0 \equiv tm \pmod S \end{eqnarray}
ここで、mとSの最大公約数をGとします(gcd(m,S)=G)
上の式より、ある整数cを用いてcS=tmとなるはずなので、
$Gm'=m,GS'=S$とおいて計算すると、
$cGS'=tGm' \rightarrow cS'=tm'$
つまり、
\begin{eqnarray} 0 \equiv tm' \pmod {S'} \end{eqnarray}
ここで、S'とm'が互いに素なので、
\begin{eqnarray} 0 \equiv t \pmod {S'} \end{eqnarray}
よって、改めて$t=t'S'$として、先ほどの式に代入すると、
\begin{eqnarray} S^3-S^2&=&t(S-m) \\ G^3S'^3-G^2S'^2&=&t'S'(GS'-Gm')\\ G^2S'^2-GS'&=&t'(S'-m')\\ G^2S'^2-GS'-t'S'&=&-t'm'\\ 0 &\equiv& t'm' \pmod {S'} \end{eqnarray}
ここで、m'とS'は互いに素なので、
\begin{eqnarray} 0 &\equiv& t' \pmod {S'} \end{eqnarray}
とわかります
よって、$S't''=t'$とおきます。
\begin{eqnarray} G^2S'^2-GS'&=&t'(S'-m')\\ G^2S'^2-GS'&=&S't''(S'-m')\\ G^2S'-G&=&t''(S'-m')\\ G\frac{GS'-1}{S'-m'}=t''\\ G^2\frac{S-1}{S-m}=t''\\ \end{eqnarray}
ここまできました。
ここから分かるのは、もしGが1の時、Sがものすごく大きい時を考えてみると、
\begin{eqnarray} S-1&=&t''(S-m)\\ \frac{S-1}{t''}&=&S-m \\ \frac{S-1}{t''}-S&=&-m \\ S-\frac{S-1}{t''}&=&m \\ \end{eqnarray}
もし$t''$が1なら、$m=1$になってしまいますが、忘れていませんか？$2\le m \le n-1$です。(だから重要)よって$t'' \ge 2$なので、
\begin{eqnarray} t'' &\ge& 2 \\ \frac{1}{t''} &\le& \frac{1}{2} \\ \frac{S-1}{t''} &\le& \frac{S-1}{2} \\ S-\frac{S-1}{t''} &\ge& S-\frac{S-1}{2} \\ m &\ge& S-\frac{S-1}{2} \\ m &\ge& \frac{S+1}{2} \\ \end{eqnarray}
ここで、Sが1〜nまでの自然数の和であったことと、$2\le m \le n-1$であるのを考えると、
\begin{eqnarray} S&=& \frac{1}{2}n(n+1) \\ \end{eqnarray}
なので、
\begin{eqnarray} n-1 &\ge& m \ge \frac{S+1}{2} \ \\ n-1 &\ge& \frac{1}{4}n(n+1) + \frac{1}{2} \\ 4n-4 &\ge& n^2+n+2 \\ 0 &\ge& n^2-3n+6 \end{eqnarray}
ということで、残念ながら、この様なnは存在しません。
ということで、Gが1の時、削除可能な数は存在しませんでした。
GというのはSとmの最大公約数でした。ここから言える結論は、

となります。

Gが1でない時は今考えている最中です､､､

おわり