くどー問題のメモ

くどー問題については、
https://mathlog.info/articles/2736
および
https://mathlog.info/articles/uSRHFKdsxXgbylTgCvbb
における私のコメントを読んでください

さて、1〜nまでの自然数の和を$S$とします。
すると1〜nまでの自然数の3乗和は$S^2$となります。
くどー問題の初期条件は、
$$\begin{array}{r}\frac{S^2}{S}=S\end{array}$$
となり、くどー問題の条件1を満たします。
次に、ここから取り除く自然数をmとすると、$2\le m\le n-1$となります(重要)
そして、条件1は、
$$\begin{array}{r}\frac{S^2-m^3}{S-m}\end{array}$$
が整数ならいいです。
これは、
$$\begin{array}{rcl}\frac{S^2-m^3}{S-m}& =& m^2+\frac{S^2-S{m}^2}{S-m}\\ & =& Sm+m^2+\frac{S^2-S^{2}m}{S-m}\\ & =& S^2+Sm+m^2+\frac{S^2-S^3}{S-m}\end{array}$$
となるので、上の式の最後の分数が整数になればいいです。
ところで、S-m>0かつ、S²-S³<0なので、上の分数は負です。
どうせなら正にしておきましょう。そしてこれをtとおきます
$$\begin{array}{r}\frac{S^3-S^2}{S-m}=t\end{array}$$
ここで、tは整数になって欲しいですが、tは0はありえないですし、正です。なのでtは自然数です。(重要)
分母を払います
$$\begin{array}{r}{S}^3-S^2=t(S-m)\\ S^3-S^2-tS=-tm\\ 0\equiv tm(\mathrm{mod}S)\end{array}$$
ここで、mとSの最大公約数をGとします(gcd(m,S)=G)
上の式より、ある整数cを用いてcS=tmとなるはずなので、
$G{m}^{\prime }=m,G{S}^{\prime }=S$とおいて計算すると、
$cG{S}^{\prime }=tG{m}^{\prime }\to c{S}^{\prime }=t{m}^{\prime }$
つまり、
$$\begin{array}{r}0\equiv t{m}^{\prime }(\mathrm{mod}{S}^{\prime })\end{array}$$
ここで、S'とm'が互いに素なので、
$$\begin{array}{r}0\equiv t(\mathrm{mod}{S}^{\prime })\end{array}$$
よって、改めて$t=t^{\prime }{S}^{\prime }$として、先ほどの式に代入すると、
$$\begin{array}{rcl}{S}^3-S^2& =& t(S-m)\\ G^3{S}^{\prime 3}-G^2{S}^{\prime 2}& =& t^{\prime }{S}^{\prime }(G{S}^{\prime }-G{m}^{\prime })\\ G^2{S}^{\prime 2}-G{S}^{\prime }& =& t^{\prime }(S^{\prime }-m^{\prime })\\ G^2{S}^{\prime 2}-G{S}^{\prime }-t^{\prime }{S}^{\prime }& =& -t^{\prime }{m}^{\prime }\\ 0& \equiv & t^{\prime }{m}^{\prime }(\mathrm{mod}{S}^{\prime })\end{array}$$
ここで、m'とS'は互いに素なので、
$$\begin{array}{rcl}0& \equiv & t^{\prime }(\mathrm{mod}{S}^{\prime })\end{array}$$
とわかります
よって、$S^{\prime }{t}^{″}=t^{\prime }$とおきます。
$$\begin{array}{rcl}{G}^2{S}^{\prime 2}-G{S}^{\prime }& =& t^{\prime }(S^{\prime }-m^{\prime })\\ G^2{S}^{\prime 2}-G{S}^{\prime }& =& S^{\prime }{t}^{″}(S^{\prime }-m^{\prime })\\ G^2{S}^{\prime }-G& =& t^{″}(S^{\prime }-m^{\prime })\\ G\frac{G{S}^{\prime }-1}{S^{\prime }-m^{\prime }}=t^{″}\\ G^2\frac{S-1}{S-m}=t^{″}\end{array}$$
ここまできました。
ここから分かるのは、もしGが1の時、Sがものすごく大きい時を考えてみると、
$$\begin{array}{rcl}S-1& =& t^{″}(S-m)\\ \frac{S-1}{t^{″}}& =& S-m\\ \frac{S-1}{t^{″}}-S& =& -m\\ S-\frac{S-1}{t^{″}}& =& m\end{array}$$
もし$t^{″}$が1なら、$m=1$になってしまいますが、忘れていませんか？$2\le m\le n-1$です。(だから重要)よって$t^{″}\ge 2$なので、
$$\begin{array}{rcl}{t}^{″}& \ge & 2\\ \frac{1}{t^{″}}& \le & \frac{1}{2}\\ \frac{S-1}{t^{″}}& \le & \frac{S-1}{2}\\ S-\frac{S-1}{t^{″}}& \ge & S-\frac{S-1}{2}\\ m& \ge & S-\frac{S-1}{2}\\ m& \ge & \frac{S+1}{2}\end{array}$$
ここで、Sが1〜nまでの自然数の和であったことと、$2\le m\le n-1$であるのを考えると、
$$\begin{array}{rcl}S& =& \frac{1}{2}n(n+1)\end{array}$$
なので、
$$\begin{array}{rcl}n-1& \ge & m\ge \frac{S+1}{2}\\ n-1& \ge & \frac{1}{4}n(n+1)+\frac{1}{2}\\ 4n-4& \ge & n^2+n+2\\ 0& \ge & n^2-3n+6\end{array}$$
ということで、残念ながら、この様なnは存在しません。
ということで、Gが1の時、削除可能な数は存在しませんでした。
GというのはSとmの最大公約数でした。ここから言える結論は、

となります。

Gが1でない時は今考えている最中です､､､

おわり