東大数理院試過去問解答例(2024A04)

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ここでは東大数理の修士課程の院試の2024A04の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。

2024A04

実数 $α \in (0, 1]$ に対して広義積分
$I_{α} := \int_{0}^{1} (\frac{α}{x} - [\frac{α}{x}]) d x$
$J_{α} := \int_{0}^{1} (α [\frac{1}{x}] - [\frac{α}{x}]) d x$
を定める。以下の問いに答えなさい。

$I_{1}$ は収束し、その値は
$\sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n + 1} - \log (1 - \frac{1}{n + 1}))$
に等しいことを示しなさい。
等式 $I_{α} = α I_{1} - α \log α$ を示しなさい。
$J_{α}$ を求めなさい。

まず
$\begin{aligned} \int_{0}^{1} (\frac{1}{x} - [\frac{1}{x}]) & = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} \frac{1}{x} - n d x \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \int_{\frac{1}{n + 1}}^{\frac{1}{n}} \frac{1}{x} d x - \frac{1}{n + 1} \\ = lim_{N \to \infty} \sum_{n = 1}^{N} \log (n + 1) - \log n - \frac{1}{n + 1} \\ = \sum_{n = 1}^{\infty} (- \frac{1}{n + 1} - \log (1 - \frac{1}{n + 1})) \end{aligned}$
であることがわかる。ここでテイラーの定理から、 $lim_{x \to 0} f (x) = 0$ なる関数 $f$ で
$\log (1 - x) = - x + \frac{1}{2} x^{2} + f (x) x^{2}$
と表せる。よって右辺の積分は
$\sum_{n = 1}^{\infty} ((\frac{1}{2} + f (\frac{1}{n + 1})) \frac{1}{(n + 1)^{2}})$
と表される。 $f$ は $0$ のある近傍で有界であることとから、この級数は収束する。
まず
$\begin{aligned} I_{α} & = \int_{0}^{1} (\frac{α}{x} - [\frac{α}{x}]) d x \\ = α \int_{0}^{\frac{1}{α}} (\frac{1}{x} - [\frac{1}{x}]) d x \\ = α (I_{1} + \int_{1}^{\frac{1}{α}} (\frac{1}{x} - [\frac{1}{x}]) d x) & = α (I_{1} - \log α) \end{aligned}$
であり、これが示したかったことである。
実際に計算することで、
$\begin{aligned} J_{α} & = \int_{0}^{1} α [\frac{1}{x}] - [\frac{α}{x}] d x \\ = I_{α} - α I_{1} & = - α \log α \end{aligned}$
である。

投稿日：2024年9月22日

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藍色日和

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