連続q-Jacobi陪多項式
$\displaystyle x:=\frac{z+z^{-1}}2$として, Askey-Wilson多項式を
\begin{align}
r_n(x;a,b,c,d)=\Q43{q^{-n},abcdq^{n-1},az,a/z}{ab,ac,ad}{q}
\end{align}
とする. 連続$q$-Jacobi多項式は
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x;q)=\frac{(q^{a+1},-q^{b+1};q)_n}{(q,-q;q)_n}r_n(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})
\end{align}
によって定義される. 今回はその一般化として,
Askey-Wilson陪多項式
$r_n^{\alpha}(x;a,b,c,d)$を用いて
\begin{align}
r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})
\end{align}
と表される場合について考察したいと思う.
Ismail-Rahmanによる表示
\begin{align}
W(a;b_1,\dots,b_r;x):=\Q{r+3}{r+2}{a,\sqrt aq,-\sqrt aq,b_1,\dots,b_r}{\sqrt a,-\sqrt a,aq/b_1,\dots,aq/b_r}{x}
\end{align}
とする.
前の記事
の定理1において, $a,b,c,d$を$q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12}$として
\begin{align}
&r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{a+b+2\lambda+n+1},q^{a+b+2\lambda+1},q^{\frac 12}z,q^{\frac 12}/z;q)_k}{(q,q^{a+\lambda+1},-q^{b+\lambda+1},-q^{\lambda+1},q^{a+b+\lambda+1};q)_k}q^k\\
&\qquad W(q^{a+b+2\lambda+k};q^{\lambda},-q^{a+\lambda},q^{b+\lambda},-q^{a+b+\lambda},q^{k+1},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)
\end{align}
となる. ここで, Askey-Wilson陪多項式の漸化式は$(a,b,c,d,x)\mapsto (-a,-b,-c,-d,-x)$に関する対称性を持っているから
\begin{align}
r_n^{\alpha}(-x;-a,-b,-c,-d)=r_n^{\alpha}(x;a,b,c,d)
\end{align}
であり,
前の記事
で見たように
\begin{align}
r_n^{\alpha}(x;a,b,c,d)=\frac{(bdq^{\alpha},cdq^{\alpha};q)_n}{(abq^{\alpha},acq^{\alpha};q)_n}(a/d)^nr_n^{\alpha}(x;d,b,c,a)
\end{align}
も成り立つ. よって,
\begin{align}
&r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=r_n^{\lambda}(-x;-q^{\frac 12},-q^{a+\frac 12},q^{b+\frac 12},q^{\frac 12})\\
&=(-1)^n\frac{(-q^{a+\lambda+1},q^{b+\lambda+1};q)_n}{(q^{a+\lambda+1},-q^{b+\lambda+1};q)_n}r_n^{\lambda}(-x;q^{\frac 12},q^{b+\frac 12},-q^{a+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=(-1)^n\frac{(-q^{a+\lambda+1},q^{b+\lambda+1};q)_n}{(q^{a+\lambda+1},-q^{b+\lambda+1};q)_n}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{a+b+2\lambda+n+1},q^{a+b+2\lambda+1},-q^{\frac 12}z,-q^{\frac 12}/z;q)_k}{(q,-q^{a+\lambda+1},q^{b+\lambda+1},-q^{\lambda+1},q^{a+b+\lambda+1};q)_k}q^k\\
&\qquad W(q^{a+b+2\lambda+k};q^{\lambda},q^{a+\lambda},-q^{b+\lambda},-q^{a+b+\lambda},q^{k+1},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)
\end{align}
を得る. ここで,
Baileyの変換公式
より
\begin{align}
&W(q^{a+b+2\lambda+k};q^{\lambda},q^{a+\lambda},-q^{b+\lambda},-q^{a+b+\lambda},q^{k+1},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)\\
&=\frac{(q^{a+b+2\lambda+k+1},-q^{a+k+1},q^{\lambda+k+1},-q^{b+\lambda+k+1};q)_{n-k}}{(q^{a+b+\lambda+k+1},-q^{a+\lambda+k+1},-q^{b+2\lambda+k+1},q^{k+1};q)_{n-k}}\\
&\qquad\cdot W(-q^{b+2\lambda+k};q^{\lambda},-q^{\lambda},-q^{b+\lambda},q^{b+\lambda},-q^{k+1-a},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)\\
&=\frac{(q^{a+b+2\lambda+1},-q^{a+1},-q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1};q)_{n}}{(q^{a+b+\lambda+1},-q^{a+\lambda+1},-q^{b+2\lambda+1},q;q)_{n}}\frac{(q^{a+b+\lambda+1},-q^{a+\lambda+1},-q^{b+2\lambda+1},q;q)_{k}}{(q^{a+b+2\lambda+1},-q^{a+1},-q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1};q)_{k}}\\
&\qquad\cdot W(-q^{b+2\lambda+k};q^{\lambda},-q^{\lambda},-q^{b+\lambda},q^{b+\lambda},-q^{k+1-a},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)
\end{align}
であるから, これを代入して
\begin{align}
&r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=(-1)^n\frac{(q^{a+b+2\lambda+1},-q^{a+1},q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1};q)_{n}}{(q^{a+b+\lambda+1},q^{a+\lambda+1},-q^{b+2\lambda+1},q;q)_{n}}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{a+b+2\lambda+n+1},-q^{b+2\lambda+1},-q^{\frac 12}z,-q^{\frac 12}/z;q)_k}{(-q^{a+1},-q^{b+\lambda+1},q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1}-q^{\lambda+1};q)_k}q^k\\
&\qquad\cdot W(-q^{b+2\lambda+k};q^{\lambda},-q^{\lambda},-q^{b+\lambda},q^{b+\lambda},-q^{k+1-a},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)
\end{align}
となる. つまり以下を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=(-1)^n\frac{(q^{a+b+2\lambda+1},-q^{a+1},q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1};q)_{n}}{(q^{a+b+\lambda+1},q^{a+\lambda+1},-q^{b+2\lambda+1},q;q)_{n}}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{a+b+2\lambda+n+1},-q^{b+2\lambda+1},-q^{\frac 12}z,-q^{\frac 12}/z;q)_k}{(-q^{a+1},-q^{b+\lambda+1},q^{b+\lambda+1},q^{\lambda+1}-q^{\lambda+1};q)_k}q^k\\
&\qquad\cdot W(-q^{b+2\lambda+k};q^{\lambda},-q^{\lambda},q^{b+\lambda},-q^{b+\lambda},-q^{k+1-a},q^{a+b+2\lambda+n+k+1},q^{k-n};q)
\end{align}
が成り立つ.
Rahmanによる表示
前の記事 で示した定理1より, 以下の表示を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
&r_n^{\lambda}(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})\\
&=\frac{(q^{a+b+2\lambda+1},q^{\lambda+1};q)_n}{(q,q^{a+b+\lambda+1};q)_n}q^{-n\lambda}\sum_{k=0}^n\frac{(q^{-n},q^{a+b+2\lambda+n+1},q^{\lambda+\frac 12}z,q^{\lambda+\frac 12}/z;q)_k}{(q^{\lambda+1},-q^{\lambda+1},q^{a+\lambda+1},-q^{b+\lambda+1};q)_k}q^k\\
&\qquad\sum_{j=0}^k\frac{(q^{\lambda},-q^{\lambda},q^{a+\lambda},-q^{b+\lambda};q)_j}{(q,q^{a+b+2\lambda},q^{\lambda+\frac 12}z,q^{\lambda+\frac 12}/z;q)_j}q^j
\end{align}
が成り立つ.
古典極限
連続$q$-Jacobi多項式の古典極限は
\begin{align}
\lim_{q\to 1}r_n(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})=\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
となる. 古典的なJacobi多項式は
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x)=\frac{(a+1)_n}{n!}\F21{-n,a+b+n+1}{a+1}{\frac{1-x}2}
\end{align}
と定義されるので, これを元に, Jacobi陪多項式を
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x;\lambda):=\frac{(a+\lambda+1)_n}{(\lambda+1)_n}\lim_{q\to 1}r_n(x;q^{\frac 12},q^{a+\frac 12},-q^{b+\frac 12},-q^{\frac 12})
\end{align}
と定義する(連続$q$-Jacobi多項式と記号が被っているが, 以下では連続$q$-Jacobi多項式の記号は用いない). このとき, 定理1の古典極限を考えると以下が得られる.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x;\lambda)&=(-1)^n\frac{(a+b+2\lambda+1,b+\lambda+1)_n}{n!(a+b+\lambda+1)_n}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+2\lambda+n+1)_k}{(\lambda+1,b+\lambda+1)_k}\left(\frac{1+x}2\right)^k\\
&\qquad\cdot\F43{\lambda,b+\lambda,a+b+2\lambda+n+k+1,k-n}{b+\lambda+k+1,\lambda+k+1,a+b+2\lambda}1
\end{align}
が成り立つ.
定理2の古典極限を考えると以下を得る.
非負整数$n$に対し,
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x;\lambda)&=\frac{(a+b+2\lambda+1,a+\lambda+1)_n}{n!(a+b+\lambda+1)_n}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+2\lambda+n+1)_k}{(\lambda+1,a+\lambda+1)_k}\left(\frac{1-x}2\right)^k\sum_{j=0}^k\frac{(\lambda,a+\lambda)_j}{j!(a+b+2\lambda)_j}\left(\frac{1-x}2\right)^{-j}
\end{align}
が成り立つ.
これは
\begin{align}
P_n^{(a,b)}(x;\lambda)&=\frac{(a+b+2\lambda+1,a+\lambda+1)_n}{n!(a+b+\lambda+1)_n}\\
&\qquad\cdot\sum_{k=0}^n\frac{(-n,a+b+2\lambda+n+1)_k}{(\lambda+1,a+\lambda+1)_k}\left(\frac{1-x}2\right)^k\\
&\qquad\cdot\F43{\lambda,a+\lambda,a+b+2\lambda+n+k+1,k-n}{a+\lambda+k+1,\lambda+k+1,a+b+2\lambda}1
\end{align}
と書き換えられるので, Wimpの公式に$P_n^{(a,b)}(x;\lambda)=(-1)^nP_n^{(b,a)}(-x;\lambda)$を用いたものになっている.
