可解な5次方程式の構造

はじめに

　この記事では可解な五次方程式の厳密解の構造とその計算法について簡単にまとめていきます。
　またその計算例については 別の記事 にまとめてあります。

解の構造

ガロア群の構造

　原始置換群に関する有名事実などから、素数次の可解かつ既約な多項式のガロア群は次のように分類できることが知られています。

　特に$p=5$の場合は次のような事実が成り立ちます。

　また$G$を$\mathrm{Aff}(\F_5)$に埋め込んだとき、$f$の根を適当に添え字付けて$\a_0,\a_1,\a_2,\a_3,\a_4$とおくことで$\s\in G$は
$$\s(\a_j)=\a_{\s(j)}$$
と作用するもの、つまりある$a\in\F_5^\times,b\in \F_5$が存在して
$$\s(\a_j)=\a_{aj+b}$$
成り立つものとします(ただし添え字は$\F_5$で考えるものとした)。
　このとき$f$の判別式
$$D=\prod_{0\leq i< j\leq 4}(\a_i-\a_j)^2$$
に並んで重要な定数として
\begin{align} E&=\prod^4_{j=0}(\a_j-\a_{j+1})^2\\ &=((\a_0-\a_1)(\a_1-\a_2)(\a_2-\a_3)(\a_3-\a_4)(\a_4-\a_0))^2\\ \E&=\prod^4_{j=0}(\a_j-\a_{j+2})^2\\ &=((\a_0-\a_2)(\a_2-\a_4)(\a_4-\a_1)(\a_1-\a_3)(\a_3-\a_0))^2 \end{align}
というものを考えることで、以下の事実が成り立ちます。

Lagrange resolventの性質

　いま上の事実を踏まえてLagrange resolvent
$$\d_i=\sum^4_{j=0}\z^{-ij}\a_j\qquad(\z:1\text{ の原始 5 乗根})$$
の性質について色々と考えてみたところ、次のような事実が得られました。

　なお以下の証明はテキトーに考えたものなので、行間や冗長な部分があるかもしれませんがあしからず。

　ちなみに前述の定数$E$と$M=K(\g_1,\g_2,\g_3,\g_4)$との間には次のような関係が成り立ちます(証明略)。

　特に$E\in K(\sqrt D),F\in K(\sqrt{5D})$であることから$\sqrt D,\sqrt{5D}$の挙動によって$F$は次のような性質を満たすことがわかります。

おまけ

　この辺りの議論に使おうと思って作ったけど、結局使わなかった図式をここに供養しておきます。
$$\xymatrix@C=5pt{ &&L(\z)\\ &&K(\sqrt E,\sqrt{-10-2\sqrt5})\ar@{-}[u]^5\\ L&& K(\sqrt D,\sqrt 5,\sqrt{-E(10+2\sqrt5)})\ar@{-}[u]\\ K(\sqrt E)\ar@{-}[u]^5\ar@/^/@{-}[rruu]& K(\sqrt F)\ar@{-}[ru]&K(\sqrt D,\sqrt5)\ar@{-}[u]&K(\sqrt{5F})\ar@{-}[lu] &K(\sqrt{-10-2\sqrt5})\ar@/_/@{-}[lluu]\\ K(\sqrt D)\ar@{-}[u]\ar@{-}[rru]&& K(\sqrt{5D})\ar@{-}[u]\ar@{-}[lu]\ar@{-}[ru]&& K(\sqrt5)\ar@{-}[u]\ar@{-}[llu]\\ &&K\ar@{-}[llu]\ar@{-}[u]\ar@{-}[rru] }$$

casus irreducibils

　また実数係数の方程式に関して次のような事実が成り立つことも覚えておくといいかもしれません(cf. casus irreducibils)。

厳密解の求め方

　以下$f$は整数係数かつモニックであるものとします。
　このとき
$$\g_i=\l(\sum^4_{j=0}\z^{-ij}\a_j\r)^5$$
は代数的整数となり、特にその対称性からある整数$p,q,r,s,N\quad(\sqrt N\in\Q(\sqrt{5D}))$が存在して
\begin{align} \g_1,\g_4&=\frac{p+q\sqrt N}4\pm\frac12\sqrt{\frac{r+s\sqrt N}2}\\ \g_2,\g_3&=\frac{p-q\sqrt N}4\pm\frac12\sqrt{\frac{r-s\sqrt N}2} \end{align}
と表せるので、このことから次のような数値計算によって$\g_i$および$\a_j$の厳密値を求めることができます。

　しかし方程式$f(x)=0$の数値解$\b_0,\b_1,\b_2,\b_3,\b_4$がわかっていても、その並べ方が適切でなければ対応する$p,q,r,s$の値はおよそ整数値とはなり得ないので、実際には$p,q,r,s$が整数となるような並べ順を引き当てるまで総当たり的な計算をする必要があります。
　ただし$p,q,r,s$は$\b_0,\b_1,\b_2,\b_3,\b_4$に対する$F_{20}$の作用について不変なので、$\b_2,\b_3,\b_4$に対する$6$通りの置換
\begin{align} (\a_0,\a_1,\a_2,\a_3,\a_4)={} &(\b_0,\b_1,\b_2,\b_3,\b_4),\\ &(\b_0,\b_1,\b_3,\b_2,\b_4),\\ &(\b_0,\b_1,\b_2,\b_4,\b_3),\\ &(\b_0,\b_1,\b_4,\b_3,\b_2),\\ &(\b_0,\b_1,\b_3,\b_4,\b_2),\\ &(\b_0,\b_1,\b_4,\b_2,\b_3) \end{align}
を考えれば十分となります。
　また$f$が虚根を持つときは複素共役に関する対称性に注意すると、予め
$$\b_0\in\R,\quad\b_3=\ol{\b_2},\quad\b_4=\ol{\b_1}$$
を満たすように並べ替えておくことで
\begin{align} (\a_0,\a_1,\a_2,\a_3,\a_4)={} &(\b_0,\b_1,\b_2,\b_3,\b_4),\\ &(\b_0,\b_1,\b_3,\b_2,\b_4) \end{align}
の$2$通りのみを考えれば十分となります。

$\d_1,\d_2,\d_3,\d_4$の関係について

　また定理2において$\d_1,\d_2,\d_3,\d_4$の間には
$$\d_1\d_4,\d_2\d_3\in K(\sqrt{5D}),\quad\d_i^p\d_j^q\in M\qquad(pi+qj\equiv0\pmod5)$$
といった関係が成り立つことを示しましたが、その整性と対称性からより明示的に
$$\d_1\d_4,\d_2\d_3=\frac{A\pm\sqrt B}2$$
や
\begin{align} \d_4^2\d_2,\ \d_1^2\d_3&=\frac{p+q\sqrt N}4\pm\frac12\sqrt{\frac{r+s\sqrt N}2}\\ \d_2^2\d_1,\ \d_3^2\d_4&=\frac{p-q\sqrt N}4\pm\frac12\sqrt{\frac{r-s\sqrt N}2} \end{align}
といった表示ができるので、$\g_i$の場合と同様にして右辺の各定数を決定することでその厳密値を求めることができます。

実装例

　以上を踏まえて個人的に書いたPythonコードを以下に置いておきます。

      from pprint import pprint
from sympy import symbols, Poly, sqrt, sign, re, im, factor

N=30 #計算精度の指定
F=input('>>> F=') #多項式の入力
print()

x=symbols('x')
zeta=Poly(x**5-1,x).nroots(n=N)[4] #1の原始5乗根
b=Poly(F,x).nroots(n=N) #Fの根の数値解
sig=not b[1].is_real #虚根の有無の判定

def quad(P, Q, title):
    A=(P+Q).round()
    B=((P-Q)**2).round()
    print(title)
    print([factor((A+sign(P-Q)*sqrt(B))/2),
        factor((A-sign(P-Q)*sqrt(B))/2)])
    print()

def sol(g, check1, check2, show, title):
    p=re(g[1]+g[4]+g[2]+g[3])
    q=re(g[1]+g[4]-g[2]-g[3])
    r=re((g[1]-g[4])**2+(g[2]-g[3])**2)
    s=re((g[1]-g[4])**2-(g[2]-g[3])**2)
    if check1:
        pprint([z.expand() for z in [p,q**2,r,s**2]])
        print()
    
    if show:
        p=p.round()
        q=sign(q)*sqrt((q**2).round())
        r=r.round()
        s=sign(s)*sqrt((s**2).round())
        
        if sig:
            F1=sign(g[1]-g[4])*sqrt(2*(r+s))
            F2=sign(g[2]-g[3])*sqrt(2*(r-s))
        else:
            F1=sign(im(g[1]-g[4]))*sqrt(2*(r+s))
            F2=sign(im(g[2]-g[3]))*sqrt(2*(r-s))
        gg=[p+q+F1, p-q+F2, p-q-F2, p+q-F1]
        
        print(title)
        pprint([factor(z/4) for z in gg])
        
        if check2:
            pprint([z.expand() for z in g[1:]]) #gammaの近似値
            pprint([(z/4).evalf(N) for z in gg]) #厳密値(候補)の近似値
        print()

def delta(s):
    a=[b[s[j]] for j in range(5)]
    if sig:
        d=[0]+[sum(re(a[j]*zeta**(-i*j)) for j in range(5)) for i in range(1,5)]
    else:
        d=[0]+[sum(a[j]*zeta**(-i*j) for j in range(5)) for i in range(1,5)]
    return d

if sig:
    p=[[0,1,3,4,2],[0,1,4,3,2]]
else:
    p=[[0,1,2,3,4],[0,1,3,2,4],[0,1,2,4,3],[0,1,4,3,2],[0,1,3,4,2],[0,1,4,2,3]]

for k in range(len(p)):
    d=delta(p[k])
    print(f'k={k}')
    sol([z**5 for z in d], True, False, False, 'gamma')

K=int(input('>>> K='))  #適切な並べ順の指定
print()

d=delta(p[K])
sol([z**5 for z in d], False, True, True, 'gamma')
quad(re(d[1]*d[4]), re(d[2]*d[3]), 'd_1*d_4')
sol([0, (d[4])**2*d[2], (d[2])**2*d[1], (d[3])**2*d[4], (d[1])**2*d[3]], False, False, True, 'd_4^2*d_2')
    

使い方

　$5$次多項式$F$を入力すると対応する$p,q,r,s$の候補が出力されるので、それらが整数値となりそうな$k$を$K$に入れることで$\g_i$および$\d_1\d_4$や$\d_4^2\d_2$の厳密値が出力されます。

      >>> F=x^5 - 5*x - 12

k=0
[12500.0000000000000000000000000,
 125000000.000000000000000000000,
 140625000.000000000000000000000,
 19142578125000000.0000000000001] #p,q,r,sの候補1

k=1
[37463.6888061943379904825133935,
 1403255974.63952737464866961229,
 1403391976.80344915814097396133,
 1969509022056116934.66430006357] #p,q,r,sの候補2

>>> K=0

gamma
[-125*(-25 + 3*sqrt(5)*sqrt(25 - 11*sqrt(5)) + 10*sqrt(5)),
 125*(10*sqrt(5) + 25 + 3*sqrt(5)*sqrt(11*sqrt(5) + 25)),
 -125*(-25 - 10*sqrt(5) + 3*sqrt(5)*sqrt(11*sqrt(5) + 25)),
 125*(-10*sqrt(5) + 3*sqrt(5)*sqrt(25 - 11*sqrt(5)) + 25)] #gammaの厳密値
[-202.566649047824520291927661222,
 11825.3972636570215109266744877,
 14.7726800924527300962596840905,
 862.396705298350279268993489394] #gammaの近似値
[-202.566649047824520291927661221,
 11825.3972636570215109266744877,
 14.7726800924527300962596840905,
 862.396705298350279268993489393] #上の厳密値の近似値(チェック用)

d_1*d_4
[-5*sqrt(5), 5*sqrt(5)] #[d_1*d_4, d_2*d_3]の厳密値(d=delta)

d_4^2*d_2
[25*(sqrt(5 - sqrt(5)) + sqrt(5)),
 -25*(sqrt(5) + sqrt(sqrt(5) + 5)),
 -25*(-sqrt(sqrt(5) + 5) + sqrt(5)),
 -25*(-sqrt(5) + sqrt(5 - sqrt(5)))]　#[d_4^2*d_2, d_2^2*d_1, d_3^2*d_4, d_1^2*d_3]の厳密値
    

余談

　ちなみに$\Q$上の$D_5$-拡大、$F_{20}$-拡大の生成的多項式としてBrumer多項式、Lecacheux多項式というものが知られているそうです。可解な$5$次方程式のより深い性質について考察したい場合は、このような多項式についても調べてみてはいかがでしょうか。

　ちなみに
\begin{align} &\frac{\sqrt{x^2+4}+x}2\c\frac{\sqrt{y^2+4}+y}2\c\frac{\sqrt{(x^2+4)(y^2+4)}-xy+4}2\\ ={}&\l(\frac{\sqrt{x^2+4}+x}2+\frac{\sqrt{y^2+4}+y}2\r)^2\\ \\ &\frac{\sqrt{(x^2+4)(y^2+4)}+xy+4}2\c\frac{\sqrt{(x^2+4)(y^2+4)}+2x+2y}2\\ ={}&\frac12\l(\frac{(y+2)\sqrt{x^2+4}+(x+2)\sqrt{y^2+4}}2\r)^2 \end{align}
といった等式が成り立つことに注意すると、Lecacheux多項式に対応する$F$として
$$F=-W(a,b)\frac{5(a^2+4)+(a\pm4)\sqrt{5(a^2+4)}}2$$
や
$$F=-W(a,b)\l(5(a^2+4)+2(a\pm1)\sqrt{5(a^2+4)}\r)$$
といったものが取れることがわかります。

Brumer多項式の根の公式

　ところでBrumer多項式の根について色々と数値計算してみたところ、割とすんなりその明示式が求まったので以下にその結果についてまとめておきます。

Lecacheux多項式の根の公式

　またLecacheux多項式の根についても根気よく調査をしてみたところ、次のような結果が得られました。

　以下コピペ用

      p=(-((a^2+4)*b^2-8*a-17)^5
    +50*((a^2+4)*b^2-8*a-17)^3*((a^2+4)*(3*b+2)+13*a+2)
    +1000*(a^2+4)^3*b^5
    -200*(a^2+4)^2*(18*a^2-31*a+88)*b^4
    -400*(a^2+4)^2*(12*a^2+126*a+137)*b^3
    -400*(a^2+4)*(4*a^4-20*a^3+436*a^2+447*a+8)*b^2
    +200*(a^2+4)*(192*a^3+2024*a^2+2476*a-67)*b
    +200*(64*a^5+968*a^4+7048*a^3+10058*a^2+13423*a-14936))
q=(-((a^2+4)*b^2-8*a-17)^3*((3*a+2)*b+2*a+13)
    +20*(a^2+4)^2*(a-4)*b^5
    +20*(a^2+4)^2*(18*a+7)*b^4
    +40*(a^2+4)*(12*a^3+70*a^2+99*a+244)*b^3
    +40*(a^2+4)*(4*a^3-20*a^2+28*a+313)*b^2
    -20*(192*a^4+1544*a^3+2556*a^2+5463*a+3620)*b
    -20*(64*a^4+968*a^3+3880*a^2+6170*a+7593))
r=(-(a**2+4)**3*(a+6)*b**6
    -2*(a**2+4)**3*(a+5)*b**5
    +5*(a**2+4)**2*(2*a**2+25*a+38)*b**4
    +4*(a**2+4)**2*(8*a**2+99*a+193)*b**3
    +5*(a**2+4)*(96*a**3+292*a**2+53*a+734)*b**2
    +2*(a**2+4)*(48*a**3+880*a**2-709*a-1069)*b
    +(288*a**4+1184*a**3-3710*a**2+4891*a-19278))
s=((a**2+4)**3*b**6
    +2*(a**2+4)**2*(a-1)*(a+2)*b**5
    -5*(a**2+4)**2*(2*a+9)*b**4
    -4*(a**2+4)*(8*a**3+43*a**2+45*a+54)*b**3
    -(a**2+4)*(224*a**2+532*a+169)*b**2
    +2*(16*a**4-304*a**3-299*a**2-1079*a-2034)*b
    +(96*a**3-928*a**2+1118*a-4811))
W=(a**2+4)*(2*b+1)*b**2-2*(19*a+41)*b-16*a-199
F1=-W*(5*(a**2+4)+2*(a+1)*sqrt(5*(a**2+4)))
F2=-W*(5*(a**2+4)-2*(a+1)*sqrt(5*(a**2+4)))