Ramanujan, Slaterによる恒等式
前の記事 の定理1の$h=2$の場合は以下のようになる.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(a;q^2)_n}{(q^2;q^2)_n}\frac{(b;q)_{2n}}{(c;q)_{2n}}t^n&=\frac{(b;q)_{\infty}(at;q^2)_{\infty}}{(c;q)_{\infty}(t;q^2)_{\infty}}\sum_{0\leq n}\frac{(c/b;q)_n(t;q^2)_n}{(q;q)_n(at;q^2)_n}b^n \end{align}
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac 12n(n+1)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{(-q;q)_{\infty}(q^3,q^5,q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac 12(n+1)(n+2)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{q(-q;q)_{\infty}(q,q^7,q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}} \end{align}
1つ目の式を示す. 定理1において, $a=-q^2, c=t=-q, b\to 0$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac 12n(n+1)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}^2}\sum_{0\leq n}\frac{(-q)^n}{(-q;-q)_{2n}}
\end{align}
ここで, $q$二項定理, Jacobiの三重積より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(q;q)_{2n}}&=\frac 12\sum_{0\leq n}(1+(-1)^n)\frac{q^{\frac n2}}{(q;q)_n}\\
&=\frac 12\left(\frac 1{(\sqrt q;q)_{\infty}}+\frac 1{(-\sqrt q;q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac 1{2(q;q)_{\infty}}\left((-q^{\frac 12},-q^{\frac 32},q^2;q^2)_{\infty}+(q^{\frac 12},q^{\frac 32},q^2;q^2)_{\infty}\right)\\
&=\frac 1{2(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2+\frac n2}+\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{n^2+\frac n2}\right)\\
&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{4n^2+n}\\
&=\frac{(-q^3,-q^5,-q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
であるから, $q\mapsto -q$としてこれを先ほどの式に代入して
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac 12n(n+1)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}^2}\frac{(q^3,q^5,q^8;q^8)_{\infty}}{(-q;-q)_{\infty}}\\
&=\frac{(-q;q)_{\infty}(q^3,q^5,q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}\\
\end{align}
を得る. 次に2つ目の式を示す. 定理1において, $a=c=-q^2, t=-q,b\to 0$として,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac{1}2(n+1)(n+2)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{q(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}^2}\sum_{0\leq n}\frac{(-q)^n}{(-q;-q)_{2n+1}}
\end{align}
を得る. ここで,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{q^n}{(q;q)_{2n+1}}&=\frac 12\sum_{0\leq n}(1-(-1)^n)\frac{q^{\frac{n-1}2}}{(q;q)_n}\\
&=\frac 1{2\sqrt q}\left(\frac 1{(\sqrt q;q)_{\infty}}-\frac 1{(-\sqrt q;q)_{\infty}}\right)\\
&=\frac 1{2\sqrt q(q;q)_{\infty}}\left((-q^{\frac 12},-q^{\frac 32},q^2;q^2)_{\infty}-(q^{\frac 12},q^{\frac 32},q^2;q^2)_{\infty}\right)\\
&=\frac 1{2\sqrt q(q;q)_{\infty}}\left(\sum_{n\in\ZZ}q^{n^2-\frac n2}-\sum_{n\in\ZZ}(-1)^nq^{n^2-\frac n2}\right)\\
&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}\sum_{n\in\ZZ}q^{4n^2+3n}\\
&=\frac 1{(q;q)_{\infty}}(-q,-q^7,q^8;q^8)_{\infty}
\end{align}
であるから, $q\mapsto -q$として
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-q;q^2)_nq^{\frac{1}2(n+1)(n+2)}}{(q;q)_n(q;q^2)_{n+1}}&=\frac{q(-q;q^2)_{\infty}}{(q;q^2)_{\infty}^2}\frac{(q,q^7,q^8;q^8)_{\infty}}{(-q;-q)_{\infty}}\\
&=\frac{q(-q;q)_{\infty}(q,q^7,q^8;q^8)_{\infty}}{(q;q)_{\infty}}
\end{align}
と示される.
以下は, Ramanujanによって発見された等式である.
\begin{align} \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{(q;q)_n(1-q^{2n+1})}&=(-q^3,-q^5,q^8;q^8)_{\infty}\\ \sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12(n+1)(n+2)}}{(q;q)_n(1-q^{2n+1})}&=q(-q,-q^7,q^8;q^8)_{\infty} \end{align}
1つ目の等式は$q$二項定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)}}{(q;q)_n(1-q^{2n+1})}&=\sum_{0\leq n,m}\frac{(-1)^nq^{\frac 12n(n+1)+m(2n+1)}}{(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq m}q^m(q^{2m+1};q)_{\infty}\\
&=(q;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{q^m}{(q;q)_{2m}}\\
&=(-q^3,-q^5,q^8;q^8)_{\infty}
\end{align}
と示される. ここで, 最後の等号は定理2の証明において示したものである. 2つ目の等式も同様に$q$二項定理より,
\begin{align}
\sum_{0\leq n}\frac{(-1)^nq^{\frac 12(n+1)(n+2)}}{(q;q)_n(1-q^{2n+1})}&=\sum_{0\leq n,m}\frac{(-1)^nq^{\frac 12(n+1)(n+2)+m(2n+1)}}{(q;q)_n}\\
&=\sum_{0\leq m}q^{m+1}(q^{2m+2};q)_{\infty}\\
&=q(q;q)_{\infty}\sum_{0\leq m}\frac{q^m}{(q;q)_{2m+1}}\\
&=q(-q,-q^7,q^8;q^8)_{\infty}
\end{align}
と示される. ここで, 最後の等号は定理2の証明において示したものである.
