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Ramanujan, Slaterによる恒等式

前の記事の定理1の $h = 2$ の場合は以下のようになる.

Ramanujan, Andrews(1966)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(a; q^{2})_{n}}{(q^{2}; q^{2})_{n}} \frac{(b; q)_{2 n}}{(c; q)_{2 n}} t^{n} & = \frac{(b; q)_{\infty} (a t; q^{2})_{\infty}}{(c; q)_{\infty} (t; q^{2})_{\infty}} \sum_{0 \leq n} \frac{(c / b; q)_{n} (t; q^{2})_{n}}{(q; q)_{n} (a t; q^{2})_{n}} b^{n} \end{aligned}$

Ramanujan, Slater(1952)

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{(- q; q)_{\infty} (q^{3}, q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{q (- q; q)_{\infty} (q, q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$

1つ目の式を示す. 定理1において, $a = - q^{2}, c = t = - q, b \to 0$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}^{2}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q)^{n}}{(- q; - q)_{2 n}} \end{aligned}$
ここで, $q$ 二項定理, Jacobiの三重積より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n}} & = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} (1 + (- 1)^{n}) \frac{q^{\frac{n}{2}}}{(q; q)_{n}} \\ = \frac{1}{2} (\frac{1}{(\sqrt{q}; q)_{\infty}} + \frac{1}{(- \sqrt{q}; q)_{\infty}}) \\ = \frac{1}{2 (q; q)_{\infty}} ((- q^{\frac{1}{2}}, - q^{\frac{3}{2}}, q^{2}; q^{2})_{\infty} + (q^{\frac{1}{2}}, q^{\frac{3}{2}}, q^{2}; q^{2})_{\infty}) \\ = \frac{1}{2 (q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{n^{2} + \frac{n}{2}} + \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2} + \frac{n}{2}}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{4 n^{2} + n} \\ = \frac{(- q^{3}, - q^{5}, - q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
であるから, $q \mapsto - q$ としてこれを先ほどの式に代入して
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{(- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}^{2}} \frac{(q^{3}, q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(- q; - q)_{\infty}} \\ = \frac{(- q; q)_{\infty} (q^{3}, q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
を得る. 次に2つ目の式を示す. 定理1において, $a = c = - q^{2}, t = - q, b \to 0$ として,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{q (- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}^{2}} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q)^{n}}{(- q; - q)_{2 n + 1}} \end{aligned}$
を得る. ここで,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{q^{n}}{(q; q)_{2 n + 1}} & = \frac{1}{2} \sum_{0 \leq n} (1 - (- 1)^{n}) \frac{q^{\frac{n - 1}{2}}}{(q; q)_{n}} \\ = \frac{1}{2 \sqrt{q}} (\frac{1}{(\sqrt{q}; q)_{\infty}} - \frac{1}{(- \sqrt{q}; q)_{\infty}}) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{q} (q; q)_{\infty}} ((- q^{\frac{1}{2}}, - q^{\frac{3}{2}}, q^{2}; q^{2})_{\infty} - (q^{\frac{1}{2}}, q^{\frac{3}{2}}, q^{2}; q^{2})_{\infty}) \\ = \frac{1}{2 \sqrt{q} (q; q)_{\infty}} (\sum_{n \in Z} q^{n^{2} - \frac{n}{2}} - \sum_{n \in Z} (- 1)^{n} q^{n^{2} - \frac{n}{2}}) \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} \sum_{n \in Z} q^{4 n^{2} + 3 n} \\ = \frac{1}{(q; q)_{\infty}} (- q, - q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty} \end{aligned}$
であるから, $q \mapsto - q$ として
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- q; q^{2})_{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)}}{(q; q)_{n} (q; q^{2})_{n + 1}} & = \frac{q (- q; q^{2})_{\infty}}{(q; q^{2})_{\infty}^{2}} \frac{(q, q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(- q; - q)_{\infty}} \\ = \frac{q (- q; q)_{\infty} (q, q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty}}{(q; q)_{\infty}} \end{aligned}$
と示される.

以下は, Ramanujanによって発見された等式である.

Ramanujan

$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n} (1 - q^{2 n + 1})} & = (- q^{3}, - q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty} \\ \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)}}{(q; q)_{n} (1 - q^{2 n + 1})} & = q (- q, - q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty} \end{aligned}$

1つ目の等式は $q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1)}}{(q; q)_{n} (1 - q^{2 n + 1})} & = \sum_{0 \leq n, m} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} n (n + 1) + m (2 n + 1)}}{(q; q)_{n}} \\ = \sum_{0 \leq m} q^{m} (q^{2 m + 1}; q)_{\infty} \\ = (q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq m} \frac{q^{m}}{(q; q)_{2 m}} \\ = (- q^{3}, - q^{5}, q^{8}; q^{8})_{\infty} \end{aligned}$
と示される. ここで, 最後の等号は定理2の証明において示したものである. 2つ目の等式も同様に $q$ 二項定理より,
$\begin{aligned} \sum_{0 \leq n} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2)}}{(q; q)_{n} (1 - q^{2 n + 1})} & = \sum_{0 \leq n, m} \frac{(- 1)^{n} q^{\frac{1}{2} (n + 1) (n + 2) + m (2 n + 1)}}{(q; q)_{n}} \\ = \sum_{0 \leq m} q^{m + 1} (q^{2 m + 2}; q)_{\infty} \\ = q (q; q)_{\infty} \sum_{0 \leq m} \frac{q^{m}}{(q; q)_{2 m + 1}} \\ = q (- q, - q^{7}, q^{8}; q^{8})_{\infty} \end{aligned}$
と示される. ここで, 最後の等号は定理2の証明において示したものである.