東大数理院試過去問解答例(2011B05)

ここでは東大数理の修士課程の院試の2011B05の解答例を解説していきます。解答例はあくまでも例なので、最短・最易の解答とは限らないことにご注意ください。またこの解答を信じきってしまったことで起こった不利益に関しては一切の責任を負いませんので、参照する際は慎重に慎重を重ねて議論を追ってからご参照ください。また誤り・不適切な記述・非自明な箇所などがあればコメントで指摘していただけると幸いです。　

2011B05

$R^{4}$ の部分集合 $M$ を
$M = {(x, y, z, w) \in R^{4} | 2 x^{2} + 2 = 2 z^{2} + w^{2}, 3 x^{2} + y^{2} = z^{2} + w^{2}}$
で定める。

$M$ は $R^{4}$ の部分多様体であることを示しなさい
$F : M \to R^{2}$ を
$F (x, y, z, w) = (x^{2}, y^{2})$
で定義する。各 $p = (X, Y) \in R^{2}$ に対して $| F^{- 1} (p) |$ を計算しなさい。
$M$ はコンパクトかどうかを理由付きで答えなさい。
$M$ のオイラー標数を計算しなさい。

まず $f : R^{4} \to R^{2}$ を
$f (x, y, z, w) = (2 x^{2} + 2 - 2 z^{2} - w^{2}, 3 x^{2} + y^{2} - z^{2} - w^{2})$
とおく。この点 $(a, b, c, d)$ に於ける微分は
$(\begin{matrix} 4 a & 0 & - 4 c & - 2 d \\ 6 a & 2 b & - 2 c & - 2 d \end{matrix})$
である。この行列のランクが $< 2$ になるのは $a, b, c, d$ のうち $3$ つ以上が $0$ のときに限るが、このような点の像は $(0, 0)$ を含まない。よって $M = f^{- 1} (0, 0)$ は $R^{4}$ の部分多様体である。
まず
$z^{2} = 2 - x^{2} - y^{2}$
$w^{2} = 4 x^{2} + 2 y^{2} - 2$
である。よって $p = (X, Y)$ について、 $X < 0$ ないし $Y < 0$ ないし $X + Y > 2$ ないし $2 X + Y < 1$ のときは $| F^{- 1} (p) | = 0$ 、 $X = 0$ かつ $1 < Y < 2$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 8$ 、 $Y = 0$ かつ $\frac{1}{2} < X < 2$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 8$ 、 $2 X + Y = 1$ かつ $X \neq 0$ かつ $Y \neq 0$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 8$ 、 $X + Y = 2$ かつ $X \neq 0$ かつ $Y \neq 0$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 8$ 、 $(X, Y) = (0, 1), (0, 2), (\frac{1}{2}, 0), (2, 0)$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 4$ 、 $X > 0$ かつ $Y > 0$ かつ $X + Y < 2$ かつ $2 X + Y > 1$ のとき $| F^{- 1} (p) | = 16$ である。以上を簡単にまとめると
$N = {(X, Y) \in R^{2} | X, Y, 2 - X - Y, 2 X + Y - 1 > 0}$
とおき、四角形 $N$ の頂点集合を $O$ 、 $M$ の境界から $O$ を除いた集合を $P$ とおく。このとき
$| F^{- 1} (p) | = {\begin{cases} 16 & (p \in N) \\ 8 & (p \in P) \\ 4 & (p \in O) \\ 0 & (if else) \end{cases}$
である。
まず $M$ 上の点は $x^{2} + y^{2} \leq 2$ を満たす必要がある。またこれによって
$2 z^{2} + w^{2} = 2 x^{2} + 2 \leq 2 (x^{2} + y^{2}) + 2 \leq 8$
である必要もある。以上から $M$ は有界である。また $M$ は $F$ による閉集合 $N \cup O \cup P$ の逆像なので閉集合である。よって $M$ はコンパクトである。
まず $S_{2}$ を $F^{- 1} (N)$ の連結成分の集合、 $S_{1}$ を $F^{- 1} (P)$ の連結成分の集合、 $S_{0}$ を $F^{- 1} (O)$ の連結成分の集合とする。このとき $S_{2} \cup S_{1} \cup S_{0}$ は $M$ の胞体分割になっていて、 $S_{i}$ はこの分割の $i$ 単体全体である。以上と(2)の結果からオイラー標数は
$16 - 4 \cdot 8 + 4 \cdot 4 = 0$
である。

投稿日：3月22日

更新日：3月22日

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