Andrewsによる5φ4の展開公式
以下の等式はAndrewsによって2012年に示されたもので, Rogers-Ramanujan型の恒等式やモックテータ関数への応用がある.
\begin{align} \Q54{q^{-N},b,c,d,e}{bcq^{-N}/a,f,g,h}{q}&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_N}{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\Q43{q^{-n},aq^n,d,e}{f,g,h}{q} \end{align}
元の論文においては, $adeq=fgh$に対応する条件が付いているが, 上の等式自体にはその仮定は不要なので, ここでは考えないことにする.
両辺の
\begin{align}
\frac{(d,e;q)_n}{(f,g,h,q;q)_n}q^n
\end{align}
の係数を比較した等式
\begin{align}
\frac{(q^{-N},b,c;q)_m}{(bcq^{-N}/a;q)_m}&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_N}{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n(q^{-n},aq^n;q)_m
\end{align}
を示せば良い.
\begin{align}
&\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n(q^{-n},aq^n;q)_m\\
&=(-1)^mq^{\binom m2}\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a;q)_{n+m}(b,c,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_n(q;q)_{n-m}}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^n\\
&=(-1)^mq^{\binom m2}\frac{(a;q)_{2m}(b,c,q^{-N};q)_m}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_m}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^m\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-m}\frac{(1-aq^{2n+2m})(aq^{2m},bq^m,cq^m,q^{m-N};q)_n}{(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{N+m+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^n
\end{align}
ここで, Rogersの${}_6\phi_5$和公式より,
\begin{align}
&\sum_{n=0}^{N-m}\frac{(1-aq^{2n+2m})(aq^{2m},bq^m,cq^m,q^{m-N};q)_n}{(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{N+m+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^n\\
&=\frac{(aq^{2m};q)_{N-m+1}(aq/bc;q)_{N-m}}{(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c;q)_{N-m}}
\end{align}
であるから,
\begin{align}
&(-1)^mq^{\binom m2}\frac{(a;q)_{2m}(b,c,q^{-N};q)_m}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1};q)_m}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^m\\
&\qquad\cdot\sum_{n=0}^{N-m}\frac{(1-aq^{2n+2m})(aq^{2m},bq^m,cq^m,q^{m-N};q)_n}{(aq^{m+1}/b,aq^{m+1}/c,aq^{N+m+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N-m+1}}{bc}\right)^n\\
&=\frac{(a;q)_{N+m+1}(aq/bc;q)_N(b,c,q^{-N};q)_m}{(aq/b,aq/c;q)_{N}(aq^{N+1},bcq^{-N}/a;q)_m}\\
&=\frac{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N}{(aq/b,aq/c;q)_N}\frac{(b,c,q^{-N};q)_m}{(bcq^{-N}/a;q)_m}
\end{align}
となるから示される.
上の証明からも分かるように,
\begin{align}
\frac{(d,e;q)_n}{(f,g,h,q;q)_n}q^n
\end{align}
のところは任意の数列に置き換えても成立する. 特に$\frac{x^n}{(a,q;q)_n}$を選ぶと以下を得る.
\begin{align} \Q32{q^{-N},b,c}{bcq^{-N}/a,a}{x}&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_N}{(a;q)_{N+1}(aq/bc;q)_N}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^N\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c,q^{-N};q)_n}{(aq/b,aq/c,aq^{N+1},q;q)_n}\left(\frac{aq^{N+1}}{bc}\right)^n\Q21{q^{-n},aq^n}{a}{x} \end{align}
これは
昨日の記事
で示した公式
\begin{align}
\F32{-N,b,c}{b+c-N-a,a}{x}&=\frac{(1+a-b,1+a-c)_N}{(a)_{N+1}(1+a-b-c)_N}\\
&\qquad\cdot\sum_{0\leq n}\frac{(2n+a)(a,b,c,-N)_n}{n!(1+a-b,1+a-c,1+a+N)_n}\F21{-n,a+n}{a}{x}
\end{align}
の$q$類似である. 特に$N\to\infty$として以下を得る.
\begin{align} \Q21{b,c}{a}{\frac{ax}{bc}}&=\frac{(aq/b,aq/c;q)_{\infty}}{(a,aq/bc;q)_{\infty}}\\ &\qquad\cdot\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(1-aq^{2n})(a,b,c;q)_n}{(aq/b,aq/c,q;q)_n}\left(-\frac{aq}{bc}\right)^nq^{\binom n2}\Q21{q^{-n},aq^n}{a}{x} \end{align}
