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Andrewsによる5φ4の展開公式

以下の等式はAndrewsによって2012年に示されたもので, Rogers-Ramanujan型の恒等式やモックテータ関数への応用がある.

Andrews(2012)

$\begin{aligned} _{5} ϕ_{4} [\begin{array}{c} q^{- N}, b, c, d, e \\ b c q^{- N} / a, f, g, h \end{array}; q] & = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{N}}{(a; q)_{N + 1} (a q / b c; q)_{N}} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{N} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N + 1}}{b c})}^{n}_{4} ϕ_{3} [\begin{array}{c} q^{- n}, a q^{n}, d, e \\ f, g, h \end{array}; q] \end{aligned}$

元の論文においては, $a d e q = f g h$ に対応する条件が付いているが, 上の等式自体にはその仮定は不要なので, ここでは考えないことにする.

両辺の
$\begin{array}{r} \frac{(d, e; q)_{n}}{(f, g, h, q; q)_{n}} q^{n} \end{array}$
の係数を比較した等式
$\begin{aligned} \frac{(q^{- N}, b, c; q)_{m}}{(b c q^{- N} / a; q)_{m}} & = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{N}}{(a; q)_{N + 1} (a q / b c; q)_{N}} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{N} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N + 1}}{b c})}^{n} (q^{- n}, a q^{n}; q)_{m} \end{aligned}$
を示せば良い.
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N + 1}}{b c})}^{n} (q^{- n}, a q^{n}; q)_{m} \\ = (- 1)^{m} q^{(\binom{m}{2})} \sum_{n = 0}^{N} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a; q)_{n + m} (b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}; q)_{n} (q; q)_{n - m}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{n} \\ = (- 1)^{m} q^{(\binom{m}{2})} \frac{(a; q)_{2 m} (b, c, q^{- N}; q)_{m}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}; q)_{m}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{m} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{N - m} \frac{(1 - a q^{2 n + 2 m}) (a q^{2 m}, b q^{m}, c q^{m}, q^{m - N}; q)_{n}}{(a q^{m + 1} / b, a q^{m + 1} / c, a q^{N + m + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{n} \end{aligned}$
ここで, Rogersの $_{6} ϕ_{5}$ 和公式より,
$\begin{aligned} \sum_{n = 0}^{N - m} \frac{(1 - a q^{2 n + 2 m}) (a q^{2 m}, b q^{m}, c q^{m}, q^{m - N}; q)_{n}}{(a q^{m + 1} / b, a q^{m + 1} / c, a q^{N + m + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(a q^{2 m}; q)_{N - m + 1} (a q / b c; q)_{N - m}}{(a q^{m + 1} / b, a q^{m + 1} / c; q)_{N - m}} \end{aligned}$
であるから,
$\begin{aligned} (- 1)^{m} q^{(\binom{m}{2})} \frac{(a; q)_{2 m} (b, c, q^{- N}; q)_{m}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}; q)_{m}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{m} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{N - m} \frac{(1 - a q^{2 n + 2 m}) (a q^{2 m}, b q^{m}, c q^{m}, q^{m - N}; q)_{n}}{(a q^{m + 1} / b, a q^{m + 1} / c, a q^{N + m + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N - m + 1}}{b c})}^{n} \\ = \frac{(a; q)_{N + m + 1} (a q / b c; q)_{N} (b, c, q^{- N}; q)_{m}}{(a q / b, a q / c; q)_{N} (a q^{N + 1}, b c q^{- N} / a; q)_{m}} \\ = \frac{(a; q)_{N + 1} (a q / b c; q)_{N}}{(a q / b, a q / c; q)_{N}} \frac{(b, c, q^{- N}; q)_{m}}{(b c q^{- N} / a; q)_{m}} \end{aligned}$
となるから示される.

上の証明からも分かるように,
$\begin{array}{r} \frac{(d, e; q)_{n}}{(f, g, h, q; q)_{n}} q^{n} \end{array}$
のところは任意の数列に置き換えても成立する. 特に $\frac{x^{n}}{(a, q; q)_{n}}$ を選ぶと以下を得る.

$\begin{aligned} _{3} ϕ_{2} [\begin{array}{c} q^{- N}, b, c \\ b c q^{- N} / a, a \end{array}; x] & = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{N}}{(a; q)_{N + 1} (a q / b c; q)_{N}} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{N} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c, q^{- N}; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, a q^{N + 1}, q; q)_{n}} {(\frac{a q^{N + 1}}{b c})}^{n}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q^{- n}, a q^{n} \\ a \end{array}; x] \end{aligned}$

これは昨日の記事で示した公式
$\begin{aligned} _{3} F_{2} [\begin{array}{c} - N, b, c \\ b + c - N - a, a \end{array}; x] & = \frac{(1 + a - b, 1 + a - c)_{N}}{(a)_{N + 1} (1 + a - b - c)_{N}} \\ \cdot \sum_{0 \leq n} \frac{(2 n + a) (a, b, c, - N)_{n}}{n! (1 + a - b, 1 + a - c, 1 + a + N)_{n}}_{2} F_{1} [\begin{array}{c} - n, a + n \\ a \end{array}; x] \end{aligned}$
の $q$ 類似である. 特に $N \to \infty$ として以下を得る.

$\begin{aligned} _{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} b, c \\ a \end{array}; \frac{a x}{b c}] & = \frac{(a q / b, a q / c; q)_{\infty}}{(a, a q / b c; q)_{\infty}} \\ \cdot \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{(1 - a q^{2 n}) (a, b, c; q)_{n}}{(a q / b, a q / c, q; q)_{n}} {(- \frac{a q}{b c})}^{n} q^{(\binom{n}{2})}_{2} ϕ_{1} [\begin{array}{c} q^{- n}, a q^{n} \\ a \end{array}; x] \end{aligned}$